DEVS et les mod` eles cellulaires - Automates cellulaires

Automates cellulaires

3.3 DEVS et les mod` eles cellulaires

en utilisant héritage et polymorphisme. Parmi bien d’autres, il existe des implémentations devs basées sur C++ : adevs (A Discrete EVent System simulator, J. Nutaro, université d’Arizona), devs-C++ (Hyup. J. Cho et Young K. Cho, acims, université d’Arizona), ainsi que sur Java :devsjava (H. Sarjoughian et B. Zeigler,acims, université d’Arizona), jdevs (J. B. Filippi, université de Corse). Comme nous n’utiliserons devs que comme outil de modélisation et non de simulation, nous n’entrerons pas plus dans le détail des simulateurs abstraitsdevs.

3.3 DEVS et les mod` eles cellulaires

Comme nous l’avons vu au chapitre précédent consacré aux automates cellulaires, les modèles cellulaires sont une solution intéressante lorsque l’espace doit être pris en compte de manière discrète dans le modèle. Il était donc inévitable, puisque c’est un formalisme à vocation universelle, que parmi les nombreuses extensions dedevs, certaines soient dédiées aux modèles cellulaires, la plus aboutie d’entre elles étant certainement Cell-devs.

3.3.1 Cell-DEVS

L’approche na¨ıve de la formalisation devs d’un automate cellulaire est de considérer chaque cellule comme un modèle atomique devs, de coupler ce modèle avec les cellules de son voisinage et avec l’espace cellulaire global (figure 3.7). Chaque cellule possède donc ses propres fonctions de transition. Le synchronisme des transitions peut être simplement assurée en ayant une fonction d’avance du temps identique pour toutes les cellules (la formalisation rigoureuse d’une transposition d’un automate cellulaire enp-devsest donnée par Vangheluwe, 2000, p. 87–88). Néanmoins, cette transposition ne tire pas avantage des possibilités de la gestion par évènements : toutes les cellules calculent un changement d’état même lorsque ce n’est pas nécessaire, le choix d’un pas de temps unique est crucial (et en général souffre de la nécessité d’équilibre entre précision et temps de calcul). Pour éviter ces inconvénients, Wainer et Giambiasi (2001b) ont proposé l’extension Cell-devs.

Le modèle Cell-devs correspond à celui de la figure 3.7, c’est-à-dire un espace cellulaire considéré comme un modèle couplé de cellules considérées comme des modèles atomiques.

Cependant les cellules sont des modèles atomiques non standards, puisque leur dynamique est temporisée (d’où l’appellation complète originale deTimed Cell-devs) : l’état d’une cel-lule est modifié en fonction de l’état de son voisinage mais il ne sera connu des celcel-lules voisines qu’après un certain délai. Le modèle atomique Cell-devsd’une cellule est défini par la structure suivante :

C =hX, Y, I, S, N,delay, d, δ_int, δ_ext, τ, λ, tai o`u :

X, Y, S, δ_int, δ_ext, λ et ta ont la mˆeme signification que pour le mod`ele atomique standard avec ports,

delay définit le type de délai utilisé par la cellule,

52 Chapitre 3. DEVS

Figure 3.7 – Un espace cellulaire 2D avec devs : chaque cellule est considérée comme un modèle atomique couplé avec ses voisines et avec l’espace cellulaire global.

dest la dur´ee de ce d´elai, I est l’interface de la cellule,

N est l’ensemble des ´etats des cellules voisines, τ est une fonction locale de calcul.

L’interface I de la cellule définit le voisinage de la cellule ainsi que les connexions en terme de ports d’entrée et de sortie entre la cellule et ses voisines. La fonction de calcul τ permet de déterminer le nouvel état de la cellule en fonction de l’état du voisinage transmis par I et conservé dans N. L’état de la cellule n’est effective pour ses cellules voisines qu’au bout du délai d’attented. Autrement dit un délai est respecté entre l’arrivée d’un évènement externe qui provoque un changement d’état et l’activation de la fonction de transition interne qui appelle la fonction de sortie chargée de transmettre ce nouvel état. Ce délai peut être de deux types (les deux valeurs possibles de delay) : soit c’est un délai de transport (le délai représente alors tout le temps de propagation du signal dans la cellule, et tous les

évènements sont transmis), soit c’est un délai inertiel (la sémantique est alors préemptive, tous les évènements ne sont pas obligatoirement transmis).

