4.4 Algorithme CFTP pour les processus ponctuels marqu´es
5.1.1 Etude par simulation de la dynamique adapt´ee au mo-
Cette section pr´esente une ´etude par simulation de la dynamique adapt´ee au mod`ele Candy [T7]. Ce mod`ele g´en`ere des configurations al´eatoires de seg-ments qui peuvent se connecter en formant un r´eseau. Il peut ˆetre vu aussi comme une application bidimensionnelle du mod`ele Bisous, pour g´en´erer des structures lin´eaires [T17]. Une r´ealisation du mod`ele ainsi que les pa-ram`etres d’interaction de la densit´e de probabilit´e sont donn´es Figure 7.4.
Le processus est d´efini dans la fenˆetreW = [0,256]×[0,256]. Les segments sont de longueur uniforme entre [30,40] et leur orientation uniforme dans [0, π). Le rayon d’attraction est ra= 1/√
π. Les valeurs seuil d´efinissant les interactions par r´epulsion et alignement sont respectivement de δ = 0.05π etdeτ = 0.2π.
Dans une premi`ere exp´erience, l’algorithme de Metropolis-Hastings d´efini par (4.7) et les probabilit´espb = 0.6,pd= 0.2 etpc = 0.2 a ´et´e lanc´e `a partir d’une configuration vide, pendant 2×107 it´erations. Des statistiques ex-haustives ont ´et´e pr´elev´ees toutes les 103 it´erations. La densit´e d’ajout d’un nouvel objet `a la configurationb(x, η) est un m´elange de la forme (5.1), o`u p1 = 0.2 etp2= 0.8. Pour une configuration de segmentsx, l’ensembleA(x) est l’union de toutes les sph`eres d’attraction des extr´emit´es non connect´ees,
`
a une distance sup´erieure `a 12lmax+radu bord de W.
La probabilit´e de supprimer un objet est donn´ee par (4.17). Un objet est mo-difi´e de deux mani`eres. Avec la probabilit´epc1= 0.1 un objet est s´electionn´e au hasard, ot´e de la configuration, puis de nouvelles valeurs sont attribu´ees
0 50 100 150 200 250
050100150200250 Param`etres Statistiques du mod`ele exhaustives logγ2 = 2.5 n2 = 59 logγ1 =−3.0 n1 = 32 logγ0 =−8.5 n0 = 7 logγr=−2.5 nr = 11 logγo=−2.5 no = 12
Figure5.2 – R´ealisation du Candy mod`ele avec les valeurs des param`etres d’interaction et les valeurs observ´ees des statistiques exhaustives.
aux param`etres de cet objet selon la loi c(x, xi, η) =b(x\ {xi}, η). Avec la probabilit´e pc2 = 0.1 un objet est s´electionn´e selon le mˆeme sch´ema, puis une modification uniforme sur [0, π) de son orientation est propos´ee.
La Figure 5.3 illustre la d´ependance de la morphologie d’une configuration de segments vis-`a-vis des param`etres du mod`ele. La connexit´e du r´eseau est influenc´ee par les param`etres γ0, γ1 et γ2, alors que sa courbure est plutˆot contrˆol´ee par les param`etres γo etγr.
La deuxi`eme exp´erience ´etudie les performances de l’algorithme Metropolis-Hastings en fonction de la configuration initiale et de l’influence des diff´erents mouvements sur la vitesse de convergence. Les Figures 5.4 et 5.5 montrent deux r´ealisations du mod`ele Candy de r´ef´erence (ses param`etres sont donn´es Figure 7.4), obtenues par l’algorithme pr´ec´edent, avec pour configuration initiale la r´ealisation d’un processus binomial et d’un r´eseau al´eatoire. La r´ealisation du processus binomial est obtenue pour 200 segments. Le r´eseau al´eatoire est obtenu `a l’aide d’un algorithme Metropolis-Hastings qui ne fait que des modifications. L’algorithme est d´efini par un noyau de transi-tion (4.7) o`u pb = pd = 0 et pc1 = pc2 = 0.5, et les lois d’instrumentation c(x, xi, η) et cθ(x, xi, η) d´efinies comme plus haut. L’´etat initial de l’algo-rithme est une r´ealisation d’un processus binomial de 200 segments. Comme pour la premi`ere exp´erience les algorithmes ont tourn´e pendant 2×107 it´erations et des statistiques exhaustives du mod`ele ont ´et´e pr´elev´ees toutes les 103 it´erations. Les valeurs des moyennes des statistiques sont proches et leur ´evolution pendant la simulation ne donnent pas d’indications contraires
`
a la convergence.
