Les corr´elateurs `a deux points

Consid´erons une fonction de corr´elation `a deux points comme celle que l’on a ´etudi´ee pr´ec´edemment (cf. l’´eq. (I.3.3)). Dans le cas pr´esent, les op´erateurs O et O0 sont des champs interpolants que nous notons de fac¸on g´en´eriqueΓJ(x), o`u l’indice Γ rappelle

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corr´elateur `a deux points est appel´ee<sub>ΓΓ</sub>C<sup>(2)</sup>et peut ˆetre ´ecrite de la mani`ere suivante:

C_ΓΓ⁽²⁾(tx, ~p) = Z

d~x e^i~p·~x h 0 | JΓ(x)J_Γ^†(0) | 0 i , (I.4.1) o`up est la partie spatiale de la quadri-impulsion transf´er´ee aux champs de quarks au point~ x.

Les propagateurs des quarks Commenc¸ons par exprimer le corr´elateurC_ΓΓ⁽²⁾ en termes

des propagateurs des quarks. Pour cela consid´erons une expression g´en´erique des champs interpolantsJΓ(x) de la forme:

JΓ(x) = Ψq(x) Γ Ψq0(x) . (I.4.2)

On peut alors r´ecrire l’´eq. (I.4.2) sous la forme:

C_ΓΓ⁽²⁾(tx, ~p) = Z

d~x e^i~p·~x h 0 | Ψq(x) Γ Ψq0(x)Ψq0(0) Γ Ψq(0) | 0 i , (I.4.3) Les contractions de Wick permettent d’exprimer ce corr´elateur en fonction des propa-gateurs des quarksq et q0:

C_ΓΓ⁽²⁾(tx, ~p) = Z

d~x e^i~p·~x h 0 | Tr Sq(0, x) Γ Sq0(x, 0)Γ | 0 i , (I.4.4) o`u le propagateur du quark est donn´e par:S_q(x, y) = (M−1

q )_(x,y) = hΨq(x)Ψ_q(y)i.

C’est sous cette forme que l’on calcule les corr´elateurs sur le r´eseau. Ce calcul suppose l’inversion de l’op´erateur de DiracM de chaque saveur de quark. L’´eq. (I.4.4) montre que

l’invariance de jauge est bien pr´eserv´ee pour les corr´elateurs puisqu’ils sont form´es de propagateurs de quarks connect´es (`a l’origine et au pointx).

L’extraction des ´el´ements de matrice et du spectre Reprenons maintenant l’expression

du corr´elateur de l’´eq. (I.4.1) et consid´erons l’ensemble complet des ´etats de l’espace de Hilbert: X n |HΓ⁽ⁿ⁾ihHΓ⁽ⁿ⁾| 2E_H(n) Γ , (I.4.5)

o`u l’on noteH<sub>Γ</sub><sup>(n)</sup>len`eme´etat excit´e hadronique poss´edant les nombres quantiques fix´es par le champ interpolantJΓ. La normalisation des ´etats est donn´ee par:hHΓ⁽ⁿ⁾|HΓ⁽ⁿ⁾i = 2E_H(n)

Γ . Introduisons `a pr´esent l’´eq. (I.4.5) dans le corr´elateur de l’´eq. (I.4.1):

C_ΓΓ⁽²⁾(tx, ~p) = Z d~x h0|J(x)JΓ^†(0)|0i =^X n Z d~xh0|J(x)^|H (n) Γ ihHΓ⁽ⁿ⁾| 2E_H(n) Γ J_Γ^†(0)|0i . (I.4.6)

On peut maintenant faire agir l’op´erateur de Heisenberg des translations dans l’espace (euclidien): C_ΓΓ⁽²⁾(t_x, ~p) =X n h0|JΓ(0) e−Htx|HΓ⁽ⁿ⁾ihHΓ⁽ⁿ⁾| 2E_H(n) Γ J_Γ^†(0)|0i . (I.4.7) Les valeurs propres de l’hamiltonienH correspondent aux ´energies des ´etats HΓ⁽ⁿ⁾:

H|HΓ⁽ⁿ⁾i = EH⁽ⁿ⁾Γ|HΓ⁽ⁿ⁾i . (I.4.8) En appliquant l’hamiltonienH, on obtient alors,