Une fois les cellules définies, il faut pouvoir les connecter et les inclure dans l’espace cellulaire. C’est le rôle du modèle couplé cellulaire qui se définit par la structure :

M CC =hX, Y, X_list, Y_list, I, n,{t₁. . . t_n}, N, C, B, Zi o`u :

XetY ont la même signification que pour le modèle couplédevs: ce sont les évènements externes d’entrée et de sortie avec ports,

X_list, Y_listsont les listes de cellules disponibles pour une connexion avec un autre mod`ele, respectivement en entr´ee ou en sortie,

3.3. DEVS et les modèles cellulaires 53 I est l’interface du modèle cellulaire avec l’extérieur,

n∈Nd´efinit la dimension de l’espace,

∀i∈[1 :n]t_i∈Ndonne la taille de l’espace pour chaque dimension i, N d´efinit la forme du voisinage des cellules,

C repr´esente les cellules contenues dans l’espace cellulaire,

B ⊆C représente les cellules des bords, qui peut être l’ensemble vide (cas du tore en 2D), Z est la fonction de traduction sortie-entrée entre ports de sortie et ports d’entrée.

Un modèle couplé Cell-devs est compatible avec un modèle couplédevs, ce qui permet de réaliser des modèles intégrant un automate cellulaire spécifié dans le formalisme Cell-devs et d’autres modèles compatiblesdevs(Wainer et Giambiasi, 2001a). Comme pour les autres extensions devs, Wainer et Giambiasi fournissent les simulateurs abstraits de leur modèle Cell-devs. De plus, Wainer (2002) a développé cd++ un ensemble de bibliothèques qui permet la définition de modèlesdevset Cell-devsen utilisant un langage de spécification de haut niveau.

3.3.2 Espaces cellulaires non modulaires

Le formalisme Cell-devs présente deux inconvénients. Le premier est une modélisation qui peut être considérée comme plus complexe que celle d’un automate cellulaire classique, et qui n’est pas toujours aisée à mener à bien, notamment en ce qui concerne la question du choix du type de délai, et de la valeur de ce délai. Le deuxième inconvénient, inhérent au type de communication par port du modèle devs original, est le nombre de messages transmis lors d’une simulation. Pour une grille 2D carrée de dimension N, en supposant que chaque cellule envoieV messages à ses 4 voisines (voisinage de Von Neumann) durant une itération, on obtient dans le pire des cas 4N²V −4N V −4V messages par itération, soit pour une grille de 200×200 et un seul message par cellule (V = 1), presque 160 000 messages par itération.

Si l’on se place dans un espace cellulaire 3D, le nombre de messages devient vite un handicap insurmontable en termes de temps d’exécution, sauf si l’on peut garantir que peu de cellules aient à communiquer une information à chaque itération.

Pour pallier cet inconvénient, différentes solutions ont été proposées : Wainer et Giam-biasi (2001a) mettent à plat la hiérarchie des coordinateurs du simulateur, Muzy et Nutaro (2005) éliminent les coordinateurs superflus et ne prennent en compte dans les algorithmes d’ordonnancement que les cellules actives, approche déjà envisagée par Hu et Zeigler (2004).

Néanmoins, ces solutions restent au niveau de l’implémentation et continuent de traiter les cellules comme autant de modèles atomiques. Dans sa thèse, Shiginah (2006) adopte une démarche plus radicale qui lui permet de tirer avantage de ces améliorations en appliquant des méthodes comparables, mais cette fois au niveau de la modélisation.

L’id´ee principale de Shiginah est de diviser l’espace cellulaire en un nombre r´eduit de

54 Chapitre 3. DEVS

(a) Le modèle cellulaire ori-ginal : N² cellules ´ equi-valentes à autant de mo-dèles atomiques.

(b) Partage en 4 sous-espaces dans lesquels les cellules sont regroup´ees en un ta-bleau bidimensionnel.

