Le probl`eme du signal

y,ty  1 + γ0 2  e^−mQ(tx−ty), (IV.1.13)

o`u les temps euclidiens sont tels quetx > ty et par d´efinition~x = ~y.

L’action de Eichten-Hill (EH) d’un quark statiqueQ peut donc s’´ecrire sous la forme

suivante [41, 217]: Σ^EH_Q = a⁴X x ΨQ(x)  1 + γ0 2  D0ΨQ(x) , (IV.1.14)

o`u la d´eriv´ee covarianteD0fait intervenir le maillon ´el´ementairetUde la ligne de Wilson:

D0ΨQ(x) = ¹

a^[ΨQ(x) − Ut^†(x − aˆt)ΨQ(x − aˆt)] . (IV.1.15) D’apr`es l’´eq. (I.2.8), cette expression correspond `a une des composantes de l’op´erateur de Dirac-Wilson (prise uniquement dans la direction temporelle).

1.2.3 Le probl`eme du signal

Paradoxalement, le probl`eme pos´e par les simulations des quarks statiques est une cons´equence de la simplification de l’expression du propagateur que nous venons de d´ecrire. Les r´eseaux permettent de calculer des ´el´ements de matrice par des m´ethodes de physique statistique: si les propagateurs des quarks relativistes (non-statiques) arrivent `a fournir des signaux pouvant par exemple reproduire le spectre physique des hadrons, c’est parce qu’il est possible de moyenner sur l’ensemble des chemins reliant les points initiaux et finaux. Par contre, dans le cas statique, la trajectoire se r´eduit `a la seule ligne de Wilson et l’on perd donc cette possibilit´e de moyenner sur un grand nombre de chemins. Il en r´esulte que les signaux pour des corr´elateurs sont difficilement exploitables `a moins de faire appel `a des am´eliorations.

Consid´erons maintenant une fonction de Green `a deux pointsC₂ du champ interpolant

J d’un m´eson statique-l´eger:

C2(tx) = Z

d~x e^i~p·~x h0| J(x)J^†(0) |0i , (IV.1.16) avec dans ce cas particulier J(x) = Ψ_q(x)γ₅Ψ_Q(x), q et Q indiquant le quark l´eger

et le quark statique respectivement. Nous consid´ererons le cas o`u le champ interpolant

J(x) est introduit avec une impulsion nulle, ~p = ~0. Notons qu’`a la limite statique les

165

de corr´elation. La raison physique est la d´eg´en´erescence de ces ´etats du fait de la sym´etrie de quarks lourds. La raison formelle est que les matrices de Dirac γi des champs inter-polants des m´esons vecteurs commutent avec le propagateur du quark statique et peuvent donc ˆetre ´elimin´ees.

Reprenons ce qui a ´et´e pr´esent´e dans la premi`ere partie de cet expos´e `a propos des fonctions de corr´elation `a deux points en introduisant dans le cas pr´esent les particularit´es qu’implique le travail `a la limite statique. En ins´erant dans l’´eq. (IV.2.62) le jeu complet d’´etatsP n|H(n)ihH(n)|, on obtient: C₂(t_x) = Z d~x h0|J(x)J† (0)|0i = ^X n Z d~xh0|J(x)^|H (n)ihH(n)| 2m_H(n) J† (0)|0i , = X n |h0|J(0)|H(n)i|2 2m_H(n) e^−E(n)H tx, = |Z0|²e^−EH⁽⁰⁾tx + |Z1|²e^−EH⁽¹⁾tx + ... (IV.1.17) On d´efinit les constantes d’annihilationZnpar:

Zn≡ ^{h 0 |J(0)| H}

(n)i 

2m⁽ⁿ⁾_H 1/2 . (IV.1.18)

Pour des tx suffisamment grands, les contributions des excitations n ≥ 1 sont

sup-prim´ees exponentiellement et seul le terme enE_H⁽⁰⁾ = EH contribue:

C2(tx) −→_t

x→∞|Z|²e^−EHtx, (IV.1.19)

Dans le cas relativiste EH correspond `a la masse de l’´etat fondamental. Cependant, `a la limite statique, ce terme devient l’´energie de liaison EH ∼ mH − mQ du syst`eme

Q¯q. Cette ´energie de liaison provient de la pr´esence du terme exponentiel en mQ dans l’´eq. (IV.1.13) qui vient se combiner avec le terme de masse du m´esonQ¯q (que l’on note H) provenant de l’insertion de la relation de compl´etude. Dans la pratique, l’´energie de

liaison EH des r´eseaux n’est pas une quantit´e physique `a proprement parler puisqu’elle inclut des divergences lin´eaires [219].

