1.4 La formulation ((na¨ıve)) de la QCD sur r´eseau
1.4.3 L’action fermionique
Pr´esentons maintenant la mani`ere la plus directe d’inclure la dynamique des quarks sur le r´eseau. La partie fermionique du lagrangien de l’´eq. (I.1.17) d´epend de la d´eriv´ee covariante:
Dµ= ∂µ− igsAaµ λa
2 . (I.1.33)
Pour transposer Dµ dans le discret on doit donc consid´erer, d’une part, une d´erivation (cf. l’´eq. (I.1.6)) et, d’autre part, l’expression des champs de jauge (cf. l’´eq. (I.1.4)).
Le terme d´ependant deDµpeut alors ˆetre ´ecrit comme il suit:
Ψ 6D Ψ = 1 2aΨ(x) X µ γµ Uµ(x)Ψ(x + ˆµ) − U† µ(x − ˆµ) Ψ(x − ˆµ) . (I.1.34) Par un d´eveloppement de Taylor (en puissances dea) des champs Ψ(x + ˆµ) et Uµ(x), il
est possible de montrer que l’ordre dominant du d´eveloppement redonne `a la limitea → 0,
l’expression de l’op´erateur de Dirac.
L’action dite na¨ıve (N) des fermions peut s’´ecrire:
SqN=X
x
Ψ(x)Mx,yΨ(y) . (I.1.35)
Dans ce cas (nous verrons par la suite d’autres formulations possibles pour les fermions), l’op´erateur de DiracMx,y est donn´e par:
Mx,y = m0δx,y + 1 2a X µ γµUµ(x) δx,y−ˆµ − γµUµ†(x − ˆµ) δx−ˆµ,y , (I.1.36)
o`um0 d´esigne la masse nue du quark.
L’action fermionique pr´eserve un grand nombre de sym´etries: elle est invariante sous les transformations de jauge et sous les sym´etries discr`etes (C,P ,T ). Elle est aussi
inva-riante sous une transformation de phase de type:
Ψ(x) → eiθΨ(x) , (I.1.37)
Ψ(x) → Ψ(x) e−iθ, (I.1.38)
o`u θ est un param`etre continu. Cette sym´etrie est reli´ee `a la conservation du nombre
ba-ryonique. Elle permet de construire les identit´es de Ward-Takahashi reliant les ´el´ements de matrice des courants du r´eseau. A la limite du continu cette sym´etrieU (1) globale permet
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A la limite chirale,m0 → 0, la discr´etisation na¨ıve de l’op´erateur de Dirac de l’´eq. (I.1.36)
est aussi invariante sous la transformation axialeU (1):
Ψ(x) → eiθγ5Ψ(x) , (I.1.39)
Ψ(x) → Ψ(x) eiθγ5. (I.1.40)
Dans le continu, cette sym´etrie permet d’identifier, via le th´eor`eme de Noether, le cou-rant axial conserv´e dans l’action classique. Cependant, il a ´et´e d´emontr´e (cf. le th´eor`eme d’Adler-Bell-Jackiw [3] ) que cette sym´etrie n’est pas valable au niveau quantique `a cause des effets des instantons: on parle alors de l’anomalie de la divergence du courant axial (singlet deSU (3)) qui brise la sym´etrie de jauge. Les fluctuations quantiques empˆechent
l’annulation de la divergence de ce courant. A la limite chirale (m0 → 0) cette anomalie
a des cons´equences physiques. Elle explique par exemple que le m´eson0ηse d´ecouple de l’octet des m´esons pseudoscalaires l´egers (le pion, le kaon,...). Nous reviendrons sur ce point dans les chapitres suivants lorsqu’on abordera la sym´etrie chirale.
