Le T − pavage compl`etement al´eatoire

L’espaceT est ´equip´e avec leσ−alg`ebreσ(T) g´en´er´e par les ´ev´enements



T ∈ T :



 [

e∈E(T)

e



∩K6=∅





avecK un sous-ensemble compact de W [122]. UnT−pavage est vu comme un ensemble ferm´e al´eatoire.

Notre construction duT−pavage compl`etement al´eatoire s’appuie sur le pro-cessus des droites poissoniennes, not´e ici L. Ce processus est suppos´e de densit´e unit´e. Ceci signifie que la longueur moyenne de la configuration de droites observ´ees `a travers une unit´e de surface, est un. Ici, nous consid´erons les T−pavages d’un domaine born´eW. Ainsi, seulement la restriction deL

auW est relevante pour notre construction. Pour la simplicit´e, nous notons cette restrictionL. Tous les d´etails sont donn´es dans [T6]. Pour la d´efinition du processus des droites poissoninennes, nous recommandons [36, 180].

Soit la mesure de probabilit´eµd´efinie par µ(A) =Z⁻¹E X

T∈T(L)

1_A(T), A∈σ(T), (3.23) o`u Z = EP

T∈T(L)1_T(L)(T) est la constante de normalisation. Pour que µ soit bien d´efini, il faut v´erifier queZ est finie. Ceci est une cons´equence imm´ediate du r´esultat suivant.

Th´eor`eme 11 Soit L la restriction au domaine W du processus de droites poissoniennes d’intensit´e unit´e et soit φ : T → R⁺ une fonction stable.

Alors :

Le nombre de segments internes deT est ´egal au nombre kde droites dans L. Il r´esulte que

E X

T∈T(L)

φ(T)^α ≤En_t(L)K^αk, et en utilisant (3.22), nous obtenons

E X

La constantec₁ est due aux termes de la somme pour lesquels le nombre de droiteskest plus petit que 2. CommeL est la r´ealisation d’un processus de Poisson de droites d’intensit´e unit´e, alors k suit une loi de Poisson de pa-ram`etrel(W)/π. Soitc₂ la constante de normalisation de cette distribution.

Nous avons

En utilisant la formule de Stirling⁷et en posantǫ= 1/2, il s’ensuit le r´esultat Par l’application du th´eor`eme 11 avec φ = 1, nous obtenons que la me-sure µd´efinie par (3.23) est finie. La constante de normalisation Z n’a pas d’expression analytique connue. Une autre cons´equence de ce th´eor`eme est que pourT∼µetφune fonction stable, tous les moments deφ(T) sont finis.

Pour caract´eriser la mesureµ, nous allons utiliser les mesures de Campbell et les noyaux de Papangelou. Utilis´es, avec les processus ponctuels, ces outils nous permettent d’´etudier le comportement d’un point par rapport au reste de la configuration observ´ee. L’extension de ces outils pour les T−pavages n’est pas trivial. Ceci est du au fait que les composantes des T-tesselations points, arˆetes et segments sont beaucoup plus contraints qu’un point dans une configuration de points.

Pour un T−pavage, les composantes qui peuvent ˆetre facilement ajout´ees ou enlev´ees sont les segments non-bloquants. Dans la suite, toute division repr´esent´ee par la paire (c, l) form´ee par une cellulectouch´ee par une droite l est identifi´ee avec le segment c∩l. Par cons´equent ST est identifi´e avec l’espace de ces segments et dS la mesure uniforme sur ST induit une me-sure sur l’espace de segments non-bloquants, not´ee dans la suite ds. D’une mani`ere analogue,MT est identifi´e avec le nombre de segments qui peuvent ˆetre enlev´es de la tesselation T.

D´efinition 20 SoitC^s l’espace

C^s={(s, T) :s∈ ST, T ∈ cT,}.

La mesure (r´eduite) de Campbell des divisions d’un T−pavage al´eatoire est d´efinie par

Cs(φ) =E X

m∈M_T

φ(m,T\ {m}), φ:Cs→R. (3.24) Le noyau de Papangelou division est le noyau Ps caract´eris´e par l’identit´e

Cs(φ) =E

Proposition 11 Soit T∼µ, alors l’identit´e suivante est v´erifi´ee Cs(φ) =E

Z

S_T

φ(s,T)ds, φ:C^s →R. (3.26) Preuve: Les d´efinitions de la mesure µ et de la mesure de Campbell des divisions, donn´ees par (3.23) et la (3.24), respectivement, impliquent que cette derni`ere peut ˆetre ´ecrite sous la forme

C_s(φ) =E X

T∈T(L)

X

m∈MT

φ(m, T \ {m}).

