Propri´et´es de convergence

1,q(x\ {η} ∪ {ζ}, ζ)c(x\ {η} ∪ {ζ}, ζ, η) q(x, η)c(x, η, ζ)

p(x\ {η} ∪ {ζ}) p(x)

. L’algorithme suivant est un exemple de proc´eduremiseAJourqui peut ˆetre implement´e pour simuler des processus ponctuels marqu´es.

Algorithme 2 y = miseAJour(x)

1. Choisir un mouvement selon les probabilit´es p_b,p_d and pc.

2. Si un mouvement “ajouter” a ´et´e choisi, alors g´en´erer un nouveau objetη`a l’aide de la densit´eb(x, η). Accepter la nouvelle configuration y=x∪ {η} avec la probabilit´eα(x,y) donn´ee par (4.13).

3. Si un mouvement “supprimer” est choisi, alors s´electionner un objet η∈xpour ˆetre ´elimin´e avec la probabilit´ed(x, η). Accepter la nouvelle configurationy=x\{η}avec la probabilit´eα(x,y)donn´ee par (4.14).

4. Si un mouvement “remplacer” est choisi, alors s´electionner un objet η∈xavec la probabilit´e q(x, η) et lui appliquer une transformation `a l’aide de la densit´e de probabilit´ec(x, η, ζ). Accepter la nouvelle confi-gurationy=x\{η}∪{ζ} avec la probabilit´eα(x,y)donn´ee par (4.15).

5. Si la nouvelle configuration y est accept´ee, alors retourner y. Sinon, retourner x.

Le type de mouvement est choisi selon le m´ecanisme suivant. Premi`erement, on g´en`ere une valeur uniforme sur [0,1]. Les mouvements ”ajout”, ”suppres-sion” ou ”modification” sont effectu´es selon que u ≤ p_b, p_b < u ≤ p_b+p_d ou bien p_b+p_d< u ≤p_b+p_d+p_c. De mˆeme, l’acceptation d’une nouvelle configurationy `a partir dexse fait si w≤α(x,y) o`u west une valeur uni-formewsur [0,1]. Dans le cas contraire, la chaˆıne reste dans la configuration initialex.

4.2.2 Propri´et´es de convergence

L’algorithme pr´ec´edent permet un large choix des lois d’instrumentation.

Par exemple, nous pouvons choisir pour p_b, p_d, pc n’importe quelles valeurs positives pourvu que 0< p_b+p_d+p_c ≤1. Ici, ces probabilit´es sont constantes.

Il est possible de les choisir en fonction de la configuration courante de la

chaˆıne tout en pr´eservant ses propri´et´es de convergence [72, 76]. Par ailleurs, les densit´esb(x, η), d(x, η),q(x, η) et c(x, η, ζ) doivent ˆetre choisies stricte-ment positives pour ´eviter les cas pathologiques [T7, T15, T17].

Pour ajouter un nouveau objet `a la configuration courante, le choix le plus simple est la densit´e uniforme

b(x, η) = 1

ν(W) (4.16)

par rapport `a dσ(η). Par ce choix, l’objet propos´e a une position uni-form´ement distribu´e dans W alors que sa marque est choisie d’une fa¸con ind´ependante selon ν_M.

De mˆeme, pour supprimer un objet, le choix le plus simple est d(x, η) = 1

n(x) (4.17)

avec x6=∅. Par ce choix uniforme, tout objet a la mˆeme chance d’ˆetre pro-pos´e pour ˆetre ´elimin´e. Sixx=∅aucun objet ne peut ˆetre propos´e.

Le choix propos´e par (4.16) et (4.17) n’est pas le seul. Pour l’instant, nous souhaitons montrer que ce simple choix m`ene `a des algorithmes convergents pour une large famille de mod`eles. Disons toutefois, d’une fa¸con intuitive, qu’une dynamique bas´ee sur de telles lois instrumentales uniformes est plutˆot adapt´ee aux mod`eles `a interactions faibles.

Pour modifier les caract´eristiques d’un objet d’une configuration, nous avons plusieurs mani`eres de faire [126, 165, 166]. Ici, nous appliquons `a nouveau une strat´egie simple qui consiste `a choisir uniform´ement l’objet `a modifier

q(x, η) = 1

n(x), x6=∅.

Une fois l’objet s´electionn´e, ses propri´et´es sont modifi´ees `a l’aide de la den-sit´e c(x, η,(w, m)). Soit C(η) = C_W(w_η)×C_M(m_η) un voisinage du point marqu´eη= (w_η, m_η) tel queν(C_W(w_η)) etν_M(C_M(m_η)) soient strictement positives. Alors, la densit´ec(x, η,(w, m)) vaut

c(x, η,(w, m)) = 1{w∈C_W(w_η)}

ν(CW(wη)) ×1{m∈C_M(m_η)} νM(CM(mη)) .