Sur le r´eseau, l’invariance sous la transformation de l’´eq. (I.1.39) (dans le cas de la discr´etisation na¨ıve et nous verrons que ce n’est plus le cas dans la formulation de Wilson) assure l’invariance chirale de l’action. La transformation de l’´eq. (I.1.39) est r´ealis´ee sur le r´eseau lorsqu’un op´erateurM v´erifie:
γ5M + M γ5 = 0 . (I.1.41)
D’autre part, l’op´erateur de l’´eq. (I.1.36) satisfait la propri´et´e d’hermiticit´e (appel´ee aussi la sym´etrieγ5):
γ5M γ5 = M†. (I.1.42)
Ainsi, la sym´etrie chirale est satisfaite sur le r´eseau lorsque l’op´erateurM est
anti-hermiti-que, ce qui est bien le cas dans la formulation na¨ıve. Le th´eor`eme de Adler-Bell-Jackiw implique alors que la th´eorie sur r´eseau ne peut pas contenir l’anomalie axiale: ceci pose un probl`eme de principe puisque nous avons indiqu´e que cette anomalie avait des cons´equences physiques.
Avant d’aborder une solution `a ce probl`eme, commenc¸ons par indiquer comment l’ano-malie axiale est ´elimin´ee dans la formulation de l’op´erateur de Dirac de l’´eq. (I.1.36).
Le probl`eme du ((d´edoublement)) Consid´erons donc l’´eq. (I.1.36) et prenons l’inverse
de l’op´erateur de Dirac (apr`es une transform´ee de Fourier) pour exprimer le propagateur
S(p) d’un quark de quadri-impulsion p: M−1 p = 1 aS(p) = 1 iγµsin pµa + m0a = −iγµsin pµa + m0a P µsin2pµa + m2 0a2. (I.1.43)
o`u, pour simplifier le probl`eme, on a consid´er´e un champ de quark libre (i.e.µU(x) = 1).
A la limite chirale,m0 → 0, ce propagateur a des pˆoles pour tout pµv´erifiantsin2pµa = 0. Donc, `a l’int´erieur de la zone de Brillouin et du fait de la discr´etisation des impulsions
(cf. l’´eq. (I.1.2)), le propagateur contient 16 pˆoles. Seul celui qui correspond `apµ = 0 est
physique. Pour revenir au cas du continu il faut donc pouvoir se d´ebarrasser des pˆoles du type:p = (π, 0, 0, 0), (0, π, 0, 0), . . . (π, π, π, π). Chacun de ces pˆoles peut ˆetre interpr´et´e
comme l’effet d’un nouveau fermion: dans le cas de l’action na¨ıve de Dirac on doit donc consid´erer 16 saveurs de fermions sur le r´eseau. Cette difficult´e est connue sous le nom du probl`eme du ((d´edoublement)).
L’effet physique des ((doublons)) (les fermions issus de ce probl`eme) est de supprimer
l’anomalie axiale et donc d’assurer la sym´etrie chirale sur le r´eseau. Il a ´et´e d´emontr´e [4]
que les charges axiales des 16 fermions apparaissent par paires et que leur somme s’annule. En partant de la formulation na¨ıve, on est donc confront´e `a un choix: soit on d´ecide de conserver la sym´etrie chirale et on doit donc faire face dans les simulations `a des saveurs non-physiques de quarks, soit on sacrifie la sym´etrie chirale et on travaille avec des saveurs physiques de quarks.
Le th´eor`eme de Nielsen-Ninomiya Ce probl`eme a ´et´e formul´e rigoureusement par le
th´eor`eme ((no go)) de Nielsen-Ninomiya [5]. Ce th´eor`eme a comme hypoth`eses: (i) Consi-d´erer une action comme celle de l’´eq. (I.1.35) (i.e. quadratique dans les champs de quarks avec un op´erateur anti-hermitique M (x − y)). La transform´ee de Fourier de M doit ˆetre
d´erivable sur l’ensemble de la zone de Brillouin et doit se comporter commeγµpµ`a la limite despµpetits. (ii) Consid´erer un courant d´ependant (localement) des champs de quark. La chargeQ associ´ee `a ce courant ´etant quantifi´ee.
