Mod´ elisation des processus
6.2 Pluie, d´ etachement, projection et tassement
6.2.1 Pluie
Le g´en´erateur de notre mod`ele a pour rˆole principal de fournir un volume d’eau au mod`ele cellulaire, selon des conditions d´efinies par l’utilisateur. Nous diff´erencions deux types de conditions. Le premier type correspond `a un transfert d’eau particulier (ajout r´egulier d’eau provenant de certaines cellules sources avec un d´ebit constant, par exemple en haut d’une pente), auquel cas il suffit de pr´eciser le volume d’eau `a apporter par it´eration, et `a quelles cellules. Le second type correspond `a la reproduction d’un ´ev`enement pluvieux, soit naturel,
6.2. Pluie, d´etachement, projection et tassement 105 soit produit par un simulateur de pluie. Ce cas est ´evidemment plus d´elicat `a traiter, puisqu’il s’agit de simuler un processus r´eel en respectant ses caract´eristiques.
Dans le simulateur, nous d´efinissons la pluie comme un ensemble d´enombrable de gouttes d’eau, caract´eris´ees par leur volume et leur vitesse. Dans un intervalle de temps donn´e, les gouttes peuvent ˆetre de tailles vari´ees, et par cons´equent, pour une mˆeme intensit´e et deux intervalles de temps identiques, le nombre des gouttes peut ˆetre diff´erent. Cette repr´esentation discr`ete permet de distinguer explicitement les effets respectifs de l’intensit´e de la pluie et de la taille des gouttes de pluie1. Ces gouttes d’eau impactent le sol `a un temps et `a un endroit pr´ecis, et nous devons d´eduire de cette derni`ere information quelles cellules de la surface re¸coivent de l’eau. Nous utiliserons pour cela la projection sur le sol, selon l’axe vertical, de la forme de la goutte dans l’air. Il nous faut donc trouver le moyen de pr´eciser :
– la distribution spatio-temporelle des gouttes, – la distribution des tailles de goutte,
– la vitesse d’une goutte impactant le sol, – la forme d’une goutte dans l’air.
6.2.1.1 Distribution spatio-temporelle
La solution que nous adoptons poss`ede les caract´eristiques suivantes :
1. caract´erisation d’une pluie par un hy´etogramme2 qui permet de d´ecouper une pluie en diff´erents ´episodes, en nombre illimit´e, d’intensit´e constante et de dur´ee fix´ee ; un
´episode pluvieux pour notre simulateur est donc caract´eris´e par une dur´ee en minutes et une intensit´e en mm h−1;
2. r´epartition spatiale al´eatoire uniforme des gouttes de pluie avec possibilit´e d’imposer au g´en´erateur de pluie une restriction de la zone soumise `a la pluie, par exemple en limitant ses effets `a un disque d’un diam`etre donn´e, au centre du terrain (ce qui nous permet de reproduire des exp´eriences particuli`eres, par exemple comme celles concernant le splash de Legout et coll., 2005, voir la section 6.2.2.3) ;
3. respect d’une distribution des tailles de gouttes, point qui est d´etaill´e dans la section suivante.
Nous n´egligeons l’effet du vent sur une pluie naturelle, car le vent varie trop souvent au cours d’un ´episode pluvieux pour avoir une influence respectant une direction unique, et pour la mˆeme raison nous ne tenons donc pas compte par exemple d’´eventuelles zones abrit´ees par de grosses mottes. Le troisi`eme point pr´ecise la repr´esentation discr`ete des ´ev´enements pluvieux : le g´en´erateur produit des gouttes de pluie dont le nombre et la taille varient au cours du temps
1. Nous avons rencontr´e dans le chapitre 4 plusieurs mod`eles qui tiennent compte de la pr´esence d’une v´eg´etation, dont la couverture a deux cons´equences principales : une r´eduction de la quantit´e d’eau arrivant au sol, et une diminution de l’effet ´erosif des gouttes de pluie (Cerdan, 2001). Bien que notre hypoth`ese de travail soit celle d’un sol nu, notons qu’il serait possible, grˆace `a la gestion discr`ete de l’espace et des gouttes de pluie, de pr´evoir de rendre compte de la pr´esence d’une canop´ee de plantes par exemple par un calcul de diminution de diam`etre de la goutte, par la prise en compte d’une hauteur de chute alternative, ou encore par une alt´eration directe de la vitesse des gouttes de pluie ou de l’´energie cin´etique, sur certaines zones de la surface du terrain sens´ees ˆetre couvertes.