C_ΓΓ⁽²⁾(t_x, ~p) = X n |h0|JΓ(0)|HΓ⁽ⁿ⁾i|2 2E_H(n) Γ e^−EHΓ^(n)tx, (I.4.9)

o`u, dans le cas particulier o`u l’on prend les mˆemes champs interpolants `a l’origine et au pointx, on peut faire apparaˆıtre le module au carr´e de l’´el´ement de matrice d’annihilation h0|JΓ(0)|HΓ⁽ⁿ⁾i. Cet ´el´ement de matrice est souvent not´e ZΓ⁽ⁿ⁾:

ZΓ⁽ⁿ⁾ ≡ |h 0 |JΓ(0)| HΓ⁽ⁿ⁾i|² . (I.4.10) On obtient ainsi l’expression:

C_ΓΓ⁽²⁾(tx, ~p) = ZΓ⁽⁰⁾ e^−EHΓ^(0)tx 2E_H(0) Γ + ZΓ⁽¹⁾ e^−E(1)HΓ^tx 2E_H(1) Γ + ... (I.4.11)

L’int´erˆet de travailler dans l’euclidien est que l’op´erateur de translation engendre une expo-nentielle dont l’argument est r´eel et n´egatif. Or, lorsqu’on consid`ere des excitations d’ordre de plus en plus ´elev´es, l’´energie augmente : on peut ainsi n´egliger les effets des excitations

n ≥ 1 lorsque tx → ∞. Dans cette limite, seul l’´etat fondamental peut contribuer `a la

fonction de corr´elation: C_ΓΓ⁽²⁾(tx, ~p) −→ tx→∞ ZΓ e−E_HΓtx 2EHΓ , (I.4.12)

o`u pour simplifier les notations on a ´elimin´e l’indice ‘(0)’ de l’´etat fondamental. Ainsi, de

l’´etude de la d´ependance en temps de la fonction de corr´elation on peut tirer les valeurs des ´el´ements de matrice (par exemple lesZ) et des ´energies des hadrons.

Il est facile de montrer que lorsqu’on impose des conditions p´eriodiques aux bords du r´eseau, une contribution au signal se propageant dans le sens inverse du temps (corres-pondant `a la propagation d’une antiparticule) doit ˆetre incluse. D’autre part, l’expression du propagateur de l’´eq. (I.2.14) dans l’espace de configuration fait apparaˆıtre un terme d’´energie qui impose la transformationaE → sinh(aE).

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Si on prend en compte ces deux effets l’expression de la fonction de corr´elation de l’´eq. (I.4.14) devient finalement :

C_ΓΓ⁽²⁾(tx, ~p) = ZΓ 2 sinh (EHΓ)  e^−EHΓ^tx + e^−EHΓ^{(T −t}x) , (I.4.13) = ZΓ sinh (E_HΓ)^e

−E_HΓtx/2 cosh [EH_Γ(T − tx)] , (I.4.14) o`uT est la dimension temporelle du r´eseau.

Sur le r´eseau, l’´energie du hadron v´erifie une relation de dispersion analogue `a celle d’Einstein,E2 = m2+ ~p2. L’´equivalent sur le r´eseau s’´ecrit:

sinh²  EH_Γ 2  = sinh²mH_Γ 2  + 3 X k=1 sin²pk 2  . (I.4.15)

Ce qui devient `a l’ordreO(a2):

E_H²_Γ = m²_HΓ+ ~p²+ O(a²) . (I.4.16) Ainsi, dans le cas o`u l’impulsion ins´er´ee est nulle,~p =~0, on peut directement extraire les

masses des hadrons.

Notons finalement que lorsque le champ interpolant estJ_Γ = J_P, l’´el´ement de matrice

ZΓentre le m´eson pseudoscalaire et le vide est une constante ind´ependante de l’impulsion

~

p. Par contre, dans le cas JΓ = JV, il faut prendre en compte les effets du vecteur de polarisation du m´eson vecteur.

L’analyse du spectre Consid´erons le cas du champ interpolantJΓ = JP et utilisons la

fonction de corr´elationC_{P P}⁽²⁾(t, ~p = ~0) pour ´etudier les propri´et´es du m´eson pseudoscalaire.

