Le couplage bg et les logs-chiraux

Lorsqu’on passe `a l’ordre des boucles (de m´esons pseudoscalaires) dans les d´evelop-pements chiraux, on voit apparaˆıtre des contributions logarithmiques dans les termes du d´e-veloppement. La figure 1.11 sch´ematise une boucle de pion dans le cas d’un m´esonD. Les

vertex sont donn´es par le couplage des m´esons lourds-l´egers au pion,_D∗Dπg . La pr´esence

π

D D^* D

FIG. 1.11 – Boucle de pion et vertex o `u apparaˆıt le couplageg_D∗Dπ.

de ces logarithmes chiraux (((logs-chiraux))) est visible dans les trois th´eories consid´er´es pr´ec´edemment (QCD, QQCD et PQQCD) mais la forme de leurs contributions dans les expressions des quantit´es physiques est diff´erente suivant le cas.

Nous allons revenir sur le cas des constantes de d´esint´egrationBfq, o`u q = d, s. Dans

la section IV.1.2.7 nous avons pr´esent´e quelques r´esultats d’une ´etude destatf

Bs `a la limite statique. Nous avons aussi indiqu´e que les constantes de d´esint´egrationBqfjouent un rˆole d´ecisif dans l’´etude des m´elanges<sub>q</sub>–BB<sub>q</sub>. En effet, l’´el´ement de matrice de l’op´erateur responsable de ce m´elange est proportionnel `afBq:

h ¯Bq|(¯bq)V −A(¯bq)V −A|Bqi = ⁸₃m²_Bqf_B²_qBBq, (IV.1.43) o`uBBq est un autre param`etre non-perturbatif qu’il est important d’obtenir sur r´eseau.

Etudions fBq du point de vue de la th´eorie effective chirale des m´esons lourds (cf. section II.2.2). L’expression des corrections au deuxi`eme ordre du d´eveloppement chiral

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peut ˆetre ´ecrite de la fac¸on suivante:

f_Bq = √m^ΦBq



1 + ∆f_Bq

, (IV.1.44)

o`u l’on consid`ere l’ordre dominant en (1/m_B). Le terme Φ correspond `a la valeur de fBq√mBq aux limites statique et chirale. D’autre part ∆fBq d´esigne la correction `a une boucle.

Dans la QCD, les corrections ∆fBq [56, 69, 250] sont donn´ees par les expressions suivantes: ∆fBs = −^{1 + 3 bg} 2 (4πf )2  m²_Kln(m²_K/Λ²_χ) + ¹ 3^m 2 ηln(m²_η/Λ²_χ)  +c1(Λχ) (m²_K+ ¹ 2^m 2 π) + c2(Λχ) (m²_K− ¹₂m²_π), (IV.1.45) et ∆fBd = −^{1 + 3 bg} 2 (4πf )2  3 4^m 2 πln(m²_π/Λ²_χ) + ¹ 2^m 2 Kln(m²_K/Λ²_χ) + ¹ 12^m 2 ηln(m²_η/Λ²_χ)  +c1(Λχ) (m²_K+ ¹ 2^m 2 π) + ¹ 2^{c2(Λχ) m} 2 π, (IV.1.46)

o`ubg est la constante de couplage de la th´eorie effective. Comme on l’a vu pr´ec´edemment,

elle est reli´ee au couplage des m´esonsB et B∗ au pion. On note, conform´ement aux no-tations de la th´eorie,f = fπ, la constante de d´esint´egration du pion (`a la limite chirale). Les ´eqs. (IV.1.45) et (IV.1.46) font aussi intervenir les ((Low-Energy Constants)) (LEC), ci, et les logarithmes chiraux. L’effet de l’´echelle non-physiqueΛχ est globalement absorb´e dans l’expression finale de∆f_Bq: les LEC jouent le rˆole de contre-termes pour ´eliminer ces d´ependances.

La connaissance explicite de la forme des logarithmes chiraux est ce qui permet de guider les extrapolations chirales des donn´ees des r´eseaux. L’inconnue principale est donc la valeur du couplage bg. Nous allons voir que la m´econnaissance de sa valeur entraˆıne

des variations consid´erables sur les r´esultats deBfq `a la limite chirale. On peut esp´erer que les premi`eres d´eterminations sur r´eseau de_B∗Bπg (faites r´ecemment `a Orsay [218]) pourront aider `a contraindre les extrapolations chirales defBq et de bien d’autres quantit´es physiques li´ees aux saveurs lourdes. Notons aussi que la d´etermination pr´ecise des logs-chiraux permettra `a la longue d’extraire les LEC, qui jusqu’`a pr´esent sont mal connues.

Un mot sur ces ((Low-Energy Constants)) : Elles sont des param`etres de la χPT et ne sont donc pas d´etermin´ees par cette th´eorie. Les LEC doivent dont ˆetre obtenues par

des exp´eriences ou par des calculs sur r´eseau. Comme on vient de le voir, la pr´esence des LEC est li´ee `a celle des ((logs-chiraux)) (par la n´ecessit´e d’´eliminer les ´echelles non-physiques). Pour ´etudier les LEC sur r´eseau il faut donc en principe d’abord identifier les

((logs-chiraux)). Or, les donn´ees des r´eseaux, l`a o`u les simulations sont possibles actuelle-ment, n’isolent pas de fac¸on inambig¨ue leurs effets. La d´ependance des quantit´es physiques suit g´en´eralement un comportement lin´eaire en2m