2. Le hy´etogramme est la repr´esentation, sous la forme d’un histogramme, de l’intensit´e de la pluie en fonc-tion du temps. Il repr´esente la d´eriv´ee en un point donn´e, par rapport au temps, de la courbe des pr´ecipitations cumul´ees (voir la figure 7.20).
106 Chapitre 6. Mod´elisation des processus et dans l’espace. C’est un point fort du simulateur qui autorise ainsi la diff´erenciation entre les effets de l’intensit´e de la pluie et ceux de la taille des gouttes.
6.2.1.2 Distribution des tailles de gouttes
La distribution des tailles de gouttes de pluie est, avec l’intensit´e, une propri´et´e im-portante d’un ´episode pluvieux. Notre simulateur peut se trouver dans deux configurations distinctes : soit la distribution des tailles de gouttes est donn´ee (ce qui inclut le cas limite d’une taille unique de goutte), soit il doit reproduire une distribution semblable `a celle d’une pluie naturelle. Le premier cas ne pose pas de probl`eme, il suffit de proc´eder `a un tirage al´eatoire respectant la distribution donn´ee sous forme d’histogramme (voir figure 6.1(a) qui montre une distribution de gouttes obtenue sous le simulateur de pluie de l’unit´e d’agronomie inrade Laon). La suite de cette section est consacr´ee `a l’´etude du second cas, c’est-`a-dire la reproduction d’une pluie naturelle, `a la lumi`ere de travaux ant´erieurs.
0
(a) Comparaison entre la distribution d’un simulateur de pluie de laboratoire et sa reproduction dans le simulateur virtuel (pour 30 mm de pluie cumul´ee).
0
(b) Histogramme des diam`etres des gouttes de pluie fournies par le simulateur en respectant une dis-tribution gamma pour 3 intensit´es de pluie diff´ e-rentes.
Figure 6.1 – Les deux possibilit´es de distribution de gouttes de pluie dans le simulateur : soit une distribution donn´ee (a), soit une distribution gamma reproduisant une pluie naturelle (b).
La distribution des gouttes de pluie, not´eeNV(D), permet de trouver la quantit´eNV(D)δD qui repr´esente le nombre moyen de gouttes d’un diam`etre3 compris entre D etD+δD par unit´e de volume d’air. Si le diam`etre est exprim´e en mm et le volume en m3,NV(D) s’exprime donc en mm−1m−3. Cette notion recouvre deux concepts : la distribution spatiale des gouttes dans l’air (autrement dit leur concentration) et la distribution de probabilit´e des diff´erentes tailles de gouttes. Elle se base ´egalement sur l’hypoth`ese qu’elle est ind´ependante du volume d’air ´etudi´e.
Les donn´ees servant de base aux ´etudes de cette distribution proviennent de divers instru-ments, parmi lesquels le radar Doppler, le spectrom`etre optique, le disdrom`etre optique. Un des mod`eles analytiques les plus utilis´es est la distribution exponentielle n´egative de Marshall
3. Les gouttes n’´etant pas des sph`eres parfaites, le diam`etre consid´er´e est celui d’une sph`ere de mˆeme volume.
6.2. Pluie, d´etachement, projection et tassement 107
(a) Fonctions de densit´e de probabilit´e des gouttes pr´esentes dans l’air, par unit´e de vo-lume et pour diff´erentes intensit´es de pluie.
0
(b) Fonctions de densit´e de probabilit´e des gouttes arrivant au sol, par unit´e de surface et par unit´e de temps, pour diff´erentes inten-sit´es de pluie.
Figure 6.2 –Illustration des deux types de distributions des gouttes de pluie : distribution exponen-tielle pour la distribution des gouttes dans un volume d’air, et distribution gamma pour la distribution des gouttes impactant le sol.
