L’´etalement de la source de couleur

Au lieu de consid´erer un champ interpolant J(x) local, la premi`ere approche pour

am´eliorer les signaux, consiste `a ´etalerJ(~x, t_x) sur un certain volume spatial [233]-[236].

En ´etalant la source on augmente le nombre de points que peut atteindre le propagateur du quark mobile et on peut ainsi r´eduire les fluctuations statistiques. Les champs interpo-lants de la th´eorie des champs sont locaux. Il en r´esulte que ce proc´ed´e d’´etalement (ou

((smearing))) n’est valable que si l’on arrive `a ´ecarter suffisamment les instants de cr´eation

ti et d’annihilation tf des champs de quarks, de sorte qu’`a des temps t interm´ediaires, t<sub>i</sub>  t  tf, la source semble redevenir locale. En pratique, les effets de smearing sont factorisables et ils peuvent donc ˆetre ´elimin´es par des rapports ad hoc. Pour construire ces rapports on peut choisir d’´etaler la source uniquement `a l’origine ti et pas au temps d’insertiontf (ou vice versa).

La mani`ere la plus simple d’´etaler la source est d’utiliser une ligne de Wilson spatiale reliant les extr´emit´es des propagateurs. En effet, il est crucial de s’assurer que l’invariance de jauge des corr´elateurs est bien satisfaite, ce qui, comme on l’a vu dans le chapitre d’in-troduction aux r´eseaux, suppose de construire des boucles ferm´ees de champs de quarks ou de gluons. Par exemple, si l’on d´ecide d’´etaler la source statique plac´ee `a l’origine du r´eseau (donc `a ti = 0 fixe), le ((smearing)) est la proc´edure de construction des lignes de

Wilson partant de~x = ~0 et suivant les 6 directions de l’espace. On d´efinit ainsi un ((rayon)) R_max d’´etalement qui correspond au demi-cˆot´e du cube centr´e sur l’origine, `a la surface duquel viennent se brancher les propagateurs des quarks mobiles.

A ce stade on n’a consid´er´e qu’un ´etalement restreint aux axes. Pour ((remplir)) l’int´e-rieur du volume du cube, on peut, de fac¸on it´erative, remplacer chacun des liens de la ligne de Wilson spatiale par les ((staples)) qui leurs sont associ´ees (dans les deux dimensions

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d’espace restantes). La figure 1.3 repr´esente sch´ematiquement une ´etape de ce processus. Formellement ceci revient `a r´ep´eter NF fois la transformation de ((fuzzing)) (brouillage) suivante [232, 233]: Uj(x) → Uj^F(x) = P " C Uj(x) +X i6=j h

U_i^Staple(x, x + ˆj) + U_−i^Staple(x, x + ˆj)i^# ,

(IV.1.28) o`u lesi sont les indices d’espace, C est un param`etre r´eel et P un projecteur dans le groupe SU (3). En effet, SU (3) n’est pas stable sous l’addition et pour garantir que les champs de

jauge restent dans ce groupe la projection est n´ecessaire.UStaple fait r´ef´erence au produit des trois liens imm´ediatement voisins formant une ((agrafe)) autour du lien consid´er´e.

U

_C .

FIG. 1.3 – Sch´ematisation de la proc´edure de ((fuzzing )) (cf. ´eq. (IV.2.71)).

Le param`etre C est l`a pour quantifier l’effet relatif du lien consid´er´e par rapport au

terme des ((staples)). Comme pour chaque lien spatial il y a 4 ((staples)) spatiales on peut prendreC = 4 pour que l’effet de l’introduction des ((staples)) ait un poids ´equivalent `a

ce-lui du lien originel. On peut ainsi ´etaler la source de fac¸on homog`ene. L’effet des ((staples)) est de moyenner chaque lien par l’effet de ses plus proches voisins. Chaque it´eration de ((fuzzing)) revient `a explorer un volume autour du lien et apr`es NF it´erations, le lien consid´er´e inclura l’effet des champs de jauge contenus `a l’int´erieur d’un volume de rayon

