5.3 Analyse des algorithmes de simulation exacte
5.3.3 Metropolis-Hastings exact
Un algorithme exact de type Metropolis-Hastings pour simuler des processus ponctuels localement stables a ´et´e construit par [99]. Dans cet algorithme, on a utilis´e une discr´etisation de l’espaceW et des probabilit´es d’instrumen-tation qui d´ependent de la configuration courante. Une version plus simple qui utilise des probabilit´es d’instrumentation fixes et qui est adapt´ee aux processus ponctuels marqu´es a ´et´e propos´ee par [T8].
L’algorithme de Metropolis-Hastings a ´et´e pr´esent´e dans une section pr´ec´e-dente (v. Algorithme 2). Nous rappelons ici que cette m´ethode est une tech-nique qui fait des propositions de mises `a jour qui peuvent ˆetre accept´ees ou pas [73, 72, 190, 141]. Si l’´etat courant est une configuration d’objets x de densit´e positive p(x), alors une mise `a jour standard est de choisir une naissance (ajouter un objet) selon la probabilit´e pb ∈ (0,1), ou une mort (supprimer un objet) selon la probabilit´epd= 1−pb. Pour une naissance, un nouvel objetη est propos´e selon la densit´eν×νM/ν(W) et accept´e avec
Pour une mort, si la configurationx est vide, alors l’´etat xreste inchang´e.
Sinon, un objet η est choisi uniform´ement dans x et supprim´e avec la pro-babilit´e
Cette dynamique converge vers un ´echantillon non biais´e de p [73, 72, 190, T7].
L’adaptation de ces mises `a jour `a un algorithme de simulation exacte de-mande beaucoup d’attention, tout sp´ecialement pour les transitions de mort.
L’id´ee des m´ethodes CFTP pour les processus ponctuels localement stables s’appuie sur la simulation d’un couple de processus qui peuvent coalescer.
Ces processus sont coupl´es `a un processus dominant. Le processus dominant est cens´e respecter la relation d’ordre bas´ee sur l’inclusion. Pour cela il serait convenable que la probabilit´e d’acceptation d’une mort soit toujours ´egale `a 1, ind´ependamment de la configuration initiale. Le taux d’acceptation (5.8) est clairement plus grand quepb/(pdν(W)Λ), mais il est peut ˆetre plus petit que 1. Pour lever cette difficult´e, nous discr´etisons W `a la mani`ere de [99]
et nous construisons des mises `a jour par bandes.
Soit ∪ni=1WWi une partition finie de W telle que ν(Wi) > 0 pour toutes les cellulesWi,i= 1, . . . , nW. Si la configuration courante est x et si la bande visit´ee estWi×M, alors avec probabilit´e pib on choisit d’y ajouter un nou-veau objet, ou bien, avec probabilit´e pid = 1−pib on choisit d’enlever un.
Supposons la derni`ere ´egalit´e v´erifi´ee pour tous les i= 1, . . . , nW. Dans le cas d’une naissance, un nouvel objet est g´en´er´e. La position de l’objet est uniforme sur Wi et sa marque est distribu´e selon νM. Dans le cas d’une mort, alors un objet est choisi uniform´ement parmi ceux deWi, quand cela est possible. Des taux de Metropolis-Hastings similaires aux (5.7) et (5.8) sont ensuite calcul´es pour accepter ou pas les transitions propos´ees. Cette proc´edure est bien d´efinie sur l’ensemble de configurations de densit´e posi-tive, et elle converge versp. Nous en donnons la preuve dans le paragraphe suivant.
Pour d´ecrire le couplage bas´e sur cette dynamique, nous commen¸cons par d´efinir le processus dominantD. Ce processus accepte toutes les transitions qu’on lui propose. La chaˆıneDvisite les bandes al´eatoirement avec la mˆeme probabilit´e. Si la bandeWi×M est visit´ee, alors un nouvel objet est g´en´er´e avec la probabilit´epib. L’objet est uniform´ement dansWi et sa marque est choisie selon νM. Avec la probabilit´e compl´ementaire pid= 1−pib un objet est choisi uniform´ement parmi ceux deWi et effac´e de la configuration cou-rante. Cette op´eration a lieu pourvu que la bande Wi×M soit non vide.
Sinon, le processusDreste inchang´e.
Faisons l’hypoth`ese que 0 < pib/pid < 1, c’est-`a-dire 0 < pib < 1/2, et soit πi(n) = P(n points in Wi ×M). Les conditions d’´equilibre local pour le nombre d’objets dans chaque bandei
πi(n)pib =πi(n+ 1)pid, n= 0,1,2, . . . , donnent l’unique solution
πi(n) = pib
pid n
1− pib pid
. (5.9)
Par cons´equent, le nombre d’objets de Wi ×M suit une loi g´eom´etrique d´ecal´ee de param`etre 1 −pib/pid. Sachant que l’on a n objets dans une bande Wi ×M, `a l’´equilibre ils sont i.i.d avec les positions distribu´es se-lonν(·)/ν(Wi) et les marques choisies selonνM. La chaˆıne est r´eversible et les configurations dans les diff´erentes bandesWi×M sont ind´ependantes.
