3.4 Combinaison des ´etiquettes dans des mod`eles de champ al´eatoire 58
3.5.3 Mod`eles de Gibbs pour les T − pavages
Nous pr´esentons dans cette partie quelques mod`eles pour lesT−pavages. Ces mod`eles sont d´ecrits par des densit´es de probabilit´es construites par rapport
`
a la mesure de r´ef´erence µ. Ils permettent construire des T−pavages ayant des caract´eristiques g´eom´etriques structur´ees, plus proches de ce que l’on pourrait rencontrer dans les applications.
D´efinition 22 Soith:T →R+une fonction stable. UnT−pavage al´eatoire de Gibbs est d´ecrit par la densit´e non-normalis´eehet il a comme distribution
P(dT)∝h(T)µ(dT), (3.32)
avec R
T P(dT) = 1.
L’int´egrabilit´e de la densit´e de probabilit´eh est assur´ee par la condition de stabilit´e. En utilisant la terminologie utilis´ee pour les processus de Gibbs,
−logh est appel´ee fonction d’´energie.
Les r´esultats obtenus pour les noyaux de Papangelou desT−pavages compl`e-tement al´eatoires, peuvent ˆetre ´etendus auxT−pavages de Gibbs, sous une hypoth`ese similaire `a l’h´er´edit´e pour les processus ponctuels.
D´efinition 23 Un T−pavage de Gibbs avec densit´e de probabilit´e h est h´er´editaire si les conditions suivantes sont respect´ees :
– pour tout (T, S) tel queT ∈ T et S ∈ ST, h(ST) = 0⇒h(T) = 0.
– pour tout (T, F) tel T ∈ T et F ∈ FT, h(F T) = 0⇒h(T) = 0.
Proposition 13 SoitTunT−pavage de Gibbs h´er´editaire. Alors les noyaux de Papangelou division et flip sont
Ps(T, ds) = h(T∪ {s})
h(T) ds, Pf(T, F) = h(F T)
h(T) , (3.33) et les deux formules de type Georgii-Nguyen-Zessin sont v´erifi´ees
E X
m∈MT
φ(m,T\ {m}) = E Z
s∈ST
φ(s,T)h(T∪ {s})
h(T) ds, (3.34) E X
F∈FT
φ(F−1, FT) = E X
F∈FT
φ(F,T)h(FT)
h(T) , (3.35)
en consid´erant 0/0 = 0.
Exemple 11 Soit la fonction d’´energie
−logh(T) =−n◦s(T) logτ, (3.36) qui a chaque segment interne de la configuration associe le potentiel logτ. Le param`etre τ contrˆole la densit´e de segments internes ou de droites sur laquelle le T−pavage est construit. Si τ = 1, nous avons le mod`ele CRTT.
D’une mani`ere indirecte, le param`etreτ peut ˆetre utilis´e pour contrˆoler aussi le nombre de cellules dans unT−pavage. Les noyaux de Papangelou associ´es
`
a la fonction d’´energie (3.36) sont
Ps(T, ds) =τ ds, Pf(T, F)≡1.
Une r´ealisation du mod`ele est montr´ee dans la Figure 3.20a.
Exemple 12 La fonction d’´energie
−logh(T) = τ
πl(T) +n◦v(T) log 2−n◦s(T) logτ (3.37) est le mod`ele duT−pavage propos´e dans [1]. D’apr`es le nom des auteurs de l’article, Arak, Clifford et Surgailis, ce mod`ele est appel´e l’ACS mod`ele. Une r´ealisation de l’ACS mod`ele est montr´ee dans la Figure 3.20b. Le param`etre τ a ´et´e ajust´e de telle mani`ere que le nombre moyen de cellules soit proche de celui obtenu par le CRTT mod`ele dans la Figure 3.20a.
Le mod`ele introduit [1] a des propri´et´es remarquables. Il est capable d’engen-drer en fonction de ses param`etres, des diff´erents types d’ensembles al´eatoires comme les segments, les lignes bris´ees, les polygones ou lesT−pavages al´ea-toires. La constante de normalisation de la densit´e de probabilit´e h a une expression analytique pr´ecise. Le param`etre τ est ´egal `a l’intensit´e lin´eaire de ceT−pavage. L’ACS mod`ele est markovien dans un sens analogue `a celui exprim´e par le Th´eor`eme 6. Un algorithme de simulation de ce mod`ele est
´egalement donn´ee dans [1]. Les distributions des longueurs des segments et des arˆetes, et les distributions des surfaces et des p´erim`etres des cellules ont
´et´e ´etudi´ees par [129].
Le noyaux de Papangelou division et flip pour l’ACS mod`ele peuvent ˆetre calcul´ees `a partir des relations (3.33) et (3.37). Pour la division avec un segment s, nous obtenons
logPs(T, ds) ds =−τ
πl(s)−2 log 2 + logτ,
avecl(s) la longueur du segment. Par rapport au CRTT, l’ACS mod`ele tend
`
a diviser les cellules par des segments courts, en produisant des cellules de petite surface. Cet aspect a ´et´e v´erifi´e num´eriquement par simulation. Le r´esultat de cette comparaison est montr´e dans la Figure 3.21.
