2.4 Processus ponctuels avec interaction
3.1.2 Mod´elisation de l’attache aux donn´ees
Pour pouvoir localiser des structures dans un jeu de donn´ees, il faut rajouter au mod`ele, un terme d’attache aux donn´ees, comme expliqu´e plus haut dans ce chapitre.
Il n’y a pas de m´ethode pr´ecise pour construire le terme d’attache aux donn´ees. En r`egle g´en´erale, il doit contenir la d´efinition de ce que l’on cherche, il doit ˆetre facile `a calculer et il doit garantir que le mod`ele complet est bien d´efini, c’est `a dire int´egrable. Dans ce qui suit, nous pr´esentons les id´ees qui ont servi `a construire le terme d’attache aux donn´ees pour la d´etection de filaments galactiques [T20, T21, T22].
Les donn´ees utilis´ees ici sont les positions d’un nombre fini de galaxies ob-serv´ees dans une fenˆetre W de volume fini. Les filaments galactiques sont donn´ees par le r´eseau lin´e¨ıque induit par la position des galaxies. La Fi-gure 3.4 montre un champ de galaxies observ´ees dans un angle solide. On se limitera toutefois `a un volume rectangulaire, afin que le champ de galaxies
`
a l’int´erieur pr´eserve une certaine homog´en´eit´e : `a cause de l’´eloignement, seules les galaxies les plus brillantes sont observ´ees. Plus on s’´eloigne de l’observateur, plus la densit´e du champ de galaxies observ´ees diminue.
Pour la partie “interaction”, celle qui g´en`ere les filaments, nous avons utilis´e le mod`ele Bisous pour des structures lin´eaires. Ainsi, un r´eseau est construit
`
a partir de segments qui interagissent pour se connecter et s’aligner. La densit´e de probabilit´e de ce processus objet est donn´ee par
pi(x|θ) =γκnκ(x) Y2 s=0
γsns(ß),
ce qui met en jeu les param`etresγset les statistiquesnsd´efinies comme plus haut. L’interaction∼κ combine la r´epulsion∼h avec un positionnement or-thogonal ∼⊥ de deux objets. Deux objets sont dits orthogonaux x1 ∼⊥ x2 si et seulement si|m1·m2| ≤τ⊥, avecτ⊥∈(0,1) pr´ed´efini. Par cons´equent, pour deux objetsx1etx2, nous pouvons ´ecrirex1 ∼κx2si nous avons simul-tan´ement x1 ∼hx2 etx1 ∼⊥x2. Pour que le mod`ele soit bien d´efini on doit prendreγκ ∈[0,1]. Les statistiques nκ repr´esentent le nombre de paires de segments en situation de r´epulsion et d’orthogonalit´e dans la configurationx.
a)
Figure 3.3 – Formes g´en´er´ees `a l’aide du mod`ele Bisous : a) structure
Figure3.4 – ´Echantillon rectangulaire dans l’h´emisph`ere nord du catalogue 2dF Redshift Survey. Le diam`etre d’une galaxie est ∼ 30×3261.6 ann´ees lumi`ere.
L’´energie d’interaction du syst`eme s’´ecrit sous la forme suivante : Ui(x|θ) =−nκlogγκ−
X2 s=0
ns(x) logγs (3.6) Pour la partie “attache aux donn´ees”, celle qui positionne les filaments, nous proc´edons de la mani`ere suivante. A chaque segment x du r´eseau lin´e¨ıque, nous lui attachons un cylindre s(x) = s(w, m) de rayon fixe r et d’axe de sym´etrie sp´ecifi´e par les param`etres du segment, le centrew; la longueur 2rh et le vecteur d’orientationm. A chaque cylindre est associ´e un extra-cylindre de param`etres identiques au pr´ec´edent `a l’exception du rayon qui est 2r. Soit
˜
s(x) l’ombre de x, qui est la diff´erence ensembliste entre l’extra-cylindre et le cylindre comme l’indique la Figure 3.5. Le cylindres(x) est divis´e en trois parties de volume ´egal, que nous allons noter s1(x), s2(x) et s3(x).