R_F ∼ (NF + 1)1/2a. Il faut donc en principe choisir N_F de sorte queR_F co¨ıncide avec le rayonRmax de ((smearing)). En pratique, le crit`ere qui guide le choix des param`etres est plutˆot la qualit´e du signal et on a observ´e qu’un nombre excessif d’it´erations de ((fuzzing)) peut avoir comme cons´equence la disparition du signal. En moyennant les effets de chaque lien avec ceux des voisins, on est aussi en train de changer le cutoff effectif de la th´eorie: la maille effective initiale, i.e. a, devient ∼ RF. A chaque it´eration on est donc en train d’´eliminer de plus en plus les effets de l’ultraviolet. Ce proc´ed´e est par exemple utilis´e pour ´etudier le comportement des champs de jauge dans l’infrarouge l`a o`u des structures

semi-classiques comme les instantons apparaissent. Dans le choix des param`etres il y donc un compromis `a faire entre le fait de moyenner sur les liens pour couvrir le volume de la source et le risque de perdre une partie des fluctuations quantiques des champs de jauge par la diminution du cutoff effectif.

La projection P, ramenant les liens modifi´es dans SU(3), pose quelques probl`emes

quant `a l’invariance de jauge. Nous avons vu qu’une transformation de jauge revient `a multiplier les champsU `a gauche et `a droite par une matrice de rotation de jauge et que

lorsqu’on construit un chemin ferm´e contenant ces liens U , les op´erateurs locaux de la

rotation s’´eliminent deux `a deux. Lorsque, sur le r´eseau, on cherche `a tester l’invariance de jauge, on commence par faire une transformation sur les liens et l’on v´erifie ensuite que leur assemblage produit bien un corr´elateur invariant sous la transformation. Il reste donc `a savoir si la projectionP peut pr´eserver cette propri´et´e d’invariance. La fac¸on habituelle

de projeter consiste `a normaliser le champs modifi´e pour rendre sa matrice unitaire via des op´erations sur les lignes et les colonnes. En l’absence de projectionP, nous avons v´erifi´e

que le lien apr`es ((fuzzing)), U^F, permet de pr´eserver l’invariance de jauge des corr´elateurs. Par contre, les op´erations de la normalisation changent l’ordre des ´el´ements matrice des op´erateurs de la transformation de jauge et finissent par briser l’invariance.

On ne connaˆıt pas `a l’heure actuelle de proc´edure de projection dans SU (3)

per-mettant de conserver l’invariance de jauge. Ceci serait un probl`eme s´erieux si l’on ´etait, par cette proc´edure, en train de d´ecrire des ph´enom`enes physiques. Le ((fuzzing)) et plus g´en´eralement l’´etalement de la source sont des outils techniques aidant `a isoler un signal et doivent `a la fin ˆetre ´elimin´es du r´esultat. L`a aussi nous devons faire un choix : pr´eserver l’invariance de jauge (en laissant de cˆot´e la projection P) ou revenir dans SU(3). Dans

ce cas les calculs num´eriques nous obligent `a choisir la deuxi`eme option. En effet, sans la projection, pourNF > 5 it´erations les valeurs de UF deviennent tr`es grandes et d´epassent la limite sup´erieure d’une machine en simple pr´ecision<sup>1</sup>. De plus, mˆeme en se limitant `a

2 ≤ NF ≤ 4 les fluctuations qu’induisent les grandes valeurs des corr´elateurs empˆechent

d’isoler un signal.