La figure 4.1 montre la d´ependance en temps de la fonction de corr´elation `a deux points

C_{P P}⁽²⁾(t, ~p = ~0) du ((pion)) (le m´eson pseudoscalaire l´eger des r´eseaux). Afin de mettre en

´evidence la masse du pion, la figure repr´esente le logarithme de_{P P}C⁽²⁾(tx). Le corr´elateur

pr´esent´e est obtenu `a partir d’une simulation sur un r´eseauV = 243× 64 avec une maille

inversea−1 = 2.71(12) GeV (i.e. a ∼ 0.07 fm correspondant `a un choix du param`etre β: β = 6.2). Avec cette maille, l’extension spatiale du r´eseau est L = 24a ∼ 1.7 fm. On a

utilis´e 100 configurations ind´ependantes de champs de jauge pour effectuer la moyenne de l’´eq. (I.3.14), les effets des quarks dynamiques sont n´eglig´es (on se place dans l’approxi-mation ((quenched))) et on a utilis´e des fermions de Wilson am´elior´es afin d’´eliminer les effets d’ordrea. Le param`etre κ est choisi pour que la masse mq du quark soit voisine de celle du quark ´etrange: κ = 0.1344 i.e. mq ∼ 110 MeV. L’impulsion ~p du pion est prise

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

t / a

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

ln ( C

PP (2)

(t) )

FIG. 4.1 – D´ependance en temps deln C_{P P}⁽²⁾.

´egale `a~0 de fac¸on `a extraire la masse, mH_Γ. Le comportement sym´etrique par rapport `a

t = T /2 = 32a visible sur la figure 4.1 est une cons´equence des conditions p´eriodiques

du r´eseau : les temps t = 0 modulo T produisent des signaux qui se propagent dans le

sens positif et n´egatif du temps (ils correspondent `a la propagation d’un quark et de son anti-quark). La sym´etrie par renversement de temps permet alors de moyenner ces deux contributions et de gagner ainsi un facteur 2 en statistique. L’interf´erence entre ces signaux est exponentiellement supprim´ee pour les temps interm´ediaires: 0  t  T/2. Le

com-portement lin´eaire observ´e dans cette r´egion indique que les excitations radiales ont ´et´e ´elimin´ees et que seul l’´etat fondamental contribue au corr´elateur_{P P}⁽²⁾C. Ainsi, dans cet in-tervalle, on peut interpr´eter la pente deln(C_{P P}⁽²⁾(tx)) comme ´etant ´egale `a la masse mHP du m´eson pseudoscalaire.

Dans la pratique, `a partir des valeurs du corr´elateurC_{P P}⁽²⁾(tx) (obtenues via l’´eq. (I.4.4)),

on fait un fit des donn´ees suivant la fonction de l’´eq. (I.4.14). Les param`etres libres du fit sont l’´el´ement de matricePZet la massemHP. On notera que l’expression de l’´eq. (I.4.14) contient un ((cosh)) prenant en compte la sym´etrie du corr´elateur par rapport `a t = T /2. Pour identifier plus pr´ecis´ement la zone en temps o`u l’on atteint l’´etat fondamental, on peut

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construire, `a partir deC_ΓΓ⁽²⁾, une quantit´e que l’on appelle la masse effectivem^HΓ

eff (t): m^HΓ eff (t) ≡ ln ^C (2) ΓΓ(t) C_ΓΓ⁽²⁾(t + 1) ! −→ t→∞ m_HΓ. (I.4.17)

La figure 4.2 montre la d´ependance dem^HP

eff (t) en fonction du temps. On peut

remar-quer qu’aux petits temps les effets des excitations radiales sont importants. Ils sont cepen-dant exponentiellement supprim´es en fonction du temps. Pourt ∈ [10, 20], on observe un

plateau qui indique que l’on a isol´e l’´etat fondamental. La valeur du plateau s’identifie `a la massemHP, Le r´esultat de la simulations est:amHP = 0.306(1) i.e. mHP ∼ 830 MeV.