Un cylindre peut faire partie du r´eseau, s’il v´erifie plusieurs conditions.
Premi`erement, la densit´e de galaxies `a l’int´erieur d’un cylindre doit ˆetre sup´erieure `a la densit´e de galaxies `a l’int´erieur de son ombre. Nous ´ecrivons cette condition de la mani`ere suivante
1{“densit´e”}=1{n(d∩s(x))ν(˜s(x))> n(d∩˜s(x))ν(s(x))},
n(d∩s(x)) etn(d∩˜s(x)) d´esignant le nombre de galaxies couvertes par le cylindre et son ombre, de volumes respectifsν(s(x)) etν(˜s(x)).
Ensuite, `a l’int´erieur du cylindre, les galaxies doivent ˆetre r´eparties d’une mani`ere assez homog`ene. Ceci est formul´e comme suit
1{“homog´en´eit´e”}= Y3 i=1
1{n(d∩si(y))>1},
r h/3
h/3
h/3 cylinder’s shape 2r
cylinder’s shadow
Figure 3.5 – La vue bidimensionnelle d’un cylindre et son ombre dans un champ de galaxies.
o`u n(d∩si(x)) repr´esente le nombre de galaxies situ´ees danssi(y).
Dans ce contexte, nous d´efinissons le potentiel ´energ´etique d’un cylindre comme la fonction
u(x) = 1{“densit´e”}1{“homog´en´eit´e”}[n(d∩s(x))−
− n(d∩s(x)) +˜ umax]−umax, (3.7) o`u umax est une quantit´e positive pr´efix´ee qui est introduite pour donner une petite chance, `a un cylindre qui ne remplit pas tous les crit`eres de faire partie du r´eseau filamentaire. Ce terme vise `a obtenir des r´eseaux un peu plus complets et il am´eliore les propri´et´es de m´elange de la dynamique de simulation du mod`ele.
Le terme d’attache aux donn´ees est obtenu en sommant les potentiels (3.7) pour tous les cylindres d’une configuration
Ud(x|θ) =−X
x∈x
u(x). (3.8)
Comme la fenˆetre d’observation W ne comporte qu’un nombre fini de ga-laxies, nous pouvons montrer qu’il existe une constante Λd ≥ exp(−umax) telle que
u(η)>−log Λd
pour toutη∈W ×M. Le mod`ele d’attache aux donn´ees et le mod`ele d’in-teraction sont tous deux localement stables. Ceci implique que le mod`ele complet (3.1) donn´e par (3.6) et (3.8) est bien d´efini.
Un r´esultat de d´etection des filaments obtenu en utilisant le mod`ele pro-pos´e est pr´esent´e Figure 3.6. Nous observons que les cylindres tendent `a se connecter et qu’ils se positionnent dans des r´egions une inspection visuelle peut sugg´erer l’existence de filaments.
a) 20
Figure3.6 – a) Donn´ees : le catalogue de galaxies N GP200. b) Configura-tion de cylindres approximant les r´eseaux filamentaire.
La construction du terme d’attache aux donn´ees que nous avons pr´esent´ee est tr`es intuitive sans chercher une optimalit´e quelconque. Nous avons fait ce choix, en esp´erant que les cosmologistes vont r´eagir afin qu’en utilisant leur connaissances physiques, ils puissent donner une d´efinition locale des propri´et´es d’un filament galactique qui puisse ˆetre int´egr´ee au mod`ele. Cette strat´egie a ´et´e fructueuse. Le terme d’attache aux donn´ees a ´et´e repris par les cosmologistes pour ´etudier la corr´elation des vecteurs d’orientation des galaxies avec l’orientation du filament duquel elles font partie [184].
Actuellement, nous sommes en train de pr´eciser les propri´et´es locales d’un filament sous la forme de tests d’hypoth`eses [T25]. Ceci ouvre la possibilit´e de relier notre mod`ele `a des mod`eles de type Cox ou shot-noise. Sous les hypoth`eses du mod`ele, ce cadre permettrait la simulation des catalogues
ga-lactiques. Ce travail est en cours.