Il existe plusieurs m´ethodes pour extraire les erreurs statistiques des quantit´es d´ependant d’un nombreNconf de configurations. Le but est d’estimer l’erreur en minimisant les corr´e-lations possibles entre les configurations. Le principe de ces m´ethodes consiste `a distribuer les donn´ees en diff´erents paquets. En jouant sur la taille des paquets et la fac¸on dont ils sont construits (la r´egion de l’espace des configurations qu’ils incluent) on peut ´eviter de moyenner sur des configurations corr´el´ees. La m´ethode de Jackknife est un des proc´ed´es utilis´es pour ´evaluer les erreurs sur les corr´elateurs et sur les param`etres des fits que l’on effectue `a partir des donn´ees des simulations.
Supposons que l’on veuille estimer l’erreur statistiqueσφ d’une quantit´e φ. On
com-mence par cr´eer un nombre p de paquets `a partir des Nconf configurations, tous les pa-quets contenant un nombre ´egal de configurations:Np = Nconf/p. On calcule d’abord les
moyennesφide la quantit´eφ paquet par paquet (φi d´esigne la moyenne sur le`emei paquet,
i ∈ [1, p]), puis la moyenne eφj desφi sur tous les paquets sauf lej`eme:
e φj = 1 p − 1 p X i6=j φi. (I.4.33)
On cr´ee donc p mesures diff´erentes de la moyenneeφj. Chaque valeur de j permet de
consid´erer un ´echantillon important de l’ensemble des configurations. Notons par ailleurs que, par construction (et du fait de la lin´earit´e de la moyenne alg´ebrique), la moyenne de
e
φj sur lesp paquets co¨ıncide avec la moyenne hφi de φ sur l’ensemble des Nconf configu-rations: hφi ≡ 1 p p X j=1 e φj. (I.4.34)
Pour un choix ad´equat du nombre de configurations incluses dans chaque paquet (ce nombre doit ˆetre suffisamment grand pour ´eviter les corr´elations entre configurations voisines et suffisamment faible pour avoir un nombre important de paquets) on peut trouver une zone de stabilit´e o`u les incertitudes statistiques restent constantes.
Dans cette r´egion, l’erreur Jackknife est donn´ee par:
σ2φ = p − 1 p p X j=1 e φj− hφi2 , (I.4.35) = (p − 1) hφ2i − hφi2 . (I.4.36) Les m´ethodes d’estimation des erreurs comme celle de Jackknife permettent de constater que les incertitudes statistiques sont en g´en´eral bien contrˆol´ees dans les simulations sur r´eseau.
Chapitre 5
Renormalisation et am´elioration
Nous avons commenc´e cet expos´e en indiquant que la th´eorie du r´eseau est une r´e-gularisation de la QCD. Nous avons ensuite indiqu´e que la proc´edure de renormalisation consistait `a faire tendre la maille du r´eseau vers z´ero pour retrouver la limite du continu. Cette d´emarche permet alors d’extraire des r´esultats physiques `a partir d’une s´erie de simu-lations r´ealis´ees `a diff´erentes valeurs de la maille. Dans le cas des fermions de Wilson, le fait de devoir briser la sym´etrie chirale afin d’´eliminer les ((doublons)), change le compor-tement de la th´eorie et oblige `a une renormalisation suppl´ementaire de certaines quantit´es physiques (par exemple, la constante de couplage, les masses des quarks ou les op´erateurs compos´es de champs de quarks).
De plus, nous avons vu que l’action de la QCD sur r´eseau (cf. ´eqs (I.1.28) et (I.2.10) pour le cas de l’action de Wilson) s’identifie `a celle de la QCD `a des corrections d’ordrean
pr`es. Pour la partie pure jauge de l’action, ces corrections sont d’ordrea2et sont donc assez bien contrˆol´ees pour les mailles de r´eseau utilis´ees actuellement, a ≤ 0.1fm. La partie
fermionique rec¸oit par contre des corrections d’ordre a. Les r´esultats obtenues `a maille
finie peuvent dans ce cas contenir des effets de discr´etisation importants. La proc´edure de r´eduction des effets d’ordrea est ce que l’on appelle habituellement l’am´elioration. Le but
est de rendre l’action et les op´erateurs du r´eseau le plus proches possible de leur valeur `a la limite du continu, i.e. ´egaux `a ceux du continu `a des corrections d’ordrea2. Ainsi les valeurs obtenues `a maille finie seront d´ej`a proches de celles du continu et leur extrapolation vers cette limite suivra une loi dite de scaling. Le terme de scaling est utilis´e dans ce contexte pour caract´eriser la fac¸on dont une quantit´e physique φ d´epend de la maille du r´eseau.