Une id´ee qui permettrait d’´eviter la projection tout en empˆechant que les ´el´ementsF U

croissent arbitrairement serait de normaliser l’´eq. (IV.2.71) par un facteur num´erique glo-bal compensant l’effet de la somme sur les ((staples)). Un mod`ele simple reproduisant ce processus d’it´erations en consid´erant des matricesU dans U (1), nous a cependant indiqu´e

que, l`a aussi, de faibles changements de la valeur du facteur de normalisation pouvaient produire des grandes variations de UF apr`esNF > 5 it´erations. Nous avons donc

finale-ment opt´e par la stabilit´e du signal tout en v´erifiant qu’avant la projectionP les corr´elateurs 1. C’est le cas de la machine APEmille d’Orsay que je pr´esenterai par la suite

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sont bien invariants de Jauge. Evidemment, toutes ces incertitudes devront ˆetre `a la fin in-troduites parmi les incertitudes syst´ematiques de calcul. Une remarque afin d’´eclaircir un malentendu possible : lorsqu’on introduit le terme de ((clover)) afin d’am´eliorer l’action des fermions de Wilson on pr´eserve bien l’invariance de jauge mˆeme en faisant appel `a la pro-jection dans SU(3). La raison en est que la rotation de jauge est faite sur les liens d´ej`a am´elior´es (par les ((staples))) et donc pr´ealablement projet´es. Dans le cas du ((fuzzing)), l’ordre est invers´e, on ex´ecute d’abord la transformation de jauge et c’est sur les liens modifi´es qu’on fait la projection dansSU (3). Notons d’ailleurs que si l’on r´ealise la

trans-formation de jauge apr`es avoir modifi´e et projet´e les champs de jauge l’invariance de jauge est bien v´erifi´ee.

Du fait de l’utilisation fr´equente des proc´edures de ((fuzzing)) (ou d’autres du mˆeme type et portant des noms divers: ((cooling)), ((fattening)), ((blocking)) . . .) il serait impor-tant de r´efl´echir `a un algorithme permetimpor-tant de pr´eserver l’invariance de jauge tout en projetant les liens modifi´es dans SU (3). Les proc´ed´es du type ((fuzzing)) sont utilis´es

pour traiter un certain nombre de probl`emes. Nous avons cit´e l’´etude des instantons : les it´erations de cooling ´eliminent les fluctuations quantiques dans l’UV (en ((lissant)) les ef-fets des champs de jauge) permettant ainsi d’isoler la structure IR d’une configuration de champs de jauge. Nous avons aussi cit´e l’am´elioration de l’action de Wilson via le terme de ((Clover)) (((tr`efle)) du fait de l’image produite par l’association des ((agrafes))) qui per-met d’am´eliorer le comportement chiral des quarks : la modification des liens diminue les fluctuations de la plaquette et r´eduit ainsi la pr´esence de configurations exceptionnelles (les valeurs propres nulles du propagateur de Dirac). D’ailleurs ceci est en rapport avec le cas pr´ec´edent puisque les valeurs propres r´eelles de l’op´erateur de Dirac sont associ´ees `a la pr´esence d’instantons. On peut ´etudier la distribution de ces valeurs propres en pr´esence d’instantons afin d’apprendre `a ´eviter les effets des pˆoles du propagateur de Dirac dans la r´egion des faibles masses de quarks. D’autres utilisations de ces proc´edures incluent l’am´elioration de la sym´etrie de saveur des fermions ((staggered)) (cette sym´etrie est bris´ee en raison du probl`eme du ((d´edoublement)) des fermions) ou l’implantation des propri´et´es chirales pour les fermions ((overlap)) (pr´eservant la sym´etrie chirale `a maille finie). Les li-mites de ces proc´edures ont aussi pu ˆetre ´etudi´ees, par exemple, dans la forme du potentiel statiqueQQ qui aux courtes distances est d´et´erior´e par un nombre excessif d’it´erations de ((fuzzing)) (alors que les longues distances restent inchang´ees). Dans le syst`eme du m´eson

B, des effets analogues peuvent apparaˆıtre du fait de la coexistence de plusieurs ´echelles.

La figure 1.4 (gauche) pr´esente une comparaison des signaux obtenus avec et sans ´etalement de la source. Les indices ((L)) (local) et ((S)) (smeared i.e. ´etal´e) informent sur le type de champs interpolants utilis´es aux tempst0 = 0 et tx = t (cf. ´eq. (IV.2.62)). Par

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t / a 0 0.2 0.4 0.6 0.8