La somme appliqu´ee aux segments non-bloquants est ´egale `a la somme ap-pliqu´ee aux droitesl∈Lcombin´ees avec une fonction indicatrice. Soits(l, T) le segment deT appartenant `a la droitel∈L. Cela nous donne

C_s(φ) =E X

T∈T(L)

X

l∈L

1_{s(l,T)est non-bloquant}φ(s(l, T), T\ {s(l, T)}). Pour l ∈ L avec L une configuration de droites donn´ee, soit la correspon-danceT 7→T˜=T \s(l, T). Clairement, si s(l, T) est non-bloquant, alors ˜T est toujours unT−pavage. Ainsi, nous avons

X avec le terme `a droite qui peut s’´ecrire

EX

l∈L

ψ(l,L\l).

CommeLest la r´ealisation d’un processus de Poisson d’intensit´e unit´e dans l’espaces des droites, sa mesure de Campbell se d´ecompose selon un noyau de Papangelou ´egal `a la fonction d’intensit´e

EX

l∈L

ψ(l,L\l) =E Z

ψ(l,L) dl.

Ainsi, la mesure de Campbell des divisions pourT s’´ecrit Cs(φ) =E

avec la derni`ere partie droite qui est obtenue grˆace `a (3.23).

Comme dans [T6], la mesuredS surST est d´efinie par ds= X

c∈C(T)

1_{c∩l6=∅}dl,

nous obtenons le r´esultat

C_s(φ) =E Z

S_T

φ(S,T) dS.

Comme cons´equence directe de ce r´esultat, nous obtenons le corrolaire sui-vant.

Corollaire 4 Le noyau de Papangelou des divisions d’unT−pavageT∼µ est

Ps(T, ds) =ds. (3.27)

Si nous comparons ces r´esultats, avec ceux analogues relatifs aux processus ponctuels de Poisson homog`enes, une possible interpr´etation intuitive serait que le coˆut de l’ajout d’un segment non-bloquant ne d´epend pas de la tesse-lation existante, sugg´erant ainsi l’absence d’interaction dans un T−pavage distribu´e selonµ.

Dans la suite, le raisonnement appliqu´e aux transformations division et fu-sion est ´etendu aux transformations flip.

D´efinition 21 Soit l’espace

Cf ={(F, T) :F ∈ FT, T ∈ T }.

La mesure de Campbell des flips d’unT−pavage al´eatoire est d´efinie par C_f(φ) =E X

F∈F_T

φ F⁻¹, FT

, φ:Cf→R. (3.28) Le noyau de Papangelou flip est le noyau caract´eris´e par l’identit´e

C_f(φ) =E X

F∈F_T

φ(F,T)P_f(T, F), φ:Cf→R. (3.29)

Proposition 12 Soit T∼µ, alors l’identit´e suivante est v´erifi´ee Cf(φ) =E X

F∈F_T

φ(F,T), φ:Cf→R. (3.30) Preuve: Les d´efinitions de la mesure µ et de la mesure de Campbell des flips, donn´ees par (3.23) et 21, respectivement, impliquent que cette derni`ere peut ˆetre ´ecrite sous la forme

C_f(φ) =E X

T∈T(L)

X

F∈FT

φ(F⁻¹, F T).

La double somme peut ˆetre re-´ecrite en utilisant le changement de variables suivant

(F, T)7→

F˜ =F⁻¹,T˜=F T .

Une op´eration flip ne modifie pas l’ensemble de droites qui est le support d’unT−pavage :

L(T) =L( ˜T), i.e. T ∈ T(L)⇔T˜ ∈ T(L).

De plus, nous pouvons appliquer ˜F `a la tesselation F T = ˜T : ˜F ∈ FT˜. Il r´esulte que la mesure de Campbell des flips s’´ecrit

C_f(φ) =E X

T˜∈T(L)

X

F˜∈FT˜

φ( ˜F ,T˜) =E X

F∈F_T

φ(F,T).

Corollaire 5 Le noyau de Papangelou flip d’un T−pavageT∼µ est

Pf(T, F)≡1. (3.31)

En continuant, l’analogie avec les processus ponctuels de Poisson station-naire, le noyau de Papangelou flip d’une T-tesselation distribu´e selon µ montre que le coˆut de la transformation associ´ee est constant et ne d´epend pas duT−pavage initial.

Tous ces r´esultats, nous am`enent `a consid´erer le T−pavage g´en´er´e selon µ comme une structure compl`etement al´eatoire ayant une d´ependance spatiale minimale. C’est pour ces raisons que ce mod`ele est appel´e dans [T6] le CRTT (Completely Random T Tesselation) mod`ele.

Dans le document Mod´elisation probabiliste et inf´erence statistique pour l’analyse des donn´ees spatialis´ees (Page 69-75)