La modification de l’action de Eichten-Hill

L’id´ee du ((fuzzing)) pr´esent´ee auparavant peut aussi ˆetre appliqu´ee `a la ligne de Wil-son temporelle i.e. au propagateur du quark statique venant de l’action de Eichten-Hill de l’´eq. (IV.1.14). L’id´ee est `a nouveau de moyenner sur les liens par l’effet des plus proches voisins et d’enrichir ainsi la statistique. Cette proc´edure (que nous appellerons de ((fattening)) pour la distinguer du ((fuzzing)) qui s’applique plutˆot `a l’´etalement de la source) a ´et´e propos´ee r´ecemment par le groupe Alpha [228] et peut ˆetre sch´ematis´ee par la figure 1.7.

Les avantages et les d´efauts que nous avons pr´esent´e `a propos du ((fuzzing)) s’appliquent aussi au cas du ((fattening)). Cependant les choix ne sont pas les mˆemes. En effet, nous avons vu que le ((fuzzing)) ´etait un moyen de calcul factorisable et donc pouvant ˆetre ´elimin´e en construisant des rapports ad´equats (nous reviendrons sur ce point par la suite en expli-citant clairement comment ´eliminer les effets de l’´etalement de la source). Par contre, le

175 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t / a 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 a E eff SL (t) R_b = 1a R_b = 2a R_b = 3a R_b = 4a R_b = 5a

FIG. 1.6 – Cette figure montre le changement de l’´energie de liaison effectiveE_eff(t) sous

l’effet de la variation du rayonRbde la fonction d’onde.

propagateur du quark est un objet physique et ses propri´et´es doivent donc ˆetre pr´eserv´ees sur le r´eseau. La modification de l’action de Eichten-Hill sur le r´eseau doit donc ˆetre faite de fac¸on `a retrouver l’action physique `a la limite du continu. Comme le ((fattening)) ne fait intervenir qu’un nombre fini de liens dans le voisinage du lien consid´er´e, les liens modifi´es sont dans la mˆeme classe d’universalit´e que les liens originaux. D’autre part l’invariance de jauge doit imp´erativement ˆetre respect´ee. Le respect des propri´et´es physiques contraint donc le choix des modifications.

Dans le cas de l’action de Eichten-Hill nous consid´erons donc un remplacement des liens dans la direction temporelleUtavec une seule it´eration du processus et sans projection

P dans SU(3) afin de garantir l’invariance de jauge. L’expression des liens modifi´es est

donn´ee par (cf. figure 1.7):

U_t(x) → Ufat t (x) = ¹ 6 X i=x,y,z h

U_i^Staple(x, x + ˆt ) + U_−i^Staple(x, x + ˆt )i

. (IV.1.30)

o`u le facteur1/6 permet de normaliser l’effet des 6 agrafes dans l’espace `a 3 dimensions.

Le choix de modification n’est pas unique pourvu qu’il laisse l’action du continu in-chang´ee. Des ´etudes r´ecentes [228, 238] ont montr´e que l’utilisation de la proc´edure des liens ((HYP)) [239] am´eliore encore plus la stabilit´e des signaux (en comparaison `a la proc´edure simple de l’´eq. (IV.2.69)). Ce proc´ed´e consiste `a prendre aussi en compte l’effet

t

U

FIG. 1.7 – Sch´ematisation de la proc´edure de modification de l’action de Eichten-Hill:

on remplace chaque lien de la ligne de Wilson temporelle par la somme des ((staples )) (le produit des liens voisins). Cette proc´edure est faite dans les trois dimensions d’espace.

des deuxi`emes plus proches voisins. C’est une g´en´eralisation de la proc´edure utilisant le

((fuzzing)) o `u au lieu de consid´erer uniquement les ((staples)) on utilise maintenant les liens situ´es sur l’hypercube attach´e au lien consid´er´e.

Formellement la proc´edure revient `a faire trois ´etapes de ((fuzzing)) (cf. ´eq. (IV.2.71) permettant, de proche en proche, de couvrir le lien de d´epart par ceux de l’hypercube qui lui est associ´e. Chaque ´etape de ((fuzzing)) contient un param`etre C: il faut donc dans le cas des liens ((HYP)) optimiser 3 param`etres par des crit`eres d’am´elioration du signal. La figure 1.8 illustre les deux premi`eres ´etapes de la construction de l’action ((HYP)).

La figure 1.2 montre la comparaison des rapports bruit/signal dans le cas de l’action Eichten-Hill (ligne de Wilson avec des liens ((minces)) i.e. sans ((fattening))), de l’action modifi´ee par le ((fattening)) et celle obtenue avec des liens ((HYP)). L’am´elioration notable de la qualit´e des signaux obtenue grˆace `a l’utilisation de ces actions modifi´ees accom-pagn´ee de l’´etalement de la source est ce qui permet `a pr´esent d’´etudier la limite statique dans les syst`emes de m´esons lourds-l´egers. On peut en particulier voir que des signaux de corr´elateurs avec des incertitudes de l’ordre du pourcent peuvent ˆetre obtenus (avec tout de mˆeme une statistique tr`es ´elev´ee: 2500 configurations ind´ependantes de champs de jauge) jusqu’`a des temps de1.5 fm, i.e. t = 21a `a β = 6.2. On notera que mˆeme avec une tr`es

grande statistique, l’action de Eichten-Hill ne permet pas d’obtenir un signal exploitable puisque lorsque l’´etat fondamental apparaˆıt `at & 0.7 fm, le bruit se met `a croˆıtre

exponen-tiellement et augmente d’un ordre de grandeur entre0.7 < t < 1.2 fm.

177

FIG. 1.8 – Repr´esentation de la construction de l’action ((HYP )). La figure de gauche

repr´esente la premi`ere ´etape: on remplace le lien de d´epart (en noir fonc´e) par les

((staples )) (lignes doubles). La deuxi`eme ´etape (`a droite) consiste remplacer chacun des liens en lignes doubles (pr´ec´edemment consid´er´es) par les deux ((staples )) (lignes noires) compl´etant l’hypercube attach´e au lien de d´epart.

de simuler les quarks lourds que l’on a pr´esent´ees: avec l’action de Eichten-Hill, l’action apr`es ((fattening)) et l’action ((HYP)). Les signaux correspondent `a l’´energie de liaison ef-fectiveEeff en fonction du temps (cf. ´eq. (IV.2.74)).

On peut observer une nette am´elioration des signaux lorsqu’on passe aux actions ((fat)) ou ((HYP)). Le changement de la valeur de Eeff lorsqu’on change l’action provient du fait que l’´energie de liaison n’est pas une quantit´e physique `a proprement parler: nous avons anticip´e pr´ec´edemment qu’elle contient des divergences lin´eaires en1/a. Le changement

de la valeur deEeff est donc le t´emoignage que par ces proc´edures de fattening on est en train de changer la maille effective du r´eseau. La d´ependance dans l’´energie de liaison doit ˆetre ´elimin´ee lorsqu’on cherche `a extraire des ´el´ements de matrice physiques. Pour cela, un ajustement du plateau en temps deEeff(t) permet d’extraire l’´energie de liaison EH et de soustraire son effet par des rapports ad´equats. Nous allons tout de suite voir un exemple dans l’´etude de la constante de d´esint´egrationBsf.