et Palmer (1948) qui leur a permis de retrouver des donn´ees obtenues par des mesures sur papier filtre durant deux ´episodes pluvieux. Elle s’exprime ainsi :
NV(D) =N0 exp(−ΛD) (6.1)
avec N0 = 8000 mm−1m−3 et Λ = 4.1I0.21, I ´etant l’intensit´e de la pluie (mm h−1). De nombreux travaux ont repris cette formulation en l’am´eliorant ou en l’adaptant (se reporter par exemple au travail de Ulbrich, 1983). Plus r´ecemment, Uijlenhoet et Stricker (1999) en ont propos´e une interpr´etation probabiliste et ont ainsi obtenu l’expression d’une fonction de densit´e de probabilit´e de la forme :
fDV(D) = Λ exp(−ΛD) (6.2)
avec une valeur l´eg`erement adapt´ee du coefficient Λ = 4.23I0.214. Cette fonction de densit´e de probabilit´e est reproduite figure 6.2(a) pour trois intensit´es de pluie diff´erentes. Uijlenhoet et Stricker ont ´egalement mis en ´evidence l’existence de deux distributions diff´erentes. La premi`ere que nous venons de d´efinir, permet de trouver le nombre de gouttes d’un certain diam`etre par unit´e de volume d’air. La seconde, not´ee NA(D), permet elle de trouver le nombre de gouttes arrivant au sol par unit´e d’aire et par unit´e detemps. Elle s’exprime donc en mm−1m−2s−1. Alors que NV(D) fait intervenir la concentration et la distribution des tailles,NA(D) ajoute `a ces propri´et´es statiques une propri´et´e dynamique, la vitesse terminale des gouttesVt(D) (m s−1) qui permet d’´ecrire la relation :
NA(D) =Vt(D)NV(D) (6.3)
Il est `a noter que les chercheurs en m´et´eorologie et en t´el´ecommunications, plus concern´es par les ph´enom`enes atmosph´eriques, pr´ef`erent utiliserNV(D) alors que les hydrologues, ´etudiant les flux pluvieux sur le sol, sont plus int´eress´es par NA(D). Cette derni`ere distribution est
´egalement celle qui est le plus souvent mesur´ee et c’est celle qui nous permettra de reproduire une pluie naturelle sur notre terrain virtuel. Elle est obtenue par Uijlenhoet et Stricker en exprimant la vitesse terminale des gouttes sous la forme suivante, classiquement rencontr´ee
108 Chapitre 6. Mod´elisation des processus dans la litt´erature depuis plusieurs d´ecennies (voir par exemple Sekhon et Srivastava 1971, Atlas et Ulbrich 1977), avec des valeurs diff´erentes pour les coefficients α etβ :
Vt(D) =αDβ (6.4)
En utilisant cette expression de la vitesse dans l’´equation (6.3), Uijlenhoet et Stricker par-viennent `a exprimer la fonction de densit´e de probabilit´e des tailles de gouttes arrivant au sol :
fDA(D) = Λ(1+β)
Γ(1 +β)Dβexp(−ΛD) (6.5)
avec β = 0.67, et Γ la fonction gamma (Γ(1 +β) = 0.9033). Cette fonction fDA, reproduite figure 6.2(b) pour trois intensit´es de pluie diff´erentes, est la fonction de densit´e de probabilit´e d’une distribution gamma de param`etres (1 + β) et 1/Λ et c’est donc elle qui d´efinit la distribution des tailles de gouttes de pluie dans notre simulateur (figure 6.1(b)), en l’absence d’une distribution donn´ee.
6.2.1.3 Vitesse d’une goutte
a) Vitesse terminale
Chow et coll. (1988) proposent la formule analytique suivante pour calculer la vitesse terminale en fonction du diam`etre D, d’un coefficient de friction C d´ependant de D, des densit´es de l’eau ρw et de l’air ρa :
Vt(D) =h 4g D 3C(D)
ρw ρa −1
i12
(6.6)
De nombreuses observations de pluies naturelles ont ´egalement amen´e `a exprimer la vi-tesse terminale en fonction du diam`etre `a l’aide de diff´erentes formules empiriques qui peuvent se ramener `a deux groupes, les formules du type «puissance» et les formules du type« ex-ponentielle»:
Vt(D) = 14.20 (D/2)0.5 (Sekhon et Srivastava, 1971) Vt(D) = 17.67 (D/2)0.67 (Atlas et Ulbrich, 1977) Vt(D) = 10.30−9.65 exp(−0.6D) (Best, 1950)
Vt(D) = 4.854Dexp(−0.195D) (Uplinger, 1981)
Dans ces formules, dont les courbes respectives sont repr´esent´ees figure 6.3, le diam`etre D en mm donne une vitesse en m s−1. Notre simulateur offre le choix entre ces formules et la possibilit´e d’imposer une autre formule de calcul de la vitesse terminale. Cependant, un probl`eme se pose : les exp´erimentations sont le plus souvent men´ees sous un simulateur de pluie, d’une hauteur obligatoirement limit´ee, et donc possiblement insuffisante pour que des gouttes d’un certain diam`etre atteignent leur vitesse terminale. Il faudrait donc trouver un moyen d’estimer les vitesses interm´ediaires des gouttes au cours de leur chute.
