Ce processus est d’une importance fondamentale du point de vue th´eorique et appliqu´e. En plus des r´ef´erences cit´ees, pour approfondir ce sujet nous recommandons [101, 107, 123, 132]. Ce processus est construit `a partir de deux ingr´edients : la densit´e et le processus ponctuel binomial.
Pour la densit´e, nous consid´erons une fonction ρ:W →[0,∞). Cette fonc-tion d´efinit la mesure intensit´e
Υ(B) = Z
B
ρ(w)dν(w), qui estlocalement finie2 etdiffuse3.
Le processus ponctuel binomial est d´ecrit par la d´efinition suivante.
D´efinition 4 Soit f(w) une densit´e de probabilit´e sur B ∈ BW et soit n∈ N. Un processus ponctuel X form´e de n points ind´ependamment r´epartis dans B selon la densit´ef est un processus ponctuel binomial. Dans ce cas, nous ´ecrivonsX ∼Binomial(B, n, f).
2. Υ(B)<∞pour des ensemblesB⊆W born´es 3. Υ({w}) = 0 pourw∈W
Le processus ponctuel binomial le plus simple est obtenu pour ν(B) < ∞ et f(w) = ν(B)1 . La propri´et´e d’ind´ependance et le nombre fixe d’objets, font que les processus binomiaux sont utilis´es comme point de d´epart dans l’´etude de la pr´esence d’interaction entre objets composant une forme [90].
Nous pouvons d´efinir maintenant le processus ponctuel de Poisson.
D´efinition 5 Un processus ponctuel X sur W est un processus ponctuel de Poisson de densit´eρ si les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees :
(i) pour tout B ⊆W tel que Υ(B) <∞, N(B) suit une loi de Poisson de
Pour tout ensemble born´e B ⊆ W, la mesure intensit´e Υ d´etermine le nombre moyen de points deB,
EN(B) = Υ(B).
D´efinition 6 Un processus ponctuel X est stationnaire si sa distribution est invariante par translation. Le processus est dit isotrope si sa distribution est invariante par rotation.
Si la fonction ρ est constante, nous parlons d’un processus de Poisson ho-mog`ene. Sinon, le processus est appel´e h´et´erog`ene. Siρ= 1, alors le proces-sus ponctuel Poisson(W,1)est dit processus de Poisson standard ou processus de Poisson de densit´e unit´e.
Proposition 1
(i) Le processus ponctuel X est Poisson(W, ρ)avec une mesure d’intensit´e Υ(B) =R
Proposition 2 Si X est un processus de Poisson sur W, et si B1, B2, . . . sont des ensembles deux `a deux disjoints deW, alors les processusXB1, XB2, . . . sont ind´ependants.
SiW est born´e, l’existence du processus Poisson(W, ρ) d´ecoule directement de la Prop. 1. Le r´esultat suivant garantit l’existence d’un processus de Pois-son mˆeme quandW n’est pas born´e [141].
Th´eor`eme 3 Le processusX ∼Poisson(W, ρ) existe et sa loi est caract´eris´ee par la probabilit´e des ´ev`enements vides
v(B) = exp[−Υ(B)]
pour les ensemblesB ⊂W born´es.
Proposition 3 Si X ∼Poisson(W, ρ) alors GX(u) = exp
Les r´esultats suivants, connus sous le nom de th´eor`emes de Slyvniak-Mecke, constituent un outil pr´ecieux pour le calcul de quantit´es moyennes attach´ees aux objets issus d’un processus de Poisson.
Th´eor`eme 4 Si X ∼ Poisson(W, ρ), alors pour des fonctions h : W × (le membre de gauche ´etant fini si et seulement s’il en est de mˆeme du membre de droite).
Dans ce qui suit, nous d´efinissons deux op´erations sur les processus ponc-tuels. Nous montrons ensuite que la classe des processus de Poisson est ferm´ee sous ces op´erations.
D´efinition 7 L’union disjointe ∪∞i=1Xi de processus ponctuels X1, X2, . . . est appel´ee superposition.
D´efinition 8 Soit la fonctionq:W →[0,1]et soitXun processus ponctuel sur W. Le processus ponctuel Xthin ⊂ X obtenu en gardant les points ξ ∈ X dans Xthin avec la probabilit´e q(ξ), ind´ependamment l’un de l’autre, est appel´e amincissement ind´ependant de X. Plus pr´ecis´ement, nous avons
Xthin={ξ ∈X :R(ξ)≤q(ξ)},
o`u les R(ξ) ∼ U[0,1], ξ ∈ W sont des variables al´eatoires mutuellement ind´ependantes et ind´ependantes de X.
Proposition 4 Pour i= 1,2, soient les processus ind´ependants Xi∼Poisson(W, ρi),
de mesures d’intensit´eΥi=R
ρi(ξ)dν(ξ), respectivement. Les deux processus X1 et X2 sont presque sˆurement disjoints, plus pr´ecis´ement
P(X1∩X2 =∅) = 1,
si et seulement si Υ1({w})Υ2({w}) = 0 pour tout w∈W 5.