Avec ces hypoth`eses, le th´eor`eme de Nielsen-Ninomiya assure que l’op´erateur M (p)
doit avoir (pour toute valeur propre Q) un nombre ´egal de fermions ((left)) et de
fer-mions ((right)) (i.e. les ferfer-mions apparaissent par paires indissociables). La cons´equence de ce th´eor`eme est qu’une th´eorie locale, pr´eservant la sym´etrie chirale, doit avoir des
((doublons)) . La ((localit´e)) de la th´eorie doit ˆetre comprise sur le r´eseau comme la propri´et´e assurant que les couplages d´ecroissent exponentiellement avec la distance. Ceci permet de retrouver la localit´e de la th´eorie du continu. Cette propri´et´e peut ˆetre mise en œuvre sans trop de restrictions sur le r´eseau. Par contre, si les conditions du th´eor`eme de Nielsen-Ninomiya sont v´erifi´ees (ce qui est le cas dans l’action na¨ıve) il faut choisir entre ´eliminer
les ((doublons)) ou briser la sym´etrie chirale. Nous allons voir par la suite que le choix de Wilson a ´et´e de briser l’invariance chirale (qui peut tout de mˆeme ˆetre restaur´ee `a la limite du continu) afin d’´eliminer la multiplicit´e des saveurs non-physiques de quarks. Le choix
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inverse a aussi ´et´e propos´e (les fermions de Kogut-Susskind ou ((staggered)) [6, 7] ). Ces deux formulations permettent de reconstituer l’anomalie axiale `a la limite du continu.
D’une part, la brisure de la sym´etrie chirale implique l’apparition de nouveaux cou-plages des op´erateurs et la n´ecessit´e d’une renormalisation additive (en plus de la renor-malisation multiplicative d´ej`a pr´esente dans la th´eorie du continu) pour certaines quan-tit´es physiques (comme la masse des quarks). D’autre part, conserver les doublons pose le probl`eme de l’identification de la saveur physique du quark ainsi que celui du m´elange des op´erateurs de saveurs diff´erentes.
La solution id´eale au probl`eme consiste `a contourner le th´eor`eme de Nielsen-Ninomiya. La possibilit´e de le faire a ´et´e d´emontr´ee ces derni`eres ann´ees et constitue un des progr`es importants du domaine des r´eseaux. L’id´ee permettant de retrouver la sym´etrie chirale `a maille finie (en l’absence de ((doublons)) ) passe par l’abandon de la quantification de la chargeQ. La condition n´ecessaire pour r´etablir les bonnes propri´et´es chirales sur le r´eseau
est de satisfaire la relation de Ginsparg-Wilson [8]:
γ5D + Dγ5 = aDγ5D . (I.1.44)
o`u D est une matrice reli´ee `a l’op´erateur de Dirac M . Les fermions dits de
((domain-wall)) [9–11] et ((d’overlap)) [12] r´ealisent cette relation. Ils conservent donc la sym´etrie chirale `a maille finie tout en ´eliminant les ((doublons)) et en r´etablissant l’anomalie axiale.
Apr`es avoir pr´esent´e la fac¸on la plus directe de discr´etiser la QCD sur un r´eseau, passons `a l’´etude de l’action fermionique de Wilson qui permet d’´eliminer les effets des
Chapitre 2
Les fermions de Wilson
Puisque les r´esultats physiques ne sont obtenus qu’une fois que la limite du continu a ´et´e prise, il est possible d’ajouter `a l’action des termes proportionnels `a la maille a sans
pour autant alt´erer le pouvoir pr´edictif de la th´eorie du r´eseau.
C’est sur ce principe que Wilson a ajout´e `a l’action fermionique na¨ıve un terme d´erivatif proportionnel `aa permettant d’´eliminer les ((doublons)) :
SW = − r 2a X x,µ Ψ(x) Uµ(x)Ψ(x + ˆµ) − 2Ψ(x) + U† µ(x − ˆµ)Ψ(x − ˆµ)= arΨD2Ψ , (I.2.1) o`ur est un param`etre r´eel g´en´eralement pris ´egal `a 1, r = 1, mais ce choix est arbitraire
(tant quer 6= 0). Notons de plus que r est un param`etre qui reste fixe.