Pour garantir la r´eversibilit´e, nous devons avoir ζ ∈C(η) si et seulement si η∈C(ζ). Typiquement,C(η) est un voisinage relativement petit qui donne un caract`ere ”local” `a la modification d’un objet. De telles modifications

”locales” ont un taux d’acceptation (4.15) proche de 1, ce qui fait que la

transition propos´ee est souvent accept´ee. Ceci est tr`es positif. Cependant, cette propri´et´e introduit une corr´elation importante entre ´echantillons. Du point de vue pratique, il y a un compromis `a r´egler entre le r´esultat souhait´e, le r´esultat obtenu et le coˆut calculatoire.

Les choix pr´esent´es et accompagn´es des conditions d’´equilibre local nous assurent que la chaˆıne de Markov simul´ee est r´eversible. Le r´esultat sui-vant nous montre que la chaˆıne simul´ee est irr´eductible, Harris r´ecurrente et g´eom´etriquement ergodique [73, 72, 141, 190, T7].

Th´eor`eme 17 Soient les fonctionsb, d, qetcd´ecrites ant´erieurement. Sup-posons que b(x, η) et d(x, η) soient strictement positives sur leur domaines de d´efinition respectives et que

n→∞lim u_n= lim la densit´e de probabilit´e d’un processus ponctuel marqu´e surW×M. Le pro-cessus ponctuel est localement stable et p(x) est construite par rapport `a la mesure de r´ef´erenceµ, repr´esent´ee par le processus de Poisson marqu´e stan-dard. Alors, l’´echantillonneur Metropolis-Hastings pour la densit´e p d´efini par l’algorithme 2 simule une chaˆıne de Markov qui estφ−irr´eductible, Har-ris r´ecurrente et g´eom´etriquement ergodique.

Preuve:

Soient Λ > 0 la borne sup´erieure du rapport des vraisemblances p(x∪ {η})/p(x) et V(x) =A^n(x) avecA >1.

Un objet g´en´er´e η /∈ x est ajout´e `a la configuration x avec la probabi-lit´e (4.13)

En effet, commeu_n(x)→0, quandn(x) est suffisamment grand la s´equence ne peut pas d´epasser une certaine quantit´e pre-fix´ee.

De mani`ere analogue, un objet s´electionn´e η /∈ x est supprim´e de la confi-gurationx∪ {η} avec la probabilit´e

car selon l’hypoth`ese nous avons

η∈W×M,x∈Ξinf n

b(x, η)

d(x∪ {η}, η) → ∞ quandn(x)→ ∞.

Il r´esulte que pour des configurationsx`a grand nombre d’objetsn(x)> N<sub>ǫ</sub>, on a α(x,x∪ {η}) ≤ ǫ et α(x,x\ {η}) = 1. Par suite, en appliquant `a la fonctionV(x) le noyau de transition (4.7), nous obtenons

P V(x) =

En passant `a la limite dans (4.18), il r´esulte que p_d(A⁻¹−1) + 1 =p_b+p_c+p_d

A <1, quandǫtend vers zero. Il est donc possible de choisir ǫtel que

P V(x) = Z

Ω

P(x, dy)V(y)≤aV(x) (4.19) pour une valeura <1.

SoitC l’ensemble des configurations comportant moins deN_ǫ objets,

c’est-` a-dire

C={x∈Ω :n(x)≤N_ǫ}.

Il s’agit d’un petit ensemble. Pour v´erifier cette affirmation, nous remarquons d’abord que la probabilit´e d’acceptation pour enlever un objet est toujours plus grande que

Evidement, nous avons △ < 1. Puis en utilisant les ´equations Chapman-Kolmogorov et aussi le fait queP(∅,Ξ0)≥p_d, il s’ensuit que

P^Nǫ(x,Ξ₀)≥P^n(x)(x,Ξ₀)P^Nǫ−n(x)(∅,Ξ₀)≥(p_d△)^Nǫ, (4.20) pour toute configuration x contenant au plus Nǫ objets. L’ensemble C est doncpetit par rapport `a la mesure non-nulle (p_d△)^Nǫδx(∅).

Ayant une probabilit´e positive de rester dans le mˆeme ´etat, la chaˆıne est ap´eriodique. Elle est aussi φ−irr´eductible en cons´equence de (4.20). La condition de d´erive (4.19) entraˆıne alors qu’elle est r´ecurrente au sens de Harris. D´efinissant la fonctionV(x) et l’ensemble C comme pr´ec´edemment, et posant b = A^Nǫ+1, on voit que la condition de d´erive pour l’ergodicit´e

g´eom´etrique (4.5) est valable pour tout x∈Ω.