Processus ponctuels markoviens

L’intensit´e de Papangelou peut ˆetre interpr´et´ee comme la probabilit´e condi-tionnelleλ(x,(w, m))dν(w)dν_M(m) de contenir un objet (w, m) dans le do-maine infinit´esimaldν(w)dν_M(m) sachant que le processus co¨ıncide avec x hors de ce domaine. Son expression est donn´ee par

λ(η;x) =φ(η)⁽¹⁾ Y

xi∈x

φ(x_i, η)⁽²⁾· · · Y

{xi1,...,x_ik}∈x

φ(x_i1. . . . , x_ik, η)^(k+1) (2.9)

Cette interpr´etation est appel´ee dans [190, 141], conditionnement ext´erieur.

Une fa¸con compl´ementaire d’´etudier une structure est le conditionnement int´erieur : on ´etudie la forme connaissant un objet qui en fait partie. Cette autre mani`ere de proc´eder m`ene aux mesures de Palm qui permettent la construction de statistiques descriptives tr`es utilis´ees dans la pratique [190, 141, 180].

L’intensit´e conditionnelle dans sa forme (2.9) est difficile `a manipuler. Pour simplifier l’´etude d’une structure, il est naturel d’envisager un ordre limite d’interaction. On peut par exemple ne consid´erer que les interactions par paires d’objets. Une autre simplification naturelle consiste `a supposer que les interactions entre objets sont locales, c’est-`a-dire qu’un objet ne puisse interagir qu’avec ses ”voisins proches”. Toutes ces simplifications imposent un caract`ere markovien aux formes ´etudi´ees. Ceci est l’hypoth`ese clef pour le cadre de mod´elisation que l’on a choisi. Dans ce cas, l’intensit´e condition-nelle joue un rˆole similaire `a la probabilit´e conditionnelle en un site dans le

cas des champs de Markov discrets [113, 202].

Soit ∼ une relation d’interaction sym´etrique et r´eflexive sur des objets de W ×M. Il s’agit typiquement d’une relation de voisinage bas´ee sur une m´etrique (Euclidienne, Hausdorff, etc.) ou bien sur une intersection d’en-sembles.

D´efinition 12 Une clique est une configurationx∈Ωtelle que η∼ζ pour tout η, ζ ∈x. L’ensemble vide est une clique.

D´efinition 13 SoitX un processus ponctuel marqu´e surW×M de densit´e p par rapport `a la mesure de r´ef´erence µ. Le processus X est markovien si pour tout x ∈ Ω tel que p(x) > 0, les conditions suivantes sont simul-tan´ement v´erifi´ees :

(i) p(z)>0 pour tout z⊆x (h´er´edit´e)

(ii) ^p(x∪{ζ})_p(x) ne d´epend que de ζ et de ∂(ζ)∩x={η ∈x:η∼ζ}.

Ce type de processus est connu dans la litt´erature comme un processus de Markov au sens de Ripley-Kelly [190, 161].

Exemple 3 Par rapport `a la mesure de r´ef´erenceµ, la densit´e de probabilit´e d’un processus de Poisson marqu´e surW ×M d’intensit´e constante (ρ(η) = β >0) est

p(x) =β^n(x)exp[(1−β)ν(W)].

Il est clair que p(x) >0 pour toute configuration d’objets x. Son intensit´e de Papangelou vaut

λ(η;x) =β1{η /∈x}.

Le processus de Poisson est donc markovien, ind´ependamment des fonctions d’interaction φ^(k). Ceci est bien conforme au choix du processus de Poisson comme structure compl`etemental´eatoires [90, 190].

Le r´esultat suivant, connu sous le nom de propri´et´e de Markov spatiale, g´en´eralise la propri´et´e (ii) de la d´efinition d’un processus ponctuel marko-vien. On peut aussi le voir comme l’´equivalent spatial de la propri´et´e de Markov temporelle [190, 141, 161].

Th´eor`eme 6 SoitXun processus marqu´e markovien surW×M de densit´e p(·), et soit A un bor´elien de W ×M. Alors la loi conditionnelle de X∩A sachant X∩A^c ne d´epend que de la partie de X situ´ee dans le voisinage

∂(A)∩A^c ={u ∈W \A:u∼a for some a∈A}.

