Les effets chiraux et le ((quenching))

Commenc¸ons par rappeler ce qui a ´et´e dit dans le chapitre pr´ec´edent `a propos de l’ap-proximation ((quenched)) et de la th´eorie de perturbations chirales tout en montrant en quoi ces deux ´el´ements sont reli´es dans les simulations num´eriques de la QCD.

Les quarks l´egers ont des masses bien plus faibles que l’´echelle du confinement:mq  Λ_QCD, o`uq = u, d. Lorsque nous essayons de simuler ces masses l´eg`eres nous sommes

confront´es `a une augmentation consid´erable des temps de calcul n´ecessaires pour inver-ser l’op´erateur de Dirac et obtenir ainsi les propagateurs de quarks. Les algorithmes ac-tuels ne sont pas optimis´es pour les inversions de matrices ayant des valeurs propres tr`es

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´ecart´ees. On estime que le temps caract´eristique n´ecessaire pour inverser l’op´erateur de Di-rac se comporte commeτq ∝ (λmax/λmin)p ∼ 1/(mqa)p, o`uλmaxetλminsont les valeurs propres maximales et minimales de l’op´erateur de Dirac et o`u,p ∼ 2 − 3, selon que l’on

utilise ou pas l’approximation ((quenched)). Le temps du calcul croˆıt donc en puissances lorsqu’on tente de diminuer la masse des quarks. En pratique, il n’est pas possible actuel-lement de faire des simulations directes de QCD aux masses physiques des quarksu et d.

Il faut donc obligatoirement faire appel `a une th´eorie effective comme la th´eorie de pertur-bation chirale (χPT) pour obtenir des r´esultats physiques `a partir des donn´ees des r´eseaux

qui sont obtenues autour de la masse du quark ´etrange et dans les meilleurs conditions avec

mq ∼ 0.3 msalors que dans la QCD, on estime,mq ∼ 0.05 ms.

Le probl`eme est maintenant de savoir si la r´egion de masses o`u l’on fait les simulations est aussi une zone o`u la th´eorie de perturbation chirale peut s’appliquer. Il reste aussi `a savoir comment l’approximation ((quenched)) a pu modifier la physique des basses ´energies

i.e. voir comment ont ´et´e modifi´es les termes du d´eveloppement chiral lorsqu’on sort de la

QCD pour entrer dans l’approximation ((quenched)).

L’approximation ((quenched)) est le choix fait habituellement pour pouvoir mener au bout les calculs sur r´eseau. Elle vient des difficult´es num´eriques qu’implique le calcul du d´eterminant de chaque saveur de fermion. Le d´eterminant est pris ´egal `a 1 dans le calcul de l’int´egrale fonctionnelle. Des calculs ((unquenched)) avec des masses l´eg`eres de quarks n´ecessitent des moyens intensifs de calcul. L’arriv´ee de la nouvelle g´en´eration de machines (au niveau du Tera-flops) est en grande partie li´ee au besoin de traiter les effets des quarks dynamiques avec une plus grande pr´ecision.

Le principal probl`eme pos´e par l’approximation ((quenched)) est qu’elle n’a pas de param`etre ajustable permettant d’am´eliorer son comportement suivant les situations phy-siques. Plus que d’une approximation il s’agˆıt d’une troncation. La seule fac¸on de la tes-ter est de comparer les r´esultats `a ceux de la QCD compl`ete (l’exp´erience ou les calculs

((unquenched))). Rappelons que le ((quenching)) est une version modifi´ee de la QCD o`u l’on a supprim´e la polarisation du vide et on a donc interdit les boucles de quarks de la mer. Dans cette approximation les quarks de la mer sont de masse infinie et les particules que l’on cr´ee (les hadrons) ne peuvent pas se d´esint´egrer. Par contre, toutes les propri´et´es phy-siques des quarks de valence sont pr´eserv´ees. La pratique a montr´e que dans un nombre important de cas, l’approximation ((quenched)) produit des r´esultats tout `a fait compatibles avec l’exp´erience. En particulier, le spectre hadronique est bien reproduit. Cependant, au cours des derni`eres ann´ees il a ´et´e possible d’isoler des cas o`u les effets des quarks de la mer deviennent importants et o`u il devient donc indispensable de faire des simulations

un rˆole central.

Nous avons vu (section II.2.1) que laχPT est d´ecrite par un lagrangien dont les champs

fondamentaux sont les m´esons pseudoscalaires l´egers (π, K, η). Les param`etres de la

th´eorie effective (les masses de m´esons,πf, . . .) doivent ˆetre fournis par la QCD. Le

d´eveloppement perturbatif est possible parce que les masses de ces m´esons sont faibles par rapport `a ΛQCD. Concr`etement, l’´echelle qui apparaˆıt dans les expressions est Λχ ∼ 4πfπ = 1.65 GeV. Souvent on assimile aussi Λχ `a l’´echelle de masse du m´esonρ, mρ = 770 MeV. Pour que le param`etre du d´eveloppement soit petit il faudrait,

approximative-ment, des masses de m´esons pseudoscalaires autour demP S ∼ 200 MeV ∼ 0.4mK.

La QCD et la QCD ((quenched)) (QQCD) sont deux th´eories en principe diff´erentes (mais en pratique similaires) : leurs d´eveloppements `a la limite chirale doivent donc aussi ˆetre diff´erents. Les effets des boucles des quarks viennent majoritairement des quarks l´egers provenant des fluctuations quantiques du vide. Concr`etement, l’octet des m´esons pseudoscalaires de la th´eorie chirale n’a pas les mˆemes propri´et´es dans la QCD et dans la QQCD. Dans la QCD, le m´eson η0 est lourd (mη0 ∼ 1 GeV) et peut donc se d´ecoupler

des interactions des autres m´esons pseudoscalaires, de ce fait il n’apparaˆıt pas dans la ma-triceM des m´esons pseudoscalaires (cf. ´eq. (II.2.3)). Par contre dans la QQCD, le m´eson η0

n’est pas une vraie particule, il ne se d´ecouple pas de l’octet et les propagateurs des m´esons font alors intervenir un double pˆole: c’est cela qui induit des comportements diff´erents entre ces th´eories `a la limite chirale [240]-[242].