Ecrivons l’expression la plus g´en´erale deφ en fonction de la maille a:
φ(a) = φ(0) + aφ1 + a2φ2 + . . . (I.5.1) 53
Le meilleur comportement de scaling est obtenu en r´eduisant les effets desφi. Noter que le choix desφi est arbitraire du point de vue physique puisque la seule chose importante est que la limite du continu corresponde au monde physique. Dans la pratique on peut chercher cependant `a ´etablir des conditions de simulation permettant d’am´eliorer le scaling, i.e. de r´eduire ou d’´eliminer lesiφ.
Par ce travail d’am´elioration on peut atteindre de fac¸on contrˆol´ee la limite du continu et on am´eliore ainsi la proc´edure de renormalisation. Nous allons voir que l’am´elioration permet aussi de restaurer une partie des effets de la sym´etrie chirale. La mise en œuvre de l’am´elioration ne repr´esente que 20% d’augmentation dans les temps de calcul `a une maille de r´eseau donn´ee. Ceci est n´egligeable par rapport `a ce qu’implique le fait de travailler avec une maille du r´eseau plus faible (le temps de calcul augmente alors en puissances de a).
C’est pour ces raisons que l’am´elioration est devenue une proc´edure courante dans les calculs sur r´eseau.
D´etaillons maintenant un peu plus les ´etapes de son implantation dans les simulations. Pour cela je vais commencer par pr´esenter comment est atteinte la limite du continu `a par-tir des r´esultats `a maille finie. Ensuite, je vais pr´esenter l’am´elioration de l’action de Wil-son, puis celle des op´erateurs bilin´eaires. Comme annonc´e pr´ec´edemment ces op´erateurs n´ecessitent une renormalisation suppl´ementaire. Pour ´etudier cette renormalisation nous ferons appel aux identit´es de Ward chirales, ce qui nous permettra en mˆeme temps de com-prendre comment l’´elimination des effets d’ordre a corrige le comportement chiral de la
th´eorie du r´eseau.
5.1 La limite du continu
Les simulations sur r´eseau sont adimensionn´ees. Les diff´erentes grandeurs calcul´ees lors d’une simulation d´ependent de la maillea, mais celle-ci est a priori sans rapport avec
le monde physique. Cette d´ependance n’est pas explicite puisque les quantit´es sont adimen-sionn´ees. C’est uniquement `a la fin de la simulation que l’on calibre le r´eseau `a l’aide d’une quantit´e physique connue: on identifie cette quantit´e `a celle obtenue sur r´eseau en unit´es de maille. Ainsi, on peut donner une valeur physique `a la maille en utilisant, par exemple, les constantes de d´esint´egrationπfou fK, la masse du m´eson ρ, ou bien, la distance r0
caract´erisant la force entre un quark et un anti-quark statiques [19].
Ensuite, en refaisant une simulation avec d’autres param`etresβ et κ, i.e. la constante de
couplage nue g0 et les masses de quarks m0 respectivement, on peut obtenir une nouvelle valeur de la maille du r´eseau (en la calibrant `a l’aide de la mˆeme grandeur physique que pr´ec´edemment). On peut ainsi obtenir une s´erie de simulations faites de diff´erentes valeurs
55
de la maillea. La limite du continu, i.e. la renormalisation non-perturbative, est alors
at-teinte en faisant tendre a vers z´ero, tout en gardant constante la quantit´e physique ayant
servi `a la calibration. La condition de renormalisation est donn´ee par le choix particulier de la quantit´e physique que l’on conserve fixe. Supposons que cette quantit´e soit une masse
mC. Formellement, l’approche de la limite du continu peut s’´ecrire:
mC −→
a→0
1
amL(g0(a)) , (I.5.2)
o`u les les indices ‘C’ et ‘L’ indiquent respectivement les valeurs du continu et du r´eseau. La
massemLd´epend des param`etres de la simulation. Il est utile de rappeler que la constate de couplage nueg0 d´epend de la maillea et n’est donc pas constante lorsqu’on prend la limite
du continu. Ceci est une cons´equence de la calibration. Du fait de la libert´e asymptotique, le couplage tend vers z´ero `a la limite du continu: c’est un point critique de la QCD.