Le r´esultat suivant est connu dans la litt´erature en tant que th´eor`eme de factorisation Hammersley-Clifford [11, 190, 141, 161].

Th´eor`eme 7 Le processus ponctuel de densit´e p : Ω → R<sup>+</sup> est markovien par rapport `a la relation ∼si et seulements’ilexiste une fonction mesurable φ_c : Ω→R⁺ telle que

p(x) = Y

cliques z⊆x

φc(z), α=φc(∅) (2.10) pour tout x∈Ω.

Ce th´eor`eme simplifie l’´ecriture de la densit´e de probabilit´e d’un processus ponctuel avec interaction (2.4.1) en ne consid´erant que le produit de fonc-tions d’interaction sur des cliques. Pour un processus ponctuel markovien, l’´equivalence entre (2.10) et (2.4.1) est obtenue en posantφc(z) = 1 lorsque z n’est pas une clique.

Les processus ponctuels de Markov sont connus par la communaut´e de la physique statistique sous le nom deprocessus ponctuels de Gibbs[141, 180].

Les processus de Gibbs d´ecrivent des syst`emes `a grand nombre de particules.

La densit´e de probabilit´e d’un processus ponctuel de Gibbs est p(x) = 1

Zexp [−U(x)] = 1 Z exp



− X

cliques z⊆x

Uc(z)



,

o`u Z est la fonction de partition, U l’´energie du syst`eme et Uc = logφc le potentiel d’une clique. Tous les processus ponctuels de Markov peuvent ˆetre vus comme des processus de Gibbs. La r´eciproque n’est pas vraie.

Les exemples suivants analysent le caract`ere markovien des quelques proces-sus ponctuels connus.

Exemple 4 Revenons sur le processus de Poisson de l’exemple pr´ec´edent.

Il a pour densit´e

p(x) =e^{(1−β)ν(W)}Y

x∈x

β.

Ainsi, les fonctions d’interaction appliqu´ees aux cliques sont φ_c(∅) = e^{(1−β)ν(W)}

φc({η}) = β

etφ_c ≡1 si les cliques ont deux objets ou plus. Il en r´esulte que le potentiel des cliques `a un objet est

U_c(η) =−logβ,

alors qu’il vautU_c = 0 pour les cliques `a plus d’un objet. Ceci confirme bien l’absence d’interaction dans le processus de Poisson, ainsi que le choix de ce processus pour mod´eliser des formes simples, sans structure morphologique particuli`ere [90, 190].

Exemple 5 Mod`ele de Widom-Rowlinson. Ce mod`ele de m´elange pour des sph`eres superposables [200] est d´ecrit par l’espace des marques M = {1,2} et la densit´e

p(x) =α Y

(w,m)∈x

β_m Y

(u,1),(v,2)∈x

1{ku−vk> r} (2.11) par rapport au processus de Poisson multitype standard sur W ×M avec ν_M(1) =ν_M(2). Ici α est la constante de normalisation. Ainsi, les sph`eres de type diff´erent sont `a distance au moins r >0 l’une de l’autre, tandis que les particules du mˆeme type s’agr`egent dans les espaces laiss´es libres par les particules de l’autre type. Les param`etres β₁ et β₂ contrˆolent l’intensit´e des particules de type 1 et2, respectivement.

L’intensit´e conditionnelle qu’il faut pour ajouter l’objet(w,1)∈/x`a la confi-gurationx est

λ((w,1);x) =β₁1{ku−wk> r pour tous les (u,2)∈x};

une expression similaire est valable pour ajouter un objet de type 2. Le mod`ele Widom-Rowlinson est h´er´editaire et localement stable avec

Λ = max{β₁, β₂}.

De plus, λ((w, m);x^′)≥λ((w, m);x) pour tout x^′ ⊆xet (w, m)∈W ×M. Les fonctions d’interaction appliqu´ees sont

φ_c(∅) = α φ_c({(w, m)}) = β_m

φc({(u,1),(v,2)}) = 1{ku−wk> r}

ainsi que φ_c ≡1 si les cliques ont deux objets ou plus de mˆeme type.