Ceci correspond `a la masse d’un m´eson pseudoscalaire form´e d’un quark et d’un anti-quark d´eg´en´er´es. En prenant plusieurs valeurs du param`etreκ on peut interpoler les masses des

quarks vers celle du quark ´etrange et comparer le r´esultat obtenu `a celui fourni par la rela-tionm2

ss = (2m2 K − m2

π). En pratique, on fait plutˆot le travail inverse: on utilise la valeur

exp´erimentale de m2

ss pour v´erifier que l’on travaille effectivement `a la masse physique du quarks et on peut alors faire des pr´edictions sur les ´el´ements de matrice d´ependant du

secteur du quark ´etrange.

Nous avons consid´er´e jusqu’ici le cas du m´eson pseudoscalaire. En utilisant les autres champs interpolants, les caract´eristiques des autres m´esons peuvent ˆetre ´etudi´ees suivant les mˆemes proc´edures que l’on vient de pr´esenter. On peut par exemple calculer les constantes de d´esint´egrationHfP des m´esons pseudoscalairesHP `a partir des ´el´ements de matrice:

ZA^1/2 = h 0 |JA(0)| HP⁽ⁿ⁾i . (I.4.18) La valeur de ZA^1/2 peut ˆetre obtenue `a partir de la fonction de corr´elation `a deux points

C_AP⁽²⁾(t, ~p).

De fac¸on g´en´erale, les valeurs fournies par les corr´elateurs sont des nombres com-plexes. Sur le r´eseau elles deviennent r´eelles en raison de l’invariance sous les sym´etriesC, P et T (ceci n’est vrai qu’`a impulsion nulle, puisqu’`a ~p 6= ~0 la phase de la transformation

de Fourier peut introduire des composantes imaginaires). Dans le cas des m´esons pseudos-calaires cette propri´et´e est v´erifi´ee configuration par configuration. Pour les autres m´esons, la partie imaginaire s’annule en moyenne sur l’ensemble des configurations g´en´er´ees.

Pr´esentons pour finir quelques remarques g´en´erales. Plusieurs ´etudes doivent ˆetre ef-fectu´ees afin d’´etudier les effets de volume fini et de discr´etisation. Pour les premiers, il faut faire varier le volumeV du r´eseau en laissant la maille a fixe; c’est l’inverse pour les

effets de maille finie. En r´ep´etant la simulation pour plusieurs valeurs de la maillea, on

peut extrapoler les observables vers la limite du continu,a → 0. Pour obtenir des r´esultats

0 5 10 15 20 25 30

t / a

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

a m

eff H

(t)

FIG. 4.2 – D´ependance de la masse effective m^HP

eff (t) par rapport au temps (cf.

l’´eq. (I.4.17). Le plateau en temps de cette quantit´e correspond `a la valeur de masse du

m´eson pseudoscalaire (en unit´es de maillea).

le minkowskien. Ce passage est imm´ediat lorsqu’on consid`ere un seul hadron dans l’´etat initial et dans l’´etat final. Le probl`eme devient par contre tr`es compliqu´e lorsqu’on doit consid´erer plusieurs hadrons ou lorsqu’un hadron a un pˆole complexe dans son propaga-teur (ce qui serait le cas, par exemple, si l’on voulait ´etudier la masse et la largeur du m´eson). En effet, sur le r´eseau, la pr´esence d’un nombre complexe dans l’exponentielle de l’´eq. (I.4.11) empˆeche d’extraire les propri´et´es des hadrons (les ´etats d’´energie et les ´el´ements de matrice). Par exemple, pour ´etudier les propri´et´es du m´esonρ il faudrait

pou-voir isoler, pour chaque impulsion du r´eseau, les contributions de toutes les excitations: `a la fois les excitations radiales et celles du continuum des ´etats (i.e. les ´energies sup´erieures au seuil de production des ´etats 2π, 4π, etc). On pourrait ainsi faire une transform´ee de

Fourier inverse et extraire l’information sur le pˆole du propagateur via la transformation:

Z dt e^ip4t e− eEnt 2 eE_n ⁼ 1 2 eE_n( eE_n− ip4) ⁺ 1 2 eE_n( eE_n+ ip₄)^{, (I.4.19)}

Dans le document Couplage des mésons lourds au pion sur réseau (Page 51-58)