6.2. Pluie, d´etachement, projection et tassement 109
Figure 6.3 – Vitesses terminales de gouttes de pluie en fonction de leur diam`etre, selon diff´erents auteurs.
b) Vitesses pour une hauteur de chute donn´ee
Van Boxel (1998) propose un mod`ele num´erique permettant de calculer la vitesse d’une goutte de pluie en fonction de son diam`etre et de la distance verticale parcourue, connaissant sa vitesse initiale. Ce mod`ele repose sur le calcul des forces appliqu´ees `a la goutte, d’un volume
´equivalent `a celui d’une sph`ere de diam`etreD. Ces forces sont d’une part la force de gravit´e Fg (formule 6.7) et d’autre part la force de frictionFf dont la formule originale est modifi´ee par l’ajout de deux termesCtetCdtraduisant respectivement l’effet de la turbulence et l’effet de la d´eformation de la goutte :
Fg =g ρwπ D3
6 (6.7)
Ff = 3π D µaV CtCd (6.8)
avecµa la viscosit´e dynamique de l’air (µa= 18.10×10−6Pa s `a 20°C). En effet, les gouttes d’un diam`etre sup´erieur `a 0.1 mm, tombant plus vite, provoquent des turbulences dont il faut tenir compte. Le r´egime d’un flux turbulent est caract´eris´e par le nombre de Reynolds (adimensionnel) :
Re= ρaV D
µa (6.9)
o`u ρa est la masse volumique de l’air. La turbulence augmente la friction d’un facteur Ct
donn´e par l’´equation :
Ct= 1 + 0.16Re2/3 (6.10)
D’autre part, les gouttes d’un diam`etre sup´erieur `a 1 mm, soumises `a des pressions plus importantes que leur tension superficielle, vont se d´eformer et s’aplatir, ce qui au final donne une vitesse terminale inf´erieure `a celle qu’aurait une sph`ere de mˆeme volume. Le rapport entre la tension superficielle (σ= 0.073 N m−1 `a 20°C) et la pression a´erodynamique s’exprime par le nombre de Weber (adimensionnel) :
W e= ρaV2D
σ (6.11)
110 Chapitre 6. Mod´elisation des processus Le second coefficient de correctionCd de la force de frictionFf s’´ecrit alors sous la forme :
Cd= 1 +a(W e+b)c−a bc (6.12)
Van Boxel a ajust´e son mod`ele `a des mesures de vitesse de gouttes de la litt´erature, et en a tir´e les valeurs a= 0.013, b= 2.28, c= 2.12.
D’apr`es la relation fondamentale de la dynamique, en consid´erant que la masse de la goutte m est constante, il est possible d’exprimer l’acc´el´eration de la goutte `a l’aide des forces qui lui sont appliqu´ees : Cette expression autorise une int´egration it´erative, en partant d’une vitesse initiale nulle, avec un pas suffisamment petit (0.001 s). La vitesse est calcul´ee et estim´ee constante sur ce pas de temps, ce qui permet la mise `a jour de la distance parcourue, et le calcul est r´eit´er´e jusqu’`a une stabilisation de la vitesse qui tend asymptotiquement vers la vitesse terminale.
Ce calcul a ´et´e int´egr´e au simulateur, et il suffit `a l’utilisateur d’indiquer une hauteur de chute (autrement dit la hauteur du simulateur de pluie) pour que la vitesse des gouttes
`a l’impact corresponde `a cette hauteur. Nous donnons dans la figure figure 6.4 l’´evolution de la vitesse d’une goutte donn´ee en fonction de la distance parcourue, pour dix diam`etres diff´erents. Une hauteur suffisante permet ´egalement de retrouver la vitesse terminale pour tous les diam`etres de gouttes, sans avoir besoin d’utiliser une autre formule (voir la derni`ere courbe de la figure 6.3, qui est quasiment confondue avec celle obtenue par la formule de Chow et coll. 1988).
Figure 6.4 – ´Evolution de la vitesse des gouttes de diff´erents diam`etres, en fonction de la distance parcourue, d’apr`es Van Boxel (1998). Cette figure permet de constater que pour la hauteur de 4.60 m, qui est celle du simulateur de pluie de Laon, la vitesse terminale n’est atteinte que pour les gouttes d’un diam`etre inf´erieur `a 1.5 mm.