L’expression de l’´eq. (I.5.2) est en fait valable pour toute grandeurf ayant la dimension
d’une masse (m → f). Elle indique qu’apr`es calibration, les grandeurs du r´eseau (i.e. les fL) s’annulent `a la limitea → 0, ou bien, dit autrement, que les longueurs de corr´elation 1/afC du syst`eme statistique divergent au voisinage du point critique.
Voyons maintenant comment est d´efinie la notion de scaling `a partir de consid´erations du groupe de renormalisation. La condition de calibration fC = cste se traduit dans
l’´eq. (I.5.2) de la fac¸on suivante:
d
dafC = 0 ⇔ fL(g0) − β(g0)dfL(g0) dg0
= 0 , (I.5.3)
o`u la fonctionβ(g0) est telle que:
β(g0(a)) = dg0 d ln(a) = −β0 g3 0 (4π)2 − β1 g5 0 (4π)4 + O(g07) . (I.5.4) Les coefficientsβ0 etβ1 sont d´efinis par:
β0 ≡ 33 − 2Nf
3 , (I.5.5)
β1 ≡ 306 − 38Nf
3 , (I.5.6)
o`uNf est le nombre de saveurs de quarks (pour l’approximation quenched,Nf = 0) et β0
etβ1 sont ind´ependants de la prescription utilis´ee (ils sont dits ((universels))). Les valeurs num´eriques dans les d´efinitions de0βetβ1sont reli´ees au nombre de couleurs, iciNc= 3.
L’expression de la fonctionβ de l’´eq. (I.5.4) s’´ecrit suivant une s´erie en puissances de g0
conditiondfC/da = 0 est rigoureusement satisfaite uniquement lorsque le couplage g0 est faible (i.e. lorsque a → 0) pour que les termes d’ordre sup´erieur puissent effectivement
ˆetre n´eglig´es.
Rappelons que la fonction β d´ecrit la d´ependance de la constante de couplage de la
QCD en fonction de l’´echelle de renormalisation. Nous pouvons voir d’apr`es l’´eq. (I.5.4) que g0 = 0 est un point fixe de la th´eorie et que la fonction β est n´egative. Ceci permet
de caract´eriser la libert´e asymptotique. De plus, la r´esolution de cette fonction g´en`ere dy-namiquement l’´echelle ΛQCD de la th´eorie, mˆeme en l’absence de quarks. Notons aussi que l’´eq. (I.5.4) correspond `a la d´efinition de β dans la th´eorie r´egularis´ee du r´eseau. La
th´eorie de perturbations permet de relier les d´efinitions des fonctionsβ de deux sch´emas
de r´egularisation diff´erents.
En int´egrant l’´eq. (I.5.3) entre deux valeurs quelconques du couplage0g(ai) et g0(af)
on obtient: fL(g0(af)) fL(g0(ai)) = exp Z g0(af) g0(ai) dg0 0 β(g0 0) ! . (I.5.7)
En laissant par exempleai fixe et en faisant varier a = af dans la zone permise par le d´eveloppement de l’´eq. (I.5.4) on retrouve le scaling de f , i.e. la d´ependance de fL en fonction de la maillea lorsque celle-ci est faible. La limite du continu peut ainsi ˆetre atteinte
en ayant comme guide un d´eveloppement perturbatif. L’existence de la limite du continu, issue d’un d´eveloppement perturbatif, a ´et´e d´emontr´ee rigoureusement `a tous les ordres du d´eveloppement [16]. Pour que ce d´eveloppement soit valable il faut cependant que les simulations soient effectu´ees avec des couplages suffisamment petits:β = 6/g2
0 ≥ 5.9, i.e. a . 0.12 fm. Notons que le membre de droite de l’´eq. (I.5.7) est ind´ependant de la quantit´e
physiquef consid´er´ee: c’est un param`etre d’´echelle universel de la r´egion de scaling. C’est
cette propri´et´e qui permet d’assurer que la condition de renormalisation est ind´ependante du choix de la quantit´e utilis´ee pour la fixer.
Comme il devient de plus en plus difficile de faire des simulations `a des mailles tr`es faibles, il est de grande importance de commencer par ´eliminer les effets d’ordre a pour
que les r´esultats `a maille finie soient le plus proches possibles de la limite du continu.