Ecrivons maintenant l’action compl`ete du secteur fermionique en sommant les ´eqs. (I.1.35) et (I.2.1): SqW = m0 X x Ψ(x)Ψ(x) , + 1 2a X x,µ Ψ(x)γµ Uµ(x)Ψ(x + ˆµ) − Uµ†(x − ˆµ)Ψ(x − ˆµ) − 2ar X x,µ Ψ(x) Uµ(x)Ψ(x + ˆµ) − 2Ψ(x) + U† µ(x − ˆµ)Ψ(x − ˆµ), (I.2.2) = m0a + 4r a X x Ψ(x)Ψ(x) + 1 2a X x Ψ [ (γµ− r)Uµ(x)Ψ(x + ˆµ) −(γµ+ r) U† µ(x − ˆµ)Ψ(x − ˆµ). (I.2.3) 27
L’habitude est alors de red´efinir les grandeurs suivantes:
κ = 1
2m0a + 8r, (I.2.4)
Ψ → √m0a + 4r Ψ = √1
2κΨ . (I.2.5)
Dans le casr = 1 on peut aussi d´efinir les projecteurs:
P± µ = 1 2(1 ± γµ) , (I.2.6) et les op´erateurs: D+ µΨ(x) = 1 a [ Uµ(x) Ψ(x + ˆµ) − ψ(x) ] , (I.2.7) D− µΨ(x) = 1 a Ψ(x) − U† µ(x − ˆµ) Ψ(x − ˆµ). (I.2.8) En rassemblant ces d´efinitions on peut ´ecrire une expression compacte de l’action fermio-nique de Wilson: SqW = X x " Ψ(x)Ψ(x) − κX µ Ψ(x) Pµ+D−µ − Pµ−D+µ Ψ(x) # , (I.2.9) = X x,y Ψ(x) MW
x,yΨ(y) , (I.2.10)
o`u l’op´erateur de Dirac-WilsonMW
x,y s’´ecrit: Mx,yW a = δxy − κX µ (r − γµ)Uµ(x)δx,y−ˆµ+ (r + γµ)U† µ(x − ˆµ) δx−ˆµ,y . (I.2.11) L’op´erateurMW
x,ya une interpr´etation simple, il correspond `a deux contributions `a la dyna-mique des quarks: le terme δxy maintient le quark sur le mˆeme site et le deuxi`eme terme indique la possibilit´e de passer au site voisin avec une probabilit´e proportionnelle `aκ. Ce
param`etre est d’apr`es l’´eq. (I.2.4) reli´e `a la masse nue du quark. Les param`etresβ (d´efinit
`a partir du couplage nug0) etκ sont les seuls param`etres (variables) de la QCD sur r´eseau.
Tant que la th´eorie de jauge sur r´eseau est locale et ne d´epend que de ces deux param`etres des arguments du groupe de renormalisation sugg`erent que la limite du continu de la th´eorie est dans la mˆeme classe d’universalit´e que la QCD.
A la limitem0 → 0, on d´efinit la valeur critique du param`etre κ = κc. On peut ainsi utiliser l’´eq. (I.2.4) et exprimer la masse nue de la fac¸on suivante:
m0a ≡ 12 1 κ − κ1 c . (I.2.12)
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Cette expression est d´efinie dans la cas de la th´eorie libre, on a alorscκ= 1/8r. En pr´esence
d’interactions, i.e. lorsque g0 6= 0, la valeur de κc d´epend de la maille. Pour ´eviter des confusions, on utilise alors la notationmq:
mqa ≡ 12 1 κ − κ1 c , (I.2.13)
o`umq n’est plus le param`etre du lagrangien dans l’´eq. (I.2.3). La massemq est une gran-deur non-perturbative issue de la simulation. L’expression de l’´eq. (I.2.13) indique alors que la masse des quarks subit une renormalisation additive:mq = m0− mc, o`u mcest la masse g´en´er´ee par la brisure de la sym´etrie chirale du fait de la pr´esence du param`etrer.
L’expression de l’´eq. (I.2.13) permet d’extraire la valeur des masses des quarks `a partir des simulations.
