Lois stables

Les lois stables sont une classe tr`es riche de lois de probabilit´es qui per-mettent prendre en compte des caract´eristiques comme les queues lourdes et la sym´etrie.

Une variable al´eatoire Z est stable si pour tout a, b >0, il existe c > 0 et d∈Rtelles que

aZ₁+aZ₂=cZ^L +d,

o`uZ<sub>1</sub> etZ<sub>2</sub> sont des copies ind´ependantes de Z et ”=” est l’´egalit´e en loi.<sup>L</sup> Une loi stable est caract´eris´ee par quatre param`etres α∈(0,2], β∈[−1,1], γ > 0 et δ ∈ R. On la note par Sα(β, γ, δ). Le rˆole de chaque param`etre est le suivant : α d´etermine la vitesse avec laquelle la loi converge vers 0, β contrˆole la sym´etrie de la loi, alors que γ et δ sont respectivement des param`etres d’´echelle et de position. La Figure 7.17 montre l’influence de chaque param`etre sur la forme de la loi de probabilit´e.

La transform´ee lin´eaire d’une variable al´eatoire stable est aussi une variable al´eatoire stable. Si α ∈ (0,2), alors E|Z|^p < ∞ pour tout 0 < p < α et E|Z|^p = ∞ pour tout p > α. La loi est gaussienne si α = 2. La variable stable avec α <2 a une variance infinie, et ses queues de distribution sont asymptotiquement ´equivalentes `a une loi de Pareto [177]. Plus pr´ecis´ement

( lim_z→∞z^αP{Z > z} = ^(1+β)₂ σ,

lim_z→∞z^αP{Z <−z} = ^(1−β)₂ σ. , (7.18) o`u σ =Cαγ<sup>α</sup>, Cα = 2Γ(2−α) cos(πα/2)<sup>1−α</sup> si α 6= 1 et Cα = <sub>π</sub><sup>2</sup> sinon. La loi est sym´etrique si β = 0. Quand α < 1, le support de la loi Sα(β, γ,0) est la demi-droite positive siβ= 1 et la demi-droite n´egative si β=−1. Siα >1, le moment du premier ordre existe et vaut le param`etre de translation δ.

Une des difficult´es techniques de l’´etude des lois stables est que, sauf quelques cas remarquables (Gaussien, Cauchy, L´evy), les densit´es de probabilit´e n’ont

a) ^{−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5}

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

x

PDF(x)

Dependence on β

β=−1 β=0 β=1

b)^{−90 −7 −5 −3 −1 1 3 5 7 9}

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Dependence on γ and δ

α=1.5,γ=1,δ=5 α=1.5,γ=2,δ=5 α=0.5,γ=1,δ=−5 α=0.5,γ=2,δ=−5

Figure 7.17 – Influence des param`etres sur la forme d’une distribution stable : a) le param`etre β, b) les param`etresα, γ etδ.

pas d’expression analytique explicite. Ceci fait que l’estimation des pa-ram`etres des lois stables est toujours un probl`eme ouvert. Plusieurs m´ethodes existent dans la litt´erature [114, T19]. Cependant la plupart des ces m´ethodes ne fonctionnent que lorsqueα∈(0,2]. Pour notre probl`eme nous ne savons pas si les donn´ees peuvent relever d’une loi stable ou pas. Dans ce cas, les lois `a queue r´eguli`ere peuvent ˆetre envisag´ees.

Une variable al´eatoire a une loi `a queue r´eguli`ere de param`etre α ≥ 0 s’il existe des nombres p, q ≥0, p+q = 1 et une fonction `a variation lente² L

tels que

lim_z→∞z^αL(z)P{Z > z} = p,

lim_z→∞z^αL(z)P{Z <−z} = q. (7.19) Il est important d’observer que les conditions (7.18) peuvent ˆetre d´eduites de (7.19) en prenantL(z) = 1/σ etp= (1 +β)/2.

