Exploration et tests par processus

(a) 0 min (b) 20 min (c) 40 min (d) 60 min

Figure 7.15 – ´Evolution d’un terrain avec le mod`ele bi-r´esolution pendant une simulation d’une heure sous une pluie de 30 mm h⁻¹.

grille et la micro-grille, n´ecessaire pour l’infiltration et le ruissellement (voir tableau 7.2), n’a jamais pu ˆetre assur´ee d’une mani`ere satisfaisante, sauf dans certains cas simples o`u le flux est parvenu `a l’´equilibre en formant des flaques (voir par exemple l’image reproduite figure 7.5(c)). Dans de nombreux cas, des aberrations apparaissent (de l’eau sur des micro-cellules qui appartiennent `a une macro-cellule sans eau de surface) qui n’ont pu ˆetre totalement supprim´ees, dans la mesure o`u la m´ethode choisie devait ´egalement ˆetre suffisamment rapide pour ˆetre appliqu´ee `a chaque it´eration, ce qui a ´ecart´e quelques possibilit´es de solution.

Figure 7.16 –´Evolution d’une cuvette soumise pendant une heure `a une pluie intensive (300 mm h<sup>−1</sup>) avec le mod`ele bi-r´esolution.

7.4 Exploration et tests par processus

7.4.1 Pluie

7.4.1.1 Couverture du terrain

Nous avons ´etudi´e le comportement de notre pluie simul´ee pour juger si la r´epartition al´eatoire des gouttes ´etait suffisamment uniforme, autrement dit si toutes les cellules de surface finissaient bien par ˆetre arros´ees par la pluie, cela afin de respecter les observations faites au cours des exp´eriences de simulateur de pluie, `a savoir qu’en quelques minutes il n’existe plus de zones s`eches. La figure 7.17 permet de constater que le simulateur reproduit bien ce d´elai de quelques minutes, ce d´elai ´etant beaucoup plus court pour la distribution naturelle des gouttes de pluie que pour la distribution correspondant au simulateur de pluie de Laon. Cette diff´erence s’explique facilement par le plus grand nombre de petites gouttes produites par la premi`ere distribution par rapport `a la seconde, pour l’intensit´e de pluie

170 Chapitre 7. Interpr´etation et r´esultats consid´er´ee, `a savoir 30 mm h<sup>−1</sup> (voir figure 6.1). Visuellement, cet ´ecart est tr`es perceptible (figure 7.18).

0 20 40 60 80 100

0 1 2 3 4 5 6 7

Pourcentagedecellules

Temps (min) Distribution impos´ee

Distribution gamma

Figure 7.17 – Comparaison du pourcentage de cellules mouill´ees en fonction du temps, entre la distribution de tailles de gouttes du simulateur de Laon et une distribution naturelle gamma.

(a) 30 s (b) 60 s (c) 90 s (d) 120 s (e) 150 s (f) 3 min (g) 6 min

(h) 30 s (i) 60 s (j) 90 s (k) 120 s (l) 150 s (m) 3 min (n) 6 min

Figure 7.18 – ´Etude de la couverture du terrain par la pluie al´eatoire. En haut : distribution correspondant au simulateur de pluie de Laon ; en bas : distribution naturelle selon une loi gamma. Le ruissellement est d´esactiv´e, l’intensit´e de bleu correspond `a la hauteur d’eau pr´esente sur une cellule.

La figure 7.19(a) montre que le temps demand´e pour arroser toutes les cellules du terrain d´epend fortement de l’intensit´e de la pluie, r´esultat tout `a fait comparable `a ce qui se produit dans la nature. ´Etant donn´e que la distribution des tailles de gouttes d´epend ´egalement de l’intensit´e de la pluie, il n’y a pas de relation simple entre ce temps et l’intensit´e de la pluie. La figure 7.19(b) montre qu’il existe une d´ependance `a la r´esolution des cellules choisie `a l’initialisation : plus les cellules ont une aire importante, plus vite elles sont toutes atteintes par une goutte de pluie, ce qui est ´egalement peu surprenant. Enfin, nous avons v´erifi´e ´egalement que la gestion de la pluie sous forme d’´ev`enements externes induisait une ind´ependance totale au pas de temps choisi pour le simulateur (tous les autres param`etres

´etant ´egaux, les courbes se superposent exactement si le pas de temps varie).

7.4. Exploration et tests par processus 171

Figure 7.19 –Illustration de la d´ependance du pourcentage de cellules mouill´ees `a l’intensit´e de la pluie (a) et la taille des cellules (b).

7.4.1.2 Respect d’un hy´etogramme

Pour v´erifier le respect d’un hy´etogramme par notre g´en´erateur de pluie, nous avons utilis´e le hy´etogramme sp´ecifi´e par Servat (2000, p. 78) et reproduit dans le tableau 7.3. Nous avons calcul´e les hauteurs de pluie cumul´ee th´eoriques atteintes `a chaque changement d’intensit´e et compar´e ces valeurs `a la courbe de pluie cumul´ee enregistr´ee pendant une simulation utilisant le hy´etogramme d´efini par le tableau 7.3. La figure 7.20 montre que ces valeurs se retrouvent parfaitement sur cette courbe, et que donc la pluie simul´ee respecte parfaitement le hy´etogramme impos´e.

Figure 7.20 – V´erification du respect d’un hy´etogramme (en vert) par le g´en´erateur de pluie. La courbe bleue correspond `a la pluie cumul´ee pendant la simulation utilisant ce hy´etogramme. Les fl`eches rouges indiquent la hauteur de pluie cumul´ee th´eoriquement atteinte `a chaque changement d’intensit´e.

172 Chapitre 7. Interpr´etation et r´esultats

Dur´ee (min) 5 1 4 5 5 15 25

Intensit´e (mm h⁻¹) 22.2 106.8 82.8 66.6 42.6 37.2 22.2

Tableau 7.3 – Exemple de hy´etogramme impos´e `a l’´etape d’initialisation du simulateur.

7.4.1.3 Vitesse

La section suivante est consacr´ee au d´etachement et `a la projection, au moyen de la comparaison des r´esultats obtenus par Furbish et coll. (2007), mais nous avons ´egalement utilis´e ce travail pour une confirmation de la justesse du calcul de vitesse. En effet, dans leur article, Furbish et coll. font tomber des gouttes de diff´erents diam`etres d’une hauteur de 5 m et ils ont obtenu une estimation pr´ecise de la vitesse au point d’impact par l’´etude d’images successives prises par une cam´era `a grande vitesse. Nous avons fourni au simulateur les mˆemes param`etres de diam`etre et de hauteur de chute, et le tableau 7.4 montre une bonne correspondance entre les mesures exp´erimentales et l’estimation produite par le simulateur.

D 2 mm 3 mm 4 mm

Furbish et coll. 6.2 7.2 7.6 Simulateur 6.125 7.201 7.735