Figure 3.8 – Principe du passage d’un espace cellulaire àN² modèles atomiques à sa représentation non-modulaire à 4 modèles atomiques seulement (Shiginah, 2006).

sous-espaces (nombre pouvant être égal à 1) qu’il rend équivalents à des modèles atomiques p-devs (figure 3.8), en utilisant la propriété de fermeture par couplage des modèlesp-devs, qui garantit qu’un modèle couplé est aussi un modèle atomique. Ainsi, il peut éliminer les communications inter-cellules en les traitant de manière globale dans chaque sous-espace : les ports sont supprimés et les cellules ont un accès direct aux variables d’état des autres cellules. Il crée de cette fa¸con un modèle atomique qu’il nomme CellSpace et qu’il formalise de la fa¸con suivante¹ :

CellSpace =hX, Y, S, n,{t₁. . . t_n}, C, B,{Cell_id}, δ_int, δ_ext, δ_con, λ,Eventsi o`u :

X, Y, S, δ_int, δ_ext, δ_con, λont la même signification que pour un modèle atomique p-devs, n∈Ndéfinit la dimension de l’espace,

∀i∈[1 :n]ti∈Ndonne la taille de l’espace pour chaque dimensioni, C repr´esente les cellules contenues dans l’espace cellulaire,

B⊆C repr´esente les cellules des bords,

∀ id ∈ C, Cell_id = hN, S^∗i, N ´etant le voisinage de id et S^∗ le tableau des variables d’´etats des cellules de ce voisinage,

Events ={(time, id)|time∈R⁺, id∈C}est la liste des évènements à venir (next events list) qui remplace en quelque sorte la fonction d’avance du tempstadu modèle classique, avec la convention suivante :

ta(s) = min(time)_(time,id)_∈_Events

1. Dans un souci de clarté, pour les concepts communs au modèle couplé Cell-devs, nous conservons les notations utilisées par Wainer et Giambiasi plutôt que celles proposées par Shiginah.

3.3. DEVS et les modèles cellulaires 55 Cette liste d’évènements est la partie la plus complexe de ce modèle, puisqu’elle doit permettre de remplacer la fonction d’avance du temps globale du modèle atomique ainsi que toutes les fonctions d’avance du tempslocales aux cellules, en y ajoutant de plus, le principe de scanner l’activité des cellules afin de ne traiter que les cellules actives ou susceptibles de le devenir.

Shiginah démontre de fa¸con formelle que le modèle atomique ainsi obtenu est bien équi-valent au modèle atomique p-devs, la seule différence étant que CellSpace comporte plus de détails et de paramètres, mais qui pourraient être inclus dans le comportement interne de tout modèle p-devs. Lorsque l’espace cellulaire a été divisé en quelques sous-espaces, Shiginah en obtient ainsi une représentation non-modulaire, équivalent à un modèle couplé p-devs, ce qui, outre le gain de temps de traitement, offre également l’avantage de simplifier dans certains cas la modélisation et donc de répondre ainsi à l’inconvénient de la complexité qu’implique parfois l’emploi du formalisme Cell-devs. Comme illustration de son modèle, Shiginah propose une modélisation deLife (voir section 2.2.3.2, page 33).

3.3.3 Relation avec les automates cellulaires ´etendus

Les résultats de Shiginah permettent de considérer un automate cellulaire, même en faisant l’économie d’une décomposition complète en modèles atomiques, comme un modèlep-devs, pour peu que soient respectées les sémantiques de communication avec l’environnement et de dynamique d’évolution. Si nous considérons un automate cellulaire étendu (voir section 2.3, page 37) :

ACE = (C, E, Q, V, f, g, P ) avec P ={∆t,∆x, . . .}

nous allons constater qu’il peut être décrit avec un modèleCellSpace défini dans la section précédente :

CellSpace =hX, Y, S, n,{t₁. . . t_n}, C, B,{Cell_id}, δ_int, δ_ext, δ_con, λ,Eventsi

En effet, en ce qui concerne la structure du modèle, la description de l’espace cellulaire n-dimensionnel est inclus dans les deux définitions (C d’une part, C, B, n,{t₁. . . t_n} d’autre part), et dans les deux cas nous avons un ensemble d’états du système (QetS). L’information de voisinageV est contenue dans l’ensemble {Cell_id}.