P S(la masse carr´ee du m´eson pseudosca-laire l´eger). D’apr`es les ´eqs. (IV.1.45) et (IV.1.46), ceci correspond par exemple au derniers termes ayant pour coefficients la LECc2(Λχ). On pourrait donc penser `a extraire cette LEC

`a partir de la pente defBq en fonction dem2

P S. Cependant, ces d´eveloppements chiraux ne sont valables que l`a o`u la χPT s’applique et pour extraire c2(Λχ), il faudrait d’abord

at-teindre cette zone de masses tout en soustrayant les effets des ((logs-chiraux)). Une fois que ces effets seront observ´es sur les r´eseaux, non seulement les extrapolations des quantit´es physiques seront mieux contrˆol´ees, mais on disposera aussi des moyens pour d´eterminer les LEC. Les mˆemes LEC r´eapparaissent dans les d´eveloppements chiraux de diff´erentes grandeurs: la connaissance de ces constantes est donc importante pour am´eliorer le pouvoir pr´edictif de laχPT.

Afin de montrer comment les donn´ees des r´eseaux utilisent les expression de laχPT

pour atteindre les masses l´eg`eres des quarks, ´ecrivons d’abord l’´equivalent des ´eqs. (IV.1.45) et (IV.1.46) dans les cas ((quenched)) et ((partiellement quenched)) pr´esent´es pr´ec´edemment.

Dans l’approximation ((quenched)) (Q), avec un quark de valence v, on obtient [249, 250] : ∆f_¯bv^Q = −_{(4πf )}¹ ₂  1 + 3bg2 6 ^m 2 0+ γm²_vv  ln(m²_vv/Λ²_χ) +c^Q₀(Λχ)m²₀+ c^Q₂(Λχ)m²_vv, (IV.1.47)

o`u m²₀ est le terme de ((hairpin)) (pr´esent dans le r´esidu du pˆole double du m´eson η⁰, cf. ´eq. (IV.1.42)). La constanteγ est une combinaison des LEC de la th´eorie ((quenched)). La

masse du pseudoscalaire l´eger contenant des quarks de valencev est not´ee mvv. Les LEC de la th´eorie ((quenched)), c^Qi , sont propres `a cette th´eorie et ne peuvent donc pas ˆetre reli´ees `a celles de la QCD.

A la limite chirale,m²_vv → 0, les termes proportionnels `a m<sup>2</sup>0 divergent `a cause des

((logs)). C’est une particularit´e de la th´eorie ((quenched)). Des tentatives pour mettre en ´evidence ces divergences dans les simulations ont ´et´e entreprises. A l’heure actuelle au-cun r´esultat d´efinitif n’a ´et´e ´etabli. Il faut cependant admettre que ces divergences sont le symptˆome que l’approximation ((quenched)) doit ˆetre utilis´ee avec pr´ecaution lorsqu’on s’int´eresse `a des grandeurs physiques contenant des logs-chiraux.

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Une fac¸on de contourner le probl`eme est de construire des rapports ad hoc ´eliminant les termes logarithmiques. Plusieurs propositions de rapports ont ´et´e avanc´ees, nous verrons par la suite un exemple pr´ecis de ces proc´ed´es pour ´etudier les logs-chiraux.

Dans la pratique, on n’arrive pas `a extrairefBq `a partir de l’´eq. (IV.1.47). La plupart des extrapolations n´egligent les ((logs-chiraux)) et on consid`ere uniquement une d´ependance lin´eaire enm2

vv(dernier terme dans l’´eq. (IV.1.47)). La raison en est que, comme on l’a re-marqu´e pr´ec´edemment, les donn´ees des r´eseaux montrent effectivement un comportement lin´eaire enm2

vv dans les r´egions de masse o`u les simulations sont effectu´ees (mv ∼ ms). A ces valeurs de masses, les effets de logs-chiraux ne sont pas encore visibles. Une des tˆaches importantes `a franchir par les calculs des r´eseaux sera justement celle de caract´eriser l’´echelle `a laquelle les effets chiraux commencent `a ˆetre importants.

Consid´erons maintenant le cas ((partiellement quenched)) (PQ). Dans ce cas on peut ´eviter l’apparition des divergences qui sont pr´esentes dans les logs-chiraux quenched. L’expression de la correction `a fBq avec Nf saveurs de quarks dynamiques d´eg´en´er´es s’´ecrit [250]: ∆f_¯bv^PQ = −^{1 + 3bg} 2 (4πf )2 _N fm2 vf 2 ^ln(m 2 vf/Λ²_χ) + ^m 2 f f − 2m2 vv 2N_f ^ln(m 2 vv/Λ²_χ)  +c₁(Λ_χ)m2 f f + c₂(Λ_χ)m2 vv. (IV.1.48)

Cette expression a la mˆeme structure que celles que l’on obtient dans le cadre de la QCD (cf. ´eq. (IV.1.45) et (IV.1.46)). En effet, il est possible de passer `a la th´eorie compl`ete en prenant un mˆeme nombre de saveurs de quarks de la mer et de valence et en imposant qu’ils aient les mˆemes masses. Ceci permet aussi de constater que les LEC,ci, de la PQ-QCD co¨ıncident avec celles de la PQ-QCD. Dans la pratique, les extrapolations chirales dans le cas ((partiellement quenched)) sont effectu´ees en deux ´etapes, d’abord pour les quarks de la mer (dans l’´eq. (IV.1.48) il n’y a pas de ((logs-chiraux)) d´ependant uniquement de ces quarks-l`a) puis pour les quarks de valence. Il est difficile de quantifier pr´ecis´ement les effets de ces extrapolations, maison consid`ere habituellement que les effets peuvent ˆetre de l’ordre de 5 `a 10%.