Exemple 6 Processus multitype avec interactions par paires. Nous prenons pour espace des marques M ={1, . . . , I} avecI ∈N, et pour ν_M la distribu-tion uniforme surM. Les processus multitype avec interaction par paire [11,

161] sont d´efinis par leur densit´e p par rapport au processus de Poisson multitype standard sur W ×M. La densit´ep a pour expression

p(x) =α Y

(w,m)∈x

β_m Y

(u,i)6=(v,j)∈x

γ_ij(ku−vk), (2.12) le deuxi`eme produit portant sur toutes les paires de points marqu´es diff´erents.

Les param`etres β_m >0, m∈M contrˆolent l’intensite des points de typem.

L’interaction entre chaque paire de types d’objet i, j ∈M est d´ecrite par la fonction mesurable γij : [0,∞)→[0,1]. Nous supposons que les interactions entre objets sont sym´etriques, c’est `a dire γ<sub>ij</sub> ≡γ<sub>ji</sub> pour tous les i, j ∈M. Le mod`ele (2.12) est h´er´editaire et localement stable avec Λ = max_m∈Mβ_m. Pour (w, m)∈/x, l’intensit´e conditionnelle de Papangelou

λ((w, m);x) =β_m Y

(u,i)∈x

γ_im(ku−wk)

est d´ecroissante, par rapport `a la relation d’ordre induite par l’inclusion.

Les fonctions d’interaction sont

φ_c(∅) = α φ_c({(w, m)}) = β_m

φc({(u, i),(v, j)}) = γij(ku−vk)

avec φ_c ≡1 si les cliques ont trois objets ou plus.

Chapitre 3

Contributions

Notre probl`eme est le suivant : nous observons des donn´ees spatialis´ees d dans une fenˆetreW et nous souhaitons trouver les structures pr´esentes dans les observations. Par hypoth`ese, ces structures sont obtenues `a partir d’ob-jets simples qui interagissent. NotantM l’espace des param`etres de ces ob-jets, nous supposons que la forme recherch´ee est la r´ealisation d’un processus ponctuel marqu´e surW ×M.

Dans le cadre des processus de Gibbs, la densit´e de probabilit´e d’un tel processus s’´ecrit

p(x|θ) = exp[−U(x|θ)]

Z(θ) = exp[−(U_d(x|θ) +U_i(x|θ))]

Z(θ) , (3.1)

o`uθest le vecteur de param`etres etZ(θ) la fonction de partition du mod`ele.

L’´energie totale du syst`eme,U(x) est la somme de deux termes. Le premier terme,U<sub>d</sub>(x|θ) repr´esente l’´energie d’attache aux donn´ees et concerne la po-sition des objets dans W. Le deuxi`eme terme, U_i(x|θ) repr´esente l’´energie d’interaction et concerne l’interaction entre objets.

La densit´e (3.1) est d´efinie par rapport `a la mesure de r´ef´erence µ. Le pro-cessus d´ecrit par cette ´equation peut ˆetre vu aussi comme la superposition d’un processus de Poisson h´et´erog`enes et d’un processus d’interaction

p(x|θ)∝p_d(x|θ)p_i(x|θ).

Le processus de Poisson h´et´erog`ene est d´ecrit par pd(x|θ) =exp[−Ud(x|θ)]

Z_d(θ) , (3.2)

avec U_d(x|θ) = P

x∈xu(x|θ) et u une fonction mesurable, alors que le pro-cessus d’interaction est ´ecrit sous la forme

p_i(x|θ) =exp[−U_i(x|θ)]

Z_i(θ) , (3.3)

Z_d(θ) et Z_i(θ) ´etant les constantes de normalisation associ´ees respective-ment `a (3.2) et `a (3.3) .

Exemple 7 Rˆole des composantes attache aux donn´ees et inter-action. La Figure 3.1a montre une image satellite contenant un morceau du r´eseau routier. Le r´eseau forme la lettre “X”, le bras en bas `a droite de l’image ´etant un peu diffus. Sur le bras en haut `a gauche, on observe une route secondaire. Ce type de croisement est aussi observ´e sur le bras en bas

`

a droite. La radiom´etrie ou la couleur de la route est plutˆot homog`ene, et l’on peut dire que les routes dans cette image ont tendance `a ˆetre “blan-ches”. Nous observons ´egalement des r´egions dans l’image o`u des structures filiformes peuvent ˆetre observ´ees. Il est cependant difficile de les consid´erer comme faisant partie du r´eseau routier. Ce type d’objets repr´esenterait plutˆot une fronti`ere entre champs.

