L’espace des T − pavages

a la mod´elisation de paysages de parcellaire agricole. Ici nous proposons un mod`ele construit `a partir des pavages en T. Les diff´erentes caract´eristiques d’un paysage sont d´ecrites par les propri´et´es g´eom´etriques des pavages.

Ces propri´et´es sont probabilis´ees, `a la mani`ere de celles qui d´ecrivent les processus ponctuels marqu´es. Cela pose des probl`emes math´ematiques tr`es int´eressants, car les pavages enTsont des objets g´eom´etriques assez contraints.

Notre travail a ´et´e publi´e dans [T6].

3.5.1 L’espace des T−pavages

Seuls sont consid´er´es ici les pavages d´efinis sur un domaine compactW ⊂R². Ce domaine est suppos´e convexe et polygonal. Soient a(W), l(W), n_e(W) etnv(W) la surface, le p´erim`etre, le nombre d’arˆetes et de sommets de W. Un pavagepolygonale de W est une partition finie deW en polygones. Un tel polygone est appel´ecellule. Les sommets du pavage sont les sommets des cellules. Sesarˆetes sont des portions de fronti`ere de cellules d´elimit´ees par sommets adjacents. L’ensemble des arˆetes d’un pavage peut ˆetre vu comme un ensemble de segments, dont certains sont des unions d’arˆetes align´ees et jointives.

D´efinition 18 Un sommet du pavage est unT−sommet s’il est l’intersec-tion d’exactement trois arˆetes dont deux sont align´ees. Le pavage de W est appel´e T−pavage si tous ses sommets, `a l’exception ´eventuelle de ceux de W, sont desT−sommets, et qu’il n’y ait pas de paire de segments situ´es sur la mˆeme droite.

La Figure 3.18 montre un exemple deT−pavage.

L’espace desT−pavages sur le domaineW est not´eT. Pour toutT−pavage T ∈ T soient C(T) l’ensemble de ses cellules, V(T) l’ensemble de ses som-mets,E(T) l’ensemble de ses arˆetes etS(T) l’ensemble de ses segments. Les cardinaux de ces ensembles sont respectivement d´esign´es par n_c(T),n_v(T), n_e(T) et n_s(T). Les sommets, les arˆetes et les segments sont dits internes quand ils ne sont pas totalement contenus dans le bord deW. Les ensembles et les mesures correspondant aux objets internes sont not´es par le mˆeme sym-bole surmont´e d’un cercle. Par exempleV^◦(T) etn^◦_v(T) d´esignent l’ensemble

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Figure 3.18 – Exemple d’un T−pavage avec ses composantes.

et le nombre de sommets internes.

Une tesselation induit une configuration de droitesL(T), qui est l’ensemble de droites supportant les segments. R´eciproquement, une configuration finie de droites touchant W engendre un ensemble de tesselations T(L), telles queL(T) =L pour toutT ∈ T(L). La cardinalit´e de cet ensemble est not´e n_t(L). La majoration du nombre de droites deL

n_t(L)≤C^k

k (logk)^1−ǫ

k−k/logk

, (3.22)

avecǫ >0,k≥2 etCd´ependant deǫ, sera utile pour prouver l’int´egrabilit´e des mod`eles propos´es pour lesT−pavages. Ce r´esultat a ´et´e obtenu par [96].

D´efinition 19 Une fonction φ : T → R⁺ est dite stable, s’il existe une constante positive r´eelle K, telle que

φ(T)≤K

n◦^s(T), pour tout T ∈ T.

La d´efinition pr´ec´edente fait un premier lien avec la premi`ere condition de stabilit´e des processus ponctuels [72, 171]. Cependant, l’analogie avec la sta-bilit´e locale des processus ponctuels ne se fait pas trivialement. Ceci tient au fait que l’ajout ou la suppression d’un segment doit pr´eserver la structure d’unT−pavage.