Sous l’hypoth`ese que l’´echantillon a la propri´et´e asymptotique (7.18), nous avons utilis´e l’algorithme d’estimation des param`etres propos´e par [50, 51, 114]. L’algorithme estime trois param`etresα,b βbetσb. Le param`etrebδ est ap-proxim´e par la moyenne empirique de l’´echantillon quandα >1. Dans le cas o`u cet algorithme est utilis´e pour des donn´ees de loi stable, le param`etreα devrait avoir des valeurs dans l’intervalle (0,2]. Le point fort de l’algorithme est qu’il peut ˆetre aussi utilis´e dans le cas o`u les donn´ees ne pr´esentent pas un caract`ere de loi stable. Dans ce cas, les donn´ees sont suppos´ees prove-nir d’une loi `a queue r´eguli`ere. Le point faible de l’algorithme est que dans ce dernier cas nous n’avons pas d’information concernant la partie centrale de la loi. N´eanmoins, cet algorithme permet d´ej`a une caract´erisation assez compl`ete d’une large gamme de lois.

La Figure 7.18 montre l’application de l’algorithme pour estimer le pa-ram`etre α sur des donn´ees de perturbations plan´etaires. Les ensembles de niveau inf´erieurs `a 2 forment clairement une r´egion autour de l’orbite de chaque grande plan`ete. Effectivement, cette r´egion est moins bien pr´ecis´ee que dans le cas des statistiques d’ordre. Ceci est sans doute dˆu au nombre de perturbations par cellule qui est assez limit´e par rapport aux exigences de l’algorithme. Cependant, les deux r´esultats sont coh´erents et indiquent un comportement de type loi `a queue lourde pour les perturbations autour des orbites des grandes plan`etes.

Plusieurs tests ont ´et´e effectu´es pour ´etayer cette conclusion [T19]. Premi`e-rement, l’utilisation de l’´equivalence asymptotique entre les lois de type Pa-reto et le th´eor`eme centrale limite des statistiques d’ordre a permis de valider l’estimation du coefficientα. Deuxi`emement, pour les r´egions o`u α ≤2, un

2. Une fonction `a variation lenteL(z) est telle que limz→∞L(λz)

L(z) = 1 pour toutλ >0.

a)

Figure 7.18 – R´esultat de l’estimation du param`etre α pour les perturba-tions autour des grandes plan`etes. Les intervalles correspondants sont : a) Jupiter [0.98,5.7], b) Saturne [1.1,7.5], c) Uranus ([1.1,7.5]) et d) Neptune ([0.85,4.6].

test du χ² a ´et´e fait pour valider le r´esultat de l’estimation de tous les pa-ram`etres. Finalement, pour rem´edier `a l’inconv´enient de l’algorithme, une autre loi a ´et´e propos´ee pour les r´egions o`u α > 2, et un test du χ² a ´et´e construit pour valider les r´esultats.

L’expression de cette autre loi est

f(z) = C_κ,α

1+|κz−ω |^α+1, (7.20)

o`u avec C<sub>κ,α</sub> est une constante de normalisation, κ le param`etre d’´echelle, ω le param`etre de position et α la vitesse de variation de la queue de dis-tribution. L’estimation des param`etres de (7.20) se fait en plusieurs ´etapes.

D’abordαest estim´e au moyen de l’algorithme pr´ec´edent. Puisωest estim´e comme moyenne empirique des donn´ees. La constante de normalisationC_κ,α et le param`etre d’´echelle sont finalement estim´ees par la m´ethode des mo-ments.

Lesp-valeurs du test autour de l’orbite du Jupiter sont montr´ees Figure 7.19.

Nous observons que le test valide l’estimation des param`etres dans la plupart des cellules. Ceci renforce l’id´ee qu’autour des orbites des grandes plan`etes, les perturbations ont un comportement de type loi `a queue lourde. En mˆeme temps, pour am´eliorer les r´esultats de ce test, nous pensons `a encore une autre loi qui serait `a mˆeme de prendre en compte la sym´etrie, ainsi qu’`a une augmentation de donn´ees pour mieux estimer les param`etres.

a) ^{−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1}

Nos collaborateurs astronomes ont pu interpr´eter et valider nos r´esultats `a la lumi`ere de la th´eorie d’ ¨Opik. Cette th´eorie ´etudie les rencontres proches