Proposition 5 Si les processus Xi ∼ Poisson(W, ρi) , i = 1,2, . . . sont mutuellement ind´ependants et si ρ = P
ρi est localement int´egrable, alors X=∪∞i=1Xi est presque sˆurement une superposition et X ∼Poisson(W, ρ).
Proposition 6 SoitX ∼Poisson(W, ρ)sur lequel on applique une op´eration d’amincissement selon les probabilit´es q(ξ) avec ξ ∈ W et soit ρthin = q(ξ)ρ(ξ). Alors,XthinetX\Xthinsont des processus de Poisson ind´ependants de densit´es respectives ρthin et ρ−ρthin.
Une forme induite par un processus de Poisson pr´eserve son caract`ere pois-sonnien si on lui applique les op´erations de superposition et d’amincissement.
Cette propri´et´e est bien utile pour simuler des processus ponctuels plus com-plexes. Par exemple, un processus ponctuel de Poisson h´et´erog`ene peut ˆetre obtenu par l’amincissement d’un processus de Poisson homog`ene.
5. Il existe une mani`ere alternative de pr´esenter cette propri´et´e des processus de Pois-son, en utilisant la ”Disjointness Lemma” [101, 102, 32]
Corollaire 1 Soit X∼Poisson(W, ρ) avec ρ major´e par une constante po-sitive C. Alors X suit la loi du processus Poisson(W, C) aminci par les probabilit´es p(ξ) =ρ(ξ)/C.
La d´efinition d’un processus ponctuel de Poisson peut ˆetre ´etendue au cadre des processus ponctuels marqu´es. Mˆeme si a priori cela ne pose pas de dif-ficult´e imm´ediate, cela doit ˆetre fait avec quelques pr´ecautions. En effet, la loi des marques peut affecter la propri´et´e d’ind´ependance ainsi que les pro-pri´et´es de stationnarit´e et d’isotropie du processus.
D´efinition 9 Soit Y ∼ Poisson(W, ρ) et soient les marques {mξ : ξ ∈ Y} choisies de fa¸con conditionnellement ind´ependante `a Y. Alors X = {(ξ, mξ) :ξ ∈Y} est un processus de Poisson marqu´e. Si les marques sont de mˆeme loi νM sur (M,M), alors νM est la loi des marques.
Il existe des processus d’objets g´eom´etriques al´eatoires dont la position est poissonnienne, mais avec des caract´eristiques d´ependantes de la configura-tion des objets [49, 82, 43, 44]. Ces processus ne rentrent pas dans le cadre des processus de Poisson marqu´es.
Exemple 1 : quelques processus de Poisson marqu´es connus. Si M ={1,2, . . . , k}, nous avons un processus de Poisson multitype. Si M = {K ⊆ W : K compact}, alors X est un sch´ema bool´een. Pour plus des d´etails sur les processus Bool´eens nous recommandons [107, 122, 132].
SoientX1 etX2 deux processus de Poisson surW. La loi deX1 est absolu-ment continuepar rapport `a celle deX2si et seulement siP(X2∈F) = 0 im-pliqueP(X1 ∈F) = 0 quandF ∈ FW. Par le th´eor`eme de Radon-Nykodym, il existe une fonctionf : ΩW →[0,∞) tel que
P(X1∈F) =E[1{X2 ∈F}f(X2)], F ∈ FW.
La fonction f est appel´ee la densit´e du processusX1 par rapport `a X2 [27, 141].
Proposition 7
Soient X1 et X2 deux processus de Poisson sur W, de densit´es ρ1 et ρ2, respectivement.
(i) Si les densit´es ρ1 et ρ2 sont des constantes et W = Rd, alors X1 est absolument continu par rapport `a X2 si et seulement si ρ1 =ρ2.
(ii) Si les densit´esρ1 et ρ2 sont des fonctions int´egrables sur le domaine W
born´e, tels queρ2(ξ)>0 siρ1(ξ)>0. Alors, X1 est absolument continu par rapport `a X2. De plus, sa d´eriv´ee de Radon-Nycodym vaut
f(x) = exp[Υ2(W)−Υ1(W)]Y
ξ∈x
ρ1(ξ)/ρ2(ξ),
pour toute configuration finie de pointsx⊂W (et en consid´erant0/0 = 0)6. Le r´esultat pr´ec´edent montre que deux processus de Poisson ne sont pas toujours absolument continus l’un par rapport `a l’autre. Cependant, un pro-cessus de Poisson est toujours continu par rapport au propro-cessus de Poisson standard lorsqueW est born´e.
Les sch´emas Bool´eens sont l’un des premiers mod`eles math´ematiques d´evelop-p´es pour la construction de formes. La forme induite par ces mod`eles est consid´er´ee comme la plus simple, car il n’y a pas d’interaction entre objets.
Cette absence d’interaction est garantie par la propri´et´e d’ind´ependance des processus. Elle permet aussi d’en d´eduire des formules analytiques pr´ecises pour le calcul des caract´eristiques de ces formes. L’application imm´ediate de ces r´esultats est la construction des tests statistiques permettant de rejeter l’hypoth`ese d’absence d’interaction entre les objets composant une struc-ture [90, 190, 132, 141, 180].