Construisons maintenant la dynamique cible. Le taux de Metropolis-Hastings pour une transition de l’´etatx6=∅`a l’´etatx\ {xj}avecxj ∈(Wj×M)∩x est donn´e par
pibn(x∩(Wi×M)) pidν(Ki)λ(xj;x\ {xj}).
En consid´erant la restriction de la chaˆıne sur l’ensemble {x :p(x) > 0} et en utilisant le fait que pest h´er´editaire, il apparait que le taux Metropolis-Hastings est bien d´efini. Une condition suffisante pour qu’il soit sup´erieur `a
1 est
pib
pid ≥Λν(Wi)
o`u Λ est la borne sup´erieure de l’intensit´e conditionnelle. Sous cette condi-tion, ces transitions sont toujours accept´ees.
SoitL⊆U deux configurations finies de points marqu´es, et soient αmin(U, L,(w, m), i) := minn pi
dν(Wi)λ((w,m);x)
pib(1+n(x∩(Wi×M))) :L⊆x⊆Uo et
αmax(U, L,(w, m), i) := maxn pi
dν(Wi)λ((w,m);x)
pib(1+n(x∩(Wi×M))) :L⊆x⊆Uo (5.10) les bornes des taux de Metropolis-Hastings pour la naissance d’un objet (w, m) 6∈ U dans la bande i pour les configurations d’objets qui se situent entreL etU par inclusion.
Nous avons maintenant tous les ingr´edients pour proposer l’algorithme sui-vant. Comme pour l’Algorithme 5, les variables al´eatoires d´ej`a construites sont r´eutilis´ees quand le temps est doubl´e.
Algorithme 8 (x, T) =Metropolis Hastings Exact
Soit une partition de W telle que0<Λν(Wi)<1 et choisissez les probabi-lit´espib etpid telles que pib/pid∈[Λν(Wi),1) pour tout i= 1, . . . , nW. Soit Vt, t=−1,−2, . . . une famille de v.a. ind´ependantes uniform´ement distribu´ees sur {1, . . . , nW} et soit Ut une famille de v.a. ind´ependantes sur (0,1). Ini-tialise T = 1, et soit D(0) une r´ealisation du processus ponctuel marqu´e avec les points ind´ependamment distribu´es par bandes comme il suit : pour chaque bande un nombre n de points est choisi par rapport `a (5.9), puis les positions des objets sont choisies ind´ependamment dans Wi selon la loi ν−uniforme et finalement `a chaque point une marque ind´ependante lui est associ´ee avec la distributionνM.
1. Simuler D(·) vers le temps pass´e −T comme il suit : avec probabilit´e pVdt enlever un objet choisi al´eatoirement dansWVt×M; sinon ajouter un objet ξt avec une position ν−uniforme dans WVt et une marque donn´ee parνM, ind´ependamment des autres variables.
2. G´en´erer L−T(·) et U−T(·) vers le futur de la mani`ere suivante : – initialiserL−T(−T) =∅ etU−T(−T) =D(−T);
– si D(·) a vecu une naissance dans le pass´e, i.e. D(t) = D(t+ 1)∪ {(w, m)}, alors un point est enlev´e deL−T(t) etU−T(t) en utilisant le m´ecanisme de permutations dans [99]
– siD(·)a vecu une mort dans le pass´e, i.e.D(t) =D(t+1)\{(w, m)}, l’objet (w, m) est ajout´e auL−T(t) si
Ut≤αmin(U−T(t), L−T(t),(w, m), Vt) et au U−T(t) si
Ut≤αmax(U−T(t), L−T(t),(w, m), Vt)
3. Si U−T(0) =L−T(0) arrˆeter. Sinon poser T = 2T et recommencer.
4. Return x=U−T(0) etT.
Si la densit´epest r´epulsive, les ´equations (5.10) deviennent
αmin(U, L,(w, m), i) = (pidν(Wi)λ((w, m);U))/pib(1 +n(U∩(Wi×M))) et respectivement
αmax(U, L,(w, m), i) = (pidν(Wi)λ((w, m);L))/pib(1 +n(L∩(Wi×M))).
Dans le cas attractif, une telle simplification n’est pas possible. Cependant, les bornes suivantes peuvent ˆetre utilis´es `a la place
αmin(U, L,(w, m), i) = (pidν(Wi)λ((w, m);L))/pib(1 +n(U∩(Wi×M))) et
αmax(U, L,(w, m), i) = (pidν(Wi)λ((w, m);U))/pib(1 +n(L∩(Wi×M))).
5.3.4 Convergence de l’algorithme Metropolis-Hastings exact