Supposons le r´eseau form´e par un ensemble de petits segments qui se con-nectent et qui s’alignent, tout au long de la route. Dans ce cas, le cadre des processus ponctuels permet approcher le r´eseau routier par la r´ealisation d’un processus marqu´e d´efini par une densit´e de la forme (3.1). Les milieux des segments repr´esentent la position des objets cherch´es, alors que leur lon-gueurs et leur orientations repr´esentent leur marques.

Sans entrer dans les d´etails, si le mod`ele utilis´e n’´etait form´e que d’un terme d’attache aux donn´ees (3.2), le r´esultat que l’on obtiendrait est pr´esent´e Fi-gure 3.1b. Nous observons que l’on peut retrouver avec pr´ecision les grandes structures du r´eseau. Cependant, beaucoup de fausses alarmes sont ´egalement d´etect´ees. Le terme d’attache aux donn´ees localise assez bien les objets qui nous int´eressent, mais n’´elimine pas les objets ind´esirables, c’est-`a-dire les objets qui pris ensemble ne forment pas un r´eseau. En fait, le probl`eme de d´etection d’objets d´efini uniquement `a partir de (3.2) est mal conditionn´e.

Si la densit´e ne comportait qu’un terme d’interaction entre les segments, alors le r´eseau que l’on obtiendrait ressemble `a celui de la Figure 3.1c. Nous pouvons remarquer que le r´eseau qui se forme a bien les propri´et´es sou-hait´ees. Les segments qui forment le r´eseau sont connect´es et relativement bien align´es. Il y a tr`es peu de petits segments isol´es. Les croisements entre les diff´erentes composantes du r´eseau sont autoris´es. Cependant, le r´eseau obtenu est sans rapport avec le r´eseau que l’on souhaiterait d´etecter, l’´energie d’interaction ne d´ependant pas des donn´ees.

C’est la combinaison de ces deux termes qui donne un r´esultat “proche” du r´eseau observ´e Figure??d. Le terme d’attache aux donn´ees d´etecte les objets susceptibles de faire partie du r´eseau, selon des principes de filtrage

morpho-logique [175]. Le terme d’interaction r´egularise la solution, en ne gardant que les segments qui respectent au mieux les contraintes topologiques du r´eseau.

a) b)

c) d)

Figure 3.1 – Influence des diff´erentes composantes d’un mod`ele pour la d´etection d’objets dans une image : a) image originelle SPOT, b) r´esultat obtenu en utilisant uniquement le terme d’attache aux donn´ees, c) r´esultat obtenu en utilisant uniquement le terme d’interaction, d) r´esultat obtenu en utilisant le mod`ele complet.

3.1 Mod´ elisation des filaments galactiques : les pro-cessus Candy et Bisous

Le mod`ele Candy a ´et´e construit pendant la th`ese. Ce mod`ele a ´et´e propos´e comme solution possible au probl`eme de l’extraction de r´eseaux lin´e¨ıques dans des images satellitaires et a´eriennes [T2, 179, T14, T1, T15]. Ce pro-cessus ponctuel marqu´e a comme r´ealisations des configurations de segments en interaction : alignement, r´epulsion, connexion.

Apr`es la th`ese, le mod`ele Candy a ´et´e ´etudi´e du point de vue th´eorique [T7], tout en gardant le lien avec les applications [T3, T13, T20].

Sur cette base math´ematique, une g´en´eralisation, appel´ee mod`ele Bisous, a

´et´e propos´ee ensuite [T4, T17]. Dans ce cas aussi, la motivation a ´et´e d’ordre pratique. La question int´eresse les cosmologistes. Il est connu aujourd’hui que la distribution des galaxies dans notre univers n’est pas uniforme. Cette dis-tribution repartit les galaxies en structures complexes comme des agr´egats, des murs ou des filaments [116]. Le mod`ele Bisous est un processus ponctuel marqu´e capable de g´en´erer ce type de structures `a partir d’objets simples en interaction. Une fois ce mod`ele construit, plusieurs travaux en coop´eration avec les cosmologistes ont ´et´e effectu´es. Ces travaux ont eu comme objec-tif la d´etection et la caract´erisation morphostatistique de filaments galac-tiques [T21, T22, 184].

Dans le document Mod´elisation probabiliste et inf´erence statistique pour l’analyse des donn´ees spatialis´ees (Page 28-36)