Le système change d’état soit selon l’avancée du temps (∆t ∈ P et ta défini grâce à Events) en respectant une fonction de transition interne (f etδ_int), soit selon l’arrivée d’évè-nements discrets (correspondant aux influences extérieures de l’automate cellulaire étendu) en respectant une fonction de transition externe (g et δext). L’apport important de devs se situe justement dans la formalisation de cette fonction de transition externe, qui, comme nous l’avons vu au chapitre précédent, n’était pas assez rigoureuse dans le cas de l’automate cellulaire étendu. Nous disposons maintenant d’un modèle qui peut explicitement gérer des influences externes au système en tant qu’évènements discrets, non soumis à une mise à jour selon un pas de temps constant. Ces influences externes se traduisent également de fa¸con précise en termes de ports d’entrée ou de sortie dans les ensembles X et Y, qui peuvent permettre par exemple de spécifier quelles sont les cellules concernées (ce qui correspond aux régionsE_i de l’automate cellulaire étendu). De plus, les collusions entre une transition interne

56 Chapitre 3. DEVS et une transition externe sont explicitement gérées par la fonction de conflit δcon. Enfin, la fonction de sortie λ permet de donner une information supplémentaire sur ce que l’espace cellulaire transmet à son environnement. Le comportement de l’automate cellulaire étendu se trouve donc entièrement (et mieux) décrit par le modèleCellSpace. Les seules caractéristiques non prises en compte explicitement correspondent aux paramètres globaux contenus dansP, notamment le pas spatial. Comme il s’agit de simples attributs n’affectant pas la dynamique du modèle, ces caractéristiques peuvent être ajoutées à la définition deCellSpacesans perdre la conformité avec le formalisme p-devs.

3.4 Conclusion

Le formalisme devsdécrit dans ce chapitre offre de nombreux avantages. C’est un outil de modélisation mais il permet également l’implémentation, en offrant une sémantique opé-rationnelle par le biais des simulateurs abstraits. L’utilisation d’un des nombreux logiciels ou bibliothèques dédiés à ce formalisme peut permettre de réduire le temps de développement d’un modèle, ainsi que sa vérification. La structure et la dynamique d’un modèle peuvent être décrits rigoureusement, en mettant à profit une vision modulaire et hiérarchique du système, grâce à la propriété de fermeture par couplage. Il est théoriquement possible de coupler des modèlesdevsexistants et donc de définir ainsi des modèles de plus haut niveau d’une grande complexité en réutilisant des travaux antérieurs, d’où un gain de temps. Une grande qualité dedevsest sa capacité à intégrer des formalismes et des paradigmes de nature différente, soit parmapping (traduction complète de l’existant versdevs), soit parwrapping (encapsulation de l’existant dans des fonctions permettant de faire la transition avec devs).

La modélisation des espaces cellulaires est également incluse dansdevs, notamment grâce

`a Cell-devsqui ajoute au paradigme des automates cellulaires la notion de temps de transfert.

La communication par ports de devs a cependant l’inconvénient de multiplier les messages inter-cellules, ce qui peut augmenter considérablement les temps de calculs lors d’une simula-tion. Parmi les solutions proposées pour pallier cet inconvénient, le modèleCellSpace permet de considérer un espace cellulaire de fa¸con non-modulaire, ce qui élimine les communications inter-cellules et donc entraˆıne une économie en temps d’exécution, ainsi que dans certains cas une modélisation moins complexe. Le modèle atomiqueCellSpace est équivalent à un modèle atomique p-devs, et nous avons montré dans ce chapitre que ce modèle est parfaitement adapté pour la spécification rigoureuse d’un automate cellulaire étendu, ce qui établit par conséquent l’équivalence entre un automate cellulaire étendu et un modèle atomiquep-devs.

Il devient donc possible de construire un modèle couplép-devscomprenant un automate cel-lulaire étendu, et nous exploiterons cette opportunité dans la définition de nos deux modèles d’évolution du sol qui seront décrits dans les deux parties suivantes de ce mémoire : le modèle de dégradation de la surface du sol sous l’action de la pluie, et le modèle de fissuration du sol par dessiccation.

Dans le document Simulation dynamique spatialisée de l’évolution de la structure de surface des sols cultivés sous l’action de la pluie THÈSE (Page 75-81)