− ν
x x
x
x
x
x
x x x
+ µ
+ µ + ν
+ µ − ν
+ ν
− µ + ν
− µ
− µ − ν
FIG. 5.1 – Repr´esentation du terme ((clover )) bFµν(x).
L’expression du terme d’am´elioration a ´et´e propos´ee par Sheikholeslami-Wohlert (SW) [24]. Le coefficient cSW dans l’´eq. (I.5.15) doit ˆetre choisi de fac¸on `a ´eliminer tous les effets d’ordrea dans l’action. Il existe une proc´edure non-perturbative pour d´eterminer la valeur
de cSW pour toute valeur du couplage nu g0 (dans la zone de scaling). Notons que si les fermions sont libres (i.e. g0 = 0), alors cSW = 1. Nous allons voir par la suite que la
sym´etrie chirale entre en jeu dans la d´etermination deSWc .
Pour une simulation ayant comme action l’expression de bSW de l’´eq. (I.5.15), on peut s’assurer que l’approche de la limite du continu rec¸oit uniquement des petites corrections d’ordre a2. Cependant, pour que toutes les quantit´es calcul´ees aient ce comportement, il faut aussi am´eliorer les op´erateurs compos´es de champs de quarks et fixer leurs conditions de renormalisation.
5.3 L’am´elioration et la renormalisation des op´erateurs
De la mˆeme fac¸on que l’on a ´ecrit l’action de la th´eorie effective de Symanzik comme une s´erie en puissances dea (cf. l’´eq. (I.5.8)), on peut aussi d´evelopper les champs sous la
forme:
φeff = φQCD+ aφ1+ a2φ2+ . . . , (I.5.17) o`uφ est une notation g´en´erique pour les champs renormalis´es (ou des combinaisons lin´eaires
sym´etries que ceux du r´eseau.
Consid´erons maintenant le cas des op´erateurs locaux de champs de quarks. Par analogie avec la d´emarche pr´esent´ee pr´ec´edemment, essayons d’´eliminer les effets d’ordre a dans
leur version discr´etis´ee sur r´eseau. Les op´erateurs bilin´eaires du continu consid´er´es sont de la forme:
OΓa(x) = Ψ(x) Γσa
2 Ψ(x) , (I.5.18)
o`uσaest une matrice de Pauli agissant sur les indices d’isospin du champ de quark etΓ est
la matrice de Dirac consid´er´ee:Γ = {1l, γµ, σµν, γµγ5, γ5}. Les op´erateurs de l’´eq. (I.5.18)
correspondent aux champs interpolants que nous avons pr´esent´e dans la section I.4.1. On peut ensuite identifier les op´erateurs de dimensions sup´erieures contribuant auxiφ
dans l’´eq. (I.5.17) puis rajouter aux champs du r´eseau les contre-termes appropri´es afin d’´eliminer les effets deφi.
Les courants conserv´es du continu ont des charges associ´ees qui sont fix´ees par le th´eor`eme de Noether. C’est la raison pour laquelle ces courants ne doivent donc pas ˆetre renormalis´es. Cependant, sur le r´eseau, la brisure de la sym´etrie chirale induite par les fermions de Wilson fait que la conservation des courants n’est pas v´erifi´ee. Les courants doivent dans ce cas ˆetre renormalis´es. De fac¸on g´en´erique ceci peut ˆetre ´ecrit sous la forme:
OΓ(R)(x) = ZΓ(g0) bOΓ(x). (I.5.19) o`u le chapeau rappelle que l’on est sur r´eseau. LesZΓsont les constantes de renormalisation (R) que l’on peut d´eterminer `a partir des relations entre les courants conserv´es du continu (les identit´es de Ward) [25–31].
Le cas du courant axial
Pour illustrer la proc´edure l’am´elioration, prenons le cas particulier du courant axial:
Aaµ(x) = Ψ1(x)γµγ5
σa
2 Ψ2(x) , (I.5.20)
o`u l’on a consid´er´e deux champs de quarksΨ1 etΨ1 ayant des masses diff´erentes,mq1 et
mq2, respectivement.