0 50 100 150 200 250
050100150200250 Param`etres Statistiques du mod`ele exhaustives logγ2 = 2.5 n2 = 39 logγ1 =−3.0 n1 = 20 logγ0 =−5.0 n0 = 68 logγr=−2.5 nr = 15 logγo=−2.5 no = 4
0 50 100 150 200 250
050100150200250 Param`etres Statistiques du mod`ele exhaustives logγ2 = 2.5 n2 = 47 logγ1 =−3.0 n1 = 24 logγ0 =−8.5 n0 = 1 logγr=−6.5 nr = 0 logγo=−6.5 no = 0
0 50 100 150 200 250
050100150200250 Param`etres Statistiques du mod`ele exhaustives logγ2 = 4.0 n2 = 107 logγ1 =−3.0 n1 = 30 logγ0 =−8.5 n0 = 0 logγr=−2.5 nr = 14 logγo=−2.5 no = 23
Figure5.3 – R´ealisations du mod`ele Candy, avec ses valeurs des param`etres d’interaction et les statistiques exhaustives observ´ees.
0 50 100 150 200 250
Figure 5.4 – S´eries temporelles des moyennes cumul´ees des statis-tiques exhaustives durant la simulation du mod`ele Candy par l’algo-rithme Metropolis-Hastings d´ecrit dans le texte. La configuration initiale (r´ealisation d’un processus binomial de 200 segments) est montr´ee en haut
`
a gauche, la configuration finale en haut `a droite.
0 50 100 150 200 250
Figure 5.5 – S´eries temporelles des moyennes cumul´ees des statis-tiques exhaustives durant la simulation du mod`ele Candy par l’algo-rithme Metropolis-Hastings d´ecrit dans le texte. La configuration initiale (r´ealisation d’un processus binomial de 200 segments) est montr´ee en haut
`
a gauche, la configuration finale en haut `a droite.
Nous avons ensuite fait varier les poids des diff´erents mouvements. La Fi-gure 5.6 montre une r´ealisation et les s´eries temporelles des moyennes cu-mul´ees des statistiques pour les poids pb = 0.45, pd = 0.15, pc1 = 0.3, pc2 = 0.1. Pour la Figure 5.7 ces poids sont pb = 0.7, pd = 0.1, pc1 = 0.1 et pc2 = 0.1. Dans les deux cas, nous avons p1 = 0.2, p2 = 0.8. ainsi que pM =pM˜ = 0.5.
Les r´esultats indiquent que ni la configuration initiale, ni les poids des mouvements du noyau de transition influent sur les r´esultats de la simu-lation avec les param`etres consid´er´es. Cependant, la probabilit´e p2 ne doit pas ˆetre trop petite pour ne pas compl`etement exclure des mouvements adapt´es. La Figure 5.8 montre une simulation o`u nous avons utilis´e seule-ment des naissances uniformes, c’est-`a-dire pb = 0.75,pd= 0.25, p1 = 1.0 et p2 = pc = 0. Les courbes montrent qu’apr`es un grand nombre d’it´erations un r´eseau connect´e se forme. Mais l’´evolution des statistiques exhaustives r´ev`ele une certaine absence de stationnarit´e, ce qui contraste avec les autres exemples.