Un raisonnement qualitatif simple permet d’estimer le rapport bruit/signal des corr´ela-teurs contenant un quark statique. Nous venons de voir que:

C2(tx) ≡ h0 |Tr Sq(tx)S_Q^†(tx)| 0i ∝ e^−EHtx, (IV.1.20) o`u nous avons ´ecrit le corr´elateur2Cen termes des propagateurs du quark statique Q et

On peut estimer l’erreur surC2 `a partir de la varianceσ2:

σ²(tx) = (δC2(tx))², (IV.1.21)

∝ h0 |(Tr Sq(t_x)S_Q^†(t_x))(Tr S_Q(t_x)S†

q(t_x))| 0i . (IV.1.22) D’apr`es l’expression du propagateur statique (cf. ´eq. (IV.1.13)), les deuxSQs’´eliminent dans l’´eq. (IV.1.22) et l’erreur devient:

(δC2(tx))² ∝ h0 |(Tr Sq(tx)S_q^†(tx))| 0i , (IV.1.23)

∝ e^−mπtx. (IV.1.24)

Le rapport bruit/signal devient alors [227]:

R_{N S} = ^δC2

C2 ∝ e(EH−mπ/2) tx. (IV.1.25) Le bruit croˆıt donc exponentiellement lorsque le tempstx augmente (cf. figure. (1.2)). Or les ´el´ements de matrice (par exempleZ dans l’´eq. (IV.2.64)) doivent ˆetre d´etermin´es aux

grands tempstx (cf. ´eq. (IV.1.19)) : si l’on extrayait ces ´el´ements `a des temps trop faibles (avant que l’´etat fondamental ne soit isol´e) ils seraient contamin´es par des effets des exci-tations et l’on ne serait pas en train de mesurer l’´el´ement de matrice voulu.

C’est ce comportement qui dans le pass´e a rendu difficile l’implantation des quarks statiques sur r´eseau et a constitu´e une des raisons qui ont conduit `a mettre en place une nouvelle approche comme la NRQCD. Dans ce cas le rapport bruit/signal s’´ecrit:

δC2 C₂     NRQCD ∝ exp  EQ¯q−^EQQ₂^{+ mπ}  tx  , (IV.1.26)

o`uE<sub>Q¯q</sub> = E<sub>H</sub> etE<sub>QQ</sub>sont les ´energies de liaison des syst`emesQ¯q et QQ respectivement.

L’´energie de liaisonE_{Q ¯Q} ´etant non nulle (dans les cas les plus g´en´eraux), elle permet donc de compenser l’effet de E_H dans l’expression pr´ec´edente. Lorsque m_Q → ∞, l’´energie

de liaison E_QQ s’annule et les propagateurs de la NRQCD redonnent ceux de la limite statique.

Il existe cependant plusieurs alternatives pour aborder ce d´elicat probl`eme. Elles ont en commun l’id´ee d’augmenter le nombre de chemins possibles pour les champs de quarks afin d’augmenter la statistique. Physiquement cela peut ˆetre compris comme si, au lieu de consid´erer le quark lourd comme une source ponctuelle de couleur, on autorisait que la source devienne ´etal´ee sur un certain volume. De plus, on peut introduire une fonction d’ondeφ(r), o`u r est la distance entre les quarks Q et ¯q, afin d’optimiser le recouvrement

167

FIG. 1.2 – Rapport bruit/signal (en ´echelle logarithmique) en fonction du temps pour un

corr´elateur `a deux points contenant un quark statique [228]. Les cercles correspondent `a l’action de Eichten-Hill. Les carr´es `a la version ((staple )) de l’action et les triangles `a l’action ((HYP )). Ces signaux sont obtenus `a partir d’une moyenne sur 2500 configurations.

Une autre id´ee propos´ee r´ecemment [228] consiste `a modifier l’action de Eichten-Hill en remplac¸ant chaque lienUt de la ligne de Wilson par la somme des ((staples)) (agrafes) qui lui sont associ´ees (cf. figure 1.7). Pour un lien donn´e, nous appelons ((staple)) le produit des trois liens imm´ediatement voisins formant une ((agrafe)) dans le demi-plan consid´er´e. Je reviendrai sur ces techniques par la suite.

Deux ph´enom`enes sont en comp´etition du point de vue de l’extraction d’un signal. D’une part, il faut ´eviter la contamination par les excitations et d’autre part il faut obtenir un signal sur un intervalle de temps suffisamment long pour qu’on puisse extraire les ´energies de liaison ou les ´el´ements de matrice qui nous int´eressent. Pour ˆetre plus concret prenons l’exemple de l’´energie de liaison effective d´efinie `a partir des corr´elateurs2Cpar:

Eeff(tx) ≡ ln  C2(tx) C2(tx+ 1)  −→ tx→∞ EH. (IV.1.27)

A des tempstx suffisamment grands, l’´energie effective doit d´evelopper un plateau dont la valeur correspond `a l’´energie de liaison E<sub>H</sub>. Un bon signal suppose d’aller `a des t_x

grands et une fois ce temps atteint, de pouvoir extraite EH au moyen d’un plateau de

Eeff(tx) ´etendu sur un intervalle de temps suffisamment long. Le premier probl`eme suppose

du signal. Chacun de ces probl`emes doit ˆetre trait´e `a l’aide une proc´edure appropri´ee. Notons qu’une mauvaise identification du plateau induit non seulement une erreur dans l’extraction de l’´energie effective (la valeur incorrectement isol´ee serait agrandie sous l’ef-fet des excitations) mais aussi un biais sur la valeur des ´el´ements de matrice hadroniques

Z que l’on cherche `a obtenir.

Il est important de v´erifier que les proc´ed´es visant `a am´eliorer les signaux n’engendrent pas d’effets ind´esirables sur les ph´enom`enes physiques ´etudi´es. La mise en œuvre de ces techniques doit ˆetre telle que les effets non-physiques puissent ˆetre ´elimin´es `a la fin du calcul. Donnons quelques d´etails suppl´ementaires sur chacune de ces techniques d’am´e-lioration des signaux de la limite statique.