Pour construire le champs effectif φ1 il faut en principe consid´erer six op´erateurs bi-lin´eaires de dimension quatre v´erifiant les lois de transformation des sym´etries du r´eseau. A cette liste il faut aussi ajouter les op´erateurs brisant l’invariance de jauge. En utilisant les ´equations du mouvement, les sym´etries et le fait que l’on cherche `a am´eliorer unique-ment les quantit´es sur couche de masse on peut r´eduire le nombre d’op´erateurs `a seuleunique-ment
61 deux: Oµ(1) a(x) = (mq1 + mq2) Ψ1(x)γµγ5σa 2 Ψ2(x) , (I.5.21) = (mq1 + mq2) Aaµ(x) , (I.5.22) et Oµ(2) a(x) = ∂µ Ψ1(x)γ5σa 2 Ψ2(x) = ∂µPa(x) , (I.5.23)
L’am´elioration du courant axial du r´eseau passe par l’inclusion d’un contre-terme compos´e d’une combinaison lin´eaire de la formulation ((lattice)) des op´erateursO(1)µ (x) et Oµ(2)(x).
Ecrivons l’expression du courant axial renormalis´e:
A(R)µ (x) = ZA(g0) bAµ(x) , (I.5.24)
o`u, pour commencer, on consid`ere que le membre de droite est compos´e de quantit´es cal-cul´ees sur r´eseau avant la proc´edure d’am´elioration.
Le premier op´erateur (cf. l’´eq. (I.5.22)) fait intervenir la courant axial et peut donc ˆetre vu comme une red´efinition de la constante de renormalisationZA(g0). Ceci peut ˆetre
exprim´e de la mani`ere suivante:
e ZA(g0) = ZA(g0) 1 + bA amq1 + amq2 2 , (I.5.25)
o`ubAest le coefficient du contre-terme venant de l’op´erateurbOµ(1) a(x). Les mqisont d´efinis `a partir de la masse nuem0 comme nous l’avons vu auparavant. Ils est utile de remarquer que le coefficientbA(mais ceci reste vrai pour les coefficientsbgetbmdans les ´eqs. (I.5.13)-(I.5.14) et pour lesbΓlorsqu’on consid`ere d’autres op´erateurs bilin´eaires) ne d´ependent pas de la condition de renormalisation utilis´ee: ce sont les facteursZΓqui fixent les conditions de la renormalisation.
Finalement, la prise en compte du deuxi`eme op´erateur (cf. l’´eq. (I.5.23)) permet d’ob-tenir l’expression du courant axial am´elior´e (et renormalis´e):
e A(R)µ (x) = ZeA(g0) h b Aµ(x) + cAa ∂µP (x)b i , (I.5.26) = ZA(g0) 1 + bA amq1 + amq2 2 h b Aµ(x) + cAa ∂µP (x)b i , (I.5.27)
o`u le coefficientcA ´elimine (`a la limite chirale, mqi = 0) les effets d’ordre a de la
Le cas des autres op´erateurs
La proc´edure que nous avons pr´esent´e dans le cas du courant axial se g´en´eralise aux autres op´erateurs bilin´eaires mais aussi aux op´erateurs `a quatre quarks n´ecessaires, par exemple, pour la d´etermination du param`etrebBK du m´elangeK0− K0.
Dans l’appendice de la fin de ce chapitre sont pr´esent´ees les expressions des diff´erents op´erateurs bilin´eaires utiles aux calculs du spectre et des diff´erents ´el´ements de matrice. Donnons maintenant quelques d´etails sur la fac¸on d’obtenir les coefficients n´ecessaires `a l’am´elioration. Pour cela il est utile de faire appel `a la sym´etrie chirale et en particulier aux identit´es de Ward.