Dans ce qui suit, nous montrons qu’il est possible de transformer unT−pavage dans un autre T−pavage, grˆace `a trois op´erations, que nous appelons

divi-sion, fusion et flip⁶.

Une division est l’op´eration qui coupe une cellule en deux (cf. Figures 3.19a et 3.19b). Une division S de T est repr´esent´ee par S = (c, l) o`u c est une cellule etl une droite qui touche l’int´erieur dec. La division deT parS en-traˆıne l’ajout de l’arˆetec∩l. Le nouveau pavage obtenu estST =T∪(c∩l).

Une fusion est l’op´eration qui enl`eve un segment contenant une seule arˆete (cf. Figures 3.19a et 3.19c). Les segments qu’une fusion peut affecter sont appel´es non-bloquants, et les autres bloquants. Une fusion dans le pavage T s’identifie `a un segment int´erieur non-bloquant. Pour tout T−pavage, le nombre de fusions possibles est n^◦_s,nb(T), le nombre de segments int´erieurs non-bloquants dansT. Le pavage apr`es la fusion est not´eeM T.

Un flip est l’op´eration qui enl`eve une arˆete finale d’un segment bloquant, puis ajoute une nouvelle arˆete. Cette nouvelle arˆete prolonge le segment an-ciennement bloqu´e (cf. Figure 3.19d). Un flip s’identifie `a une arˆete finale d’un segment interne bloquant. Pour une tesselation, il y a 2n^◦_s,b(T) flips possibles. Le pavage obtenu apr`es un flip est not´ee F T.

(a) UnT−pavage. (b) Division : la nouvelle arˆete (en noir) est bloqu´ee par deux segments existants.

(c) Fusion : le segment non-bloquant (en gris) est enlev´e.

(d) Flip : deux segments sont modifi´es ; l’un est rac-courci (l’ar`ete supprim´ee en gris clair), l’autre est allong´e (ar`ete ajout´ee en noir ´epais).

Figure3.19 – Division, fusions et flips sont des transformations locales d’un T−pavage.

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6. Ces trois termes sont traduits de l’anglais : split, merge et flip. Nous avons pr´eserv´e le nom tel quel pour flip.

L’effet d’une division peut ˆetre compens´ee par une fusion, et vice-versa. Pour toutS ∈ ST,S⁻¹ est la fusion qui compense S. Tout op´eration flipF peut ˆetre compens´ee par une autre op´eration flip F⁻¹. Le pavage vide T_W est le T−pavage qui a comme unique cellule le domaine W.

Proposition 10 Soit T unT−pavage non vide. Il existe une s´equence finie de divisions, fusions et flips qui transforme T en tesselation vide. R´ecipro-quement, il existe une s´equence finie de divisions et flips qui transforme la tesselation vide en T.

Corollaire 3 Etant donn´ees deuxT−pavages distincts, il existe une s´equence finie d’op´erations division, fusion et flip qui transforme l’un en l’autre.

SoientST, MT etFT l’ensemble de toutes les divisions, fusions et flips qui peuvent ˆetre appliqu´es `a T. Nous allons construire des mesures de proba-bilit´e sur chacun de ces espaces. Pour MT cela se fait d’une mani`ere na-turelle, car MT est un ensemble discret et fini. Par cons´equent, quand cet ensemble est non-vide, on peut lui associer une loi uniforme. S’il n’est pas possible d’effectuer une fusion, la probabilit´e d’une fusion sera nulle. Pour les mˆemes raisons, pour l’ensemble FT, nous proc´edons d’une mani`ere ana-logue. Pour la mesure de probabilit´e surST, nous proc´edons en deux ´etapes, car cet ensemble n’est pas discret. Premi`erement, une cellule c du pavage T est s´electionn´ee avec un poids proportionnel `a son p´erim`etre, ensuite on g´en`ere une droite uniforme rencontrantc. Cette construction permet de choi-sir uniform´ement une division dans l’ensemble ST. Tous les d´etails des ces constructions sont donn´es dans [T6].