c) Amortissement par une lame d’eau
L’´energie cin´etiqueKede la goutte de pluie est une quantit´e qui sera utilis´ee pour d´eter-miner la masse de sol d´etach´ee `a l’impact (voir section 6.2.2.1) et pour ´evaluer le tassement du sol (voir section 6.2.3). L’observation montre que le d´etachement par une goutte de pluie d´ecroˆıt quand l’´epaisseur de la lame d’eau augmente : il y a un ph´enom`ene d’amortissement de
6.2. Pluie, d´etachement, projection et tassement 111 l’´energie cin´etique par la lame d’eau. Dans certains mod`eles d’´erosion (par exempleeurosem et lisem, voir section 4.4.2.1), cet amortissement est d´ecrit par une fonction exponentielle donnant un coefficient Fh d´ependant uniquement de la hauteur d’eau Hw dans laquelle la goutte arrive. Ainsi nous trouvons dans le mod`ele eurosem (Morgan et coll., 1998) cette expression :
Fh = exp (−b Hw) avec 0.9< b <3.1 (6.14)
La hauteur d’eau n’est cependant pas le seul facteur `a prendre en compte. Hartley et Julien (1992) citent des travaux montrant notamment qu’`a partir d’une ´epaisseur de lame d’eau ´egale `a trois fois le diam`etre de la goutte, l’effet de l’impact de cette goutte devient n´egligeable, ce qui montre que le diam`etre de la goutte joue ´egalement un rˆole qu’il reste
`a quantifier. Hartley et Julien ont d´evelopp´e un mod`ele de simulation capable d’estimer la contrainte de l’impact d’une goutte de pluie sur le sol en pr´esence (ou pas) d’une lame d’eau.
Les r´esultats fournis par ce mod`ele ont ´et´e valid´es `a partir de mesures de contraintes de cisaillement en laboratoire. Se basant sur l’analyse de ces r´esultats, Hartley et Julien ont
´etabli une ´equation empirique simple permettant de calculer le facteur d’att´enuation de la contrainteFh li´e `a l’´epaisseur de la lame d’eauHw et au diam`etre des gouttes D:
Fh =
Figure 6.5 –Comparaison entre les coefficients calcul´es `a l’aide de la formule du mod`ele eurosem, avec les deux valeurs extrˆemes de param`etre, et la formule de Hartley et Julien (1992), `a partir de diam`etres et de hauteurs d’eau tir´es al´eatoirement.
La figure 6.5 montre de fa¸con assez remarquable que les deux ´equations (6.14) et (6.15), bien qu’obtenues de mani`ere tr`es diff´erente, donnent au final des solutions tr`es comparables.
6.2.1.4 Forme d’une goutte
Le g´en´erateur de pluie est responsable du respect d’une distribution impos´ee ou naturelle des tailles de gouttes de pluie, de leur r´epartition temporelle respectant un hy´etogramme, et enfin de leur r´epartition spatiale. Ce dernier point consiste en un tirage al´eatoire uniforme
112 Chapitre 6. Mod´elisation des processus d’une position sur le terrain virtuel : la probabilit´e d’impact d’une goutte de pluie est identique en tout point du terrain, nous ne tenons pas compte de l’influence du vent ni de zones abrit´ees. N´eanmoins, afin de permettre la reproduction d’exp´erimentations de laboratoire, il est possible de restreindre la zone de pluie `a un rectangle ou un disque de taille param´etrable.
Une fois le point d’impact de la goutte d´etermin´e, il reste `a discr´etiser la zone correspondante, afin de d´eterminer `a quelles cellules de surface ajouter l’eau et l’´energie cin´etique apport´ees par la goutte.
(a) Vue de profil. (b) Vue de dessus.
Figure 6.6 – Pour d´ecider de la zone touch´ee par la goutte de pluie, nous projetons la forme de la goutte sur le terrain.
L’´etalement d’une goutte de liquide `a l’impact d’une surface a fait l’objet de nombreux travaux en physique, mais ils concernent g´en´eralement des surfaces planes et hydrophobes.
Comme le simulateur doit g´erer des impacts sur des zones de types tr`es diff´erents (poreuses, s`eches ou humides, voire mˆeme flaqu´ees, avec possibilit´e de pr´esence de pentes), nous avons fait le choix de prendre comme zone d’impact la projection verticale de la forme de la goutte dans l’atmosph`ere (figure 6.6), l’´etalement proprement dit de l’eau ´etant r´esolu dans un second temps par l’algorithme de ruissellement.
La persistance r´etinienne est principalement responsable de la repr´esentation sous forme d’une larme des gouttes de pluie, g´en´eralement admise comme repr´esentative de la r´ealit´e (notamment dans les films d’animation). En fait la forme de la goutte est d´etermin´ee princi-palement par la pression a´erodynamique, qui tend `a ´etirer la goutte horizontalement, et par la tension superficielle, qui tend `a minimiser la surface de contact entre eau et air. Pour les diam`etres inf´erieurs `a 1 mm environ, cette tension donne une forme sph´erique `a la goutte.
L’augmentation de la taille provoque l’augmentation de la vitesse et donc un accroissement
L’augmentation de la taille provoque l’augmentation de la vitesse et donc un accroissement