Exemple 13 Pour obtenir des T−pavages ayant des cellules avec des aires moins dispers´ees, nous pouvons consid´erer la fonction d’´energie suivante
−logh(T) =−n◦s(T) logτ +αa2(T), (3.38) o`ua2(T)est la somme du carr´e des aires des cellules de la tesselation. La sta-tistiquea2(T) est minimale pour des cellules de mˆeme taille. En remarquant quea2(T)≤a(W)2, il r´esulte facilement que la fonction d’´energie (3.38) est stable, donc le mod`ele est bien d´efini. La Figure 3.20c montre une r´ealisation du mod`ele. Les param`etres du mod`ele ont ´et´e r´egl´es afin qu’approximative-ment, le nombre moyen de cellules soit le mˆeme que pour les r´ealisations des mod`eles CRTT et ACS, montr´ees dans les Figures 3.20a et 3.20b, respec-tivement. La Figure 3.21 montre le r´esulat d’un ´etude par simulation, qui confirm´e qu’avec ces param`etres, ce mod`ele produit un nombre de cellules petites beaucoup moins important que les mod`eles CRTT et ACS.
Exemple 14 Pour contrˆoler les angles entre deux segments qui s’inter-sectent, la fonction d’´energie suivante est consid´er´ee
−logh(T) =−n◦s(T) logτ−β X
v∈V(T)
φ(v), (3.39)
avecφ(v) le plus petit angle entre deux segments se touchant dans le sommet v. Avec β > 0 nous favorisons les configurations ayant des angles φ(v) proches deπ/2. Commeφ(v)est une grandeur finie, nous pouvons facilement prouver que la fonction d’´energie (3.39) est stable, donc que le mod`ele est bien d´efini. Une r´ealisation de ce mod`ele est montr´ee dans la Figure 3.20d.
Par simulation, nous avons compar´e les angles des T−pavages obtenus de ce mod`ele avec ceux obtenus avec le CRTT mod`ele. Les histogrammes de la Figure 3.21 indiquent que les angles dans le mod`ele CRTT ont tendance `a ˆetre plus aigus.
(a) CRTT mod`ele.τ = 1.9. (b) ACS.τ= 10.75.
(c) Contrˆole des aires des cellules. τ = 0.043, α = 10000.
(d) Contrˆole des angles des sommets.τ = 12.1,β= 2.5.
Figure3.20 – R´ealisations des quatres mod`eles pr´esent´es comme exemples.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00.40.8
cell fraction
area fraction
CRTT ACS area penalty
angle
Density
0.0 0.5 1.0 1.5
012345
CRTT angle penalty
Figure 3.21 – Comparaison statistique des mod`eles pr´esent´es. A gauche : utilisations des courbes de Lorenz, pour ´etudier les distributions de l’aire des cellules pour les mod`eles CRTT, ACS et de contrˆole des aires(Ox : pourcentage de petites cellules,Oy: taux de recouvrement deW, pointill´e : courbe th´eorique pour des cellules avec des aires uniform´ement distribu´ees).
A droite : histogrammes des angles aigus pour les mod`eles CRTT et de contrˆole des angles.
Deuxi` eme partie
Simulation de type MCMC
Mise en oeuvre de la forme
Les densit´es de probabilit´e des processus ponctuels marqu´es avec interac-tion et d’autres mod`eles de structures spatiales poss`edent des constantes de normalisation qui ne sont pas calculables analytiquement. Par cons´equent, pour simuler la loi de tels processus, il faut recourir `a des techniques de type MCMC (Markov chain Monte Carlo). Le principe de ces techniques r´eside dans la simulation d’une chaˆıne de Markov qui a pour loi d’´equilibre la loi du processus d’int´erˆet.
Cette partie du m´emoire est d´edi´ee au d´eveloppement et `a l’analyse de techniques MCMC en vue de simuler les mod`eles de formes que nous avons construits. Deux grandes familles de m´ethodes MCMC vont ˆetre consid´er´ees : les dynamiques MCMC adapt´ees et les techniques de simulation exacte.
Les dynamiques adapt´ees sont des techniques MCMC qui permettent la construction des noyaux de transition qui acc´el`erent la convergence vers la loi stationnaire. Par exemple, nous pouvons proposer de connecter deux ob-jets `a l’aide d’un noyau de transition sp´ecialement con¸cu dans ce but. Ce noyau compl`ete le noyau ”habituel” qui ”jette” les objets uniform´ement dans le domaine jusqu’`a ce qu’un objet ”r´ealise” la connexion. De fa¸con intuitive, une telle strat´egie va am´eliorer les propri´et´es de la chaˆıne. Mais pour ˆetre rigoureux, la construction d’une telle dynamique doit ˆetre accompagn´ee de l’´etablissement th´eorique de ses propri´et´e (irr´eductibilit´e, r´ecurrence et er-godicit´e).
Le grand inconv´enient de la majorit´e des m´ethodes MCMC est que l’on ne sait pas avec pr´ecision quand la convergence de la chaˆıne est effectivement atteinte. La simulation exacte ou parfaite, est le nom g´en´erique des m´ethodes MCMC qui indiquent quand la chaˆıne a atteint son r´egime d’´equilibre. Des m´ethodes de simulation exacte de processus ponctuels marqu´es comportant un nombre raisonnable d’objets en interaction simple peuvent ˆetre mises en oeuvre.
Pour cette pr´esentation nous avons principalement suivi [2, 73, 72, 99, 107, 190, 128, 141, 148, 163, 186, 187]. Des parties de ce chapitre ont ´et´e publi´ees dans [T6, T7, T8, T17, T23].