Pr´ecisons comment l’action de Wilson a fait disparaˆıtre les ((doublons)). Pour cela, comme auparavant, ´ecrivons l’expression du propagateurSW(p) des quarks:
h
MW−1i
p = 1 aS
W(p) = −iγµsin pµa + m0a − rPµ(cos pµa − 1) P
µsin2pµa + ( m0a − rPµ(cos pµa − 1) )2 . (I.2.14) Pour toute valeur non nulle der, le propagateur de la limite chirale ne pr´esente plus des
pˆoles non physiques. Le seul pˆole lorsquem0 = 0 est `a p = 0.
2.1 Les sym´etries de l’action fermionique de Wilson
Etudions maintenant les propri´et´es de transformation de l’action fermionique de Wilson sous l’effet des sym´etries. De mˆeme que dans la version na¨ıve, les sym´etries de jauge et discr`etes (C, P et T ) sont effectivement respect´ees. Sous l’action des sym´etries discr`etes,
les transformations du propagateurSW(x, y, [U ]) (o`u l’on explicite la d´ependance dans les
coordonn´ees spatiales et en fonction de la configuration de jauge U) s’´ecrivent:
C : SW(x, y, [U ]) → γ4γ2 SW(x, y, [UC])T γ2γ4, (I.2.15) P : SW(x, y, [U ]) → γ4SW(xP, yP, [UP]) γ4, (I.2.16) T : SW(x, y, [U ]) → γ4γ5SW(xT, yT, [UT]) γ5γ4, (I.2.17) H : SW(x, y, [U ]) → γ5 SW(y, x, [U ])† γ5. (I.2.18)
On a aussi indiqu´e dans cette liste les propri´et´es sous la transformationH, dite
((hermi-tique)) ou ((γ5)). Ces sym´etries permettent par exemple de savoir si un corr´elateur est r´eel ou imaginaire. On peut moyenner sur les configurations, avant et apr`es transformation, et
am´eliorer ainsi la pr´ecision des r´esultats. Dans le cas de la sym´etrie H, la transformation
de l’´eq. (I.2.18) permet d’´eviter de recalculer le propagateur de l’anti-quark une fois que celui du quark a ´et´e obtenu: ceci repr´esente une ´economie consid´erable en temps de calcul.
Comme nous l’avons d´ej`a signal´e, l’action fermionique de Wilson brise la sym´etrie chirale. La raison en est que l’op´erateur de l’´eq. (I.2.11) n’est pas anti-hermitique (ce qui d’apr`es les ´eqs. (I.1.41)-(I.1.42) est la condition pour pr´eserver la sym´etrie). En effet,WM
v´erifie:
MW† (κ, r) = MW(−κ, −r) . (I.2.19) Nous avons d´ej`a ´evoqu´e quelques unes des cons´equences de la brisure de cette sym´etrie. Indiquons tout de mˆeme une derni`ere qui a pour effet d’interdire des simulations `a tr`es faibles masses de quarks: l’absence de sym´etrie autorise l’apparition de valeurs propres nulles de l’op´erateur de Dirac MW. En effet, si pour une configuration de champs de jauge, MW g´en`ere une valeur propre r´eelle λ, il n’est pas interdit qu’elle s’annule sous
l’effet d’une contribution −λ de la masse nue du quark m0: c’est ce qu’on appelle une
((configuration exceptionnelle)). Lorsque m0 d´ecroˆıt, le nombre de ((configurations excep-tionnelles)) augmente et l’op´erateur de Dirac ne peut donc plus ˆetre invers´e pour calculer les propagateurs. Ainsi, en pratique, les simulations avec des fermions de Wilson ne per-mettent pas de diminuer arbitrairement la valeur des masse des quarks.
Une proposition r´ecente, connue sous le nom de ((twisted mass QCD)), supprime les
((configurations exceptionnelles)) des fermions de Wilson [13]. L’id´ee a ´et´e d’ajouter dans l’expression de l’op´erateur de Dirac un terme permettant d’´eviter l’annulation de son d´e-terminant (et donc de garantir qu’il soit toujours inversible).