. (I.5.7)
En laissant par exempleai fixe et en faisant varier a = af dans la zone permise par le d´eveloppement de l’´eq. (I.5.4) on retrouve le scaling de f , i.e. la d´ependance de fL en fonction de la maillea lorsque celle-ci est faible. La limite du continu peut ainsi ˆetre atteinte
en ayant comme guide un d´eveloppement perturbatif. L’existence de la limite du continu, issue d’un d´eveloppement perturbatif, a ´et´e d´emontr´ee rigoureusement `a tous les ordres du d´eveloppement [16]. Pour que ce d´eveloppement soit valable il faut cependant que les simulations soient effectu´ees avec des couplages suffisamment petits:β = 6/g2
0 ≥ 5.9, i.e. a . 0.12 fm. Notons que le membre de droite de l’´eq. (I.5.7) est ind´ependant de la quantit´e
physiquef consid´er´ee: c’est un param`etre d’´echelle universel de la r´egion de scaling. C’est
cette propri´et´e qui permet d’assurer que la condition de renormalisation est ind´ependante du choix de la quantit´e utilis´ee pour la fixer.
Comme il devient de plus en plus difficile de faire des simulations `a des mailles tr`es faibles, il est de grande importance de commencer par ´eliminer les effets d’ordre a pour
que les r´esultats `a maille finie soient le plus proches possibles de la limite du continu.
5.2 L’am´elioration de l’action
De mˆeme que Wilson a propos´e un terme ´eliminant les effets des ((doublons)) et dis-paraissant `a la limite du continu, il est possible de consid´erer d’autres termes permettant d’absorber la d´ependance d’ordrea de l’action du r´eseau.
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Pour cela, Symanzik a propos´e de construire une th´eorie effective du continu o`u ap-paraˆıt explicitement une d´ependance dans la maillea [20–22]. L’action effective de cette
th´eorie peut ˆetre ´ecrite de la fac¸on suivante:
Seff = Z
d4x
LQCD(x) + aL1(x) + a2L2(x) + . . .
, (I.5.8)
o`uLQCD est le lagrangien de la QCD (du continu) et les termes Li, i ≥ 1 sont des
com-binaisons lin´eaires d’op´erateurs de dimensions4 + i. Ces termes sont supprim´es par des
puissances dea.
La notion de th´eorie effective doit ˆetre comprise dans ce contexte de la fac¸on suivante: pour tout ´energieµ telle que µ ≤ a−1, l’actionSeff du continu d´ecrit la physique de basse ´energie d’une th´eorie plus compl`ete et se manifestant `a des ´energies plus grandes que le cutoff a−1 (i.e. la QCD, lorsquea → 0). On peut ensuite identifier l’action effective de
l’´eq. (I.5.8) et celle du r´eseau ‘L’, i.e. Seff = SL. Cette identification est effectu´ee de fac¸on `a ce que la th´eorie effective et celle du r´eseau aient les mˆemes ´el´ements de matrice pris sur leurs couches de masse.
Pour obtenir une information sur la QCD du continu (i.e. le terme LQCD), on peut in-corporer dans l’action du r´eseau des contre-termes permettant d’´eliminer les effets d’ordre
ai provenant des Li, i ≥ 1. En incluant tous les contre-termes il serait en principe
pos-sible d’obtenir `a partir d’une simulation `a maille finie (et donc sans devoir prendre la limite
a → 0) des r´esultats sur la th´eorie du continu. Cependant en pratique, il est de plus en
plus difficile d’inclure tous les op´erateurs de dimensions ´elev´ees. On se limite donc ici `a ´eliminer les effets d’ordrea. Cette approximation est cependant l´egitime puisque les effets
d’ordrea2peuvent ˆetre n´eglig´es pour des mailles suffisamment faibles.
Pour construire le contre-terme que l’on doit rajouter `a l’action du r´eseau de fac¸on `a ´eliminer la contribution deL1 dans la th´eorie effective du continu, il faut commencer par comprendre la structure deL1. Cela revient `a consid´erer tous les op´erateurs de dimension cinq d´ependant des champs de jauge et de quarks. Ces op´erateurs doivent ˆetre invariants sous les sym´etries du r´eseau. De plus les ´equations du mouvement permettent de relier certains op´erateurs entre eux. Parmi les cinq op´erateurs de dimension cinq `a consid´erer, il est possible de conserver uniquement trois op´erateurs ind´ependants:
O1 = Ψ iσµνFµνΨ , (I.5.9)
O2 = mqTr(FµνFµν) , (I.5.10)
O3 = m2qΨΨ , (I.5.11)
Le lagrangien effectif L1 est donc une combinaison lin´eaire de ces trois termes. Le contre-terme que nous devons ajouter `a l’action du r´eseau pour ´eliminer le terme1Lsera donc aussi une combinaison lin´eaire de la version discr´etis´ee des op´erateursj,Oj = 1, 2, 3,
que l’on note bOj. De fac¸on g´en´erique, ce contre-terme s’´ecrit:
δSL = a5 X
x
h
c1Ob1(x) + c2Ob2(x) + c3Ob3(x)i . (I.5.12) o`u les coefficientscj peuvent ˆetre d´etermin´es dans le cadre de la th´eorie effective.
Int´eressons-nous maintenant `a l’action de Wilson du r´eseau d´efinie `a partir des ´eqs. (I.1.29) et (I.2.9). On peut remarquer que des op´erateurs de la forme debO2et bO3(cf. les ´eqs. (I.5.10)-(I.5.11)) sont d´ej`a pr´esents dans l’action de Wilson. Ainsi, ces deux op´erateurs peuvent simplement ˆetre pris en compte par une ((red´efinition)) du couplage nu g0 et de la masse nue des quarksm0.
eg02 = g02(1 + bgamq) , (I.5.13)
f
mq = mq(1 + bmamq) , (I.5.14)
o`umq est d´efinit `a partir dem0:mq = m0− mc. Le termemcapparaˆıt du fait de la renor-malisation additive qu’implique la brisure de la sym´etrie chirale dans le cas des fermions de Wilson [23]. Les coefficients bg etbm d´ependent de g0 et doivent ˆetre d´etermin´es (de pr´ef´erence non-perturbativement) de fac¸on `a ´eliminer les effets d’ordreamq.
Du fait de l’absorption de bO2,3, il reste uniquement le terme bO1 `a ajouter `a l’action de Wilson. D’apr`es l’´eq. (I.5.9), ce terme correspond `a donner aux champs de quarks un mo-ment chromomagn´etique anormal d’ordrea. L’expression de l’action de Wilson am´elior´ee
e
SW peut donc ˆetre ´ecrite comme il suit:
e SW = SW + a5 i 4 cSW X x Ψ(x)σµνFbµν(x)Ψ(x), (I.5.15) o`u la version r´eseau du tenseur gluonique s’´ecrit:
b Fµν(x) = 1 8 Uµ(x) Uν(x + ˆµ) Uµ†(x + ˆν) Uν†(x) + Uν(x) U† µ(x + ˆν − ˆµ) U† ν(x − ˆµ) Uµ(x − ˆµ) + Uµ†(x − ˆµ) Uν†(x − ˆν − ˆµ) Uµ(x − ˆν − ˆµ) Uν(x − ν) + U† ν(x − ν) Uµ(x − ν) Uν(x − ˆν + ˆµ) U† µ(x) − h.c. , (I.5.16) La figure 5.1 repr´esente la composition du termebFµν(x) qui est souvent connu sous le