Il est int´eressant de voir plus en d´etail d’o`u proviennent ces diff´erences puisque ces ef-fets d´eterminent la forme des d´eveloppements chiraux des quantit´es physiques que l’on cherche `a mesurer sur les r´eseaux. Nous allons consid´erer trois cas qui correspondent aux types de simulations que l’on peut faire actuellement : l’approximation ((quenched)) (QQCD), l’approximation ((partiellement quenched)) (PQQCD) et la th´eorie compl`ete ((un-quenched)) (QCD). L’approximation ((((un-quenched)) revient `a n´egliger les saveurs de quarks de la mer, N_f = 0, en gardant cependant les quarks de valence, N_v 6= 0. La QCD est la

th´eorie o`uNf = Nv 6= 0. Finalement, la PQQCD [243]-[245] est l’approximation o`u l’on

inclut des saveurs de quarks dynamiques mais o`u leur nombre est diff´erent de celui des quarks de valence,Nf 6= 0 et Nf 6= Nv. Notons d’ailleurs que l’identification de la th´eorie

((unquenched)) `a la QCD suppose en plus Nf = 3, les effets des boucles des saveurs lourdes

pouvant l´egitimement ˆetre n´eglig´es . La plupart des simulations ((unquenched)) sont faites avecNf = 2 saveurs de quarks de la mer. L’introduction d’une troisi`eme saveur est un

pro-cessus en cours. Quelques r´esultats de simulations sont d´ej`a disponibles [246, 247] mais la compr´ehension d´etaill´ee des algorithmes impliqu´es suscite encore des interrogations.

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du m´esonη0 en laissant les saveursNf etNv comme des param`etres libres. On peut aussi consid´erer un nombre ind´efiniNcde couleurs afin d’´etudier le comportement `a la limite de grand nombre de couleurs. Le propagateur duη0 est obtenu par la somme d’une s´erie de diagrammes o`u des paires de quarksq ¯q se cr´eent et s’annihilent en un nombre de plus en

plus important lorsqu’on va vers les ordres ´elev´es de la s´erie. Le diagramme `a chaque ordre de la s´erie est usuellement appel´e un ((hairpin)) (((´epingle `a cheveux))). Les ((hairpins)) sont l`a pour introduire des boucles de quarks permettant d’augmenter la masse duη0 jusqu’`a sa valeur physique.

En sommant tous les termes de la s´erie on obtient l’expression suivante pour le propa-gateur: η0(q) = ¹ q2+ m2 π  1 −_N^Nv f  + ^Nv N_f 1 q2+ m2 π + m2 0 Nf Nc . (IV.1.41)

Le premier terme correspond au propagateur habituel des m´esons de Goldstone avec une quadri-impulsionq. Le deuxi`eme terme fait par contre intervenir le param`etre m0 introduit par la contribution des ((hairpins)) (m0 est reli´e `a la susceptibilit´e topologique du vide de la th´eorie [248]). Dans la limite ((quenched)), uniquement le premier ((hairpin)) (le premier ordre de la s´erie) intervient puisque ceux des ordres sup´erieurs font intervenir des boucles de quarks.

Voyons ce que devient ce propagateur lorsqu’on consid`ere les diff´erentes limites enNf

etNv. Dans la QCD, i.e.Nf = Nv, le premier terme correspondant aux effets des bosons de Goldstone disparaˆıt : le m´esonη0 est d´ecoupl´e de l’octet. Le deuxi`eme terme engendre une masse pour leη0 une massem2

η0 = m2

0N_f/N_c qui comme on l’a dit pr´ealablement est plutˆot grande.

Dans le cas PQQCD, les deux termes de l’´eq. (IV.1.41) sont pr´esents. Les m´esons pseudoscalaires l´egers se couplent alors `a la fois aux m´esonsη et η0.

Dans le cas ((quenched)), il y a aussi deux termes `a consid´erer (ils sont obtenus `a partir de l’´eq. (IV.1.41), `a la limiteNf = 0). L’expression du propagateur du η0est alors:

η0(q) = ¹ q2+ m2 π − m²0 1 (q2+ m2 π)2 Nv N_c ^{, (IV.1.42)}

Dans ce cas, en plus de la contribution habituelle du propagateur des bosons de Gold-stone, un double pˆole apparaˆıt dans le deuxi`eme terme. De plus, ce terme intervient avec un signe moins et est donc interpr´et´e comme dˆu `a un fantˆome pouvant se coupler aux bosons de Goldstone. Ces fantˆomes (‘ghost quarks’, not´esq) sont des bosons et on les interpr`ete˜

comme des champs venant ´eliminer les boucles fermioniques. L’´equivalent de la matrice

M des m´esons pseudoscalaires de la χPT habituelle (((unquenched))) contient donc

fantˆomes ¯q ˜˜q et de quarks avec des fantˆomes ¯q ˜q et ¯˜qq. Ainsi, les th´eories de perturbation

chirale de chacune des th´eories (QCD, QQCD, PQQCD) sont diff´erentes et il faut prendre en compte chacune de ces particularit´e lorsqu’on les utilise pour guider les extrapolations chirales. Remarquons en passant que d’apr`es l’´eq. (IV.1.42), `a la limiteN_c→ ∞, la th´eorie

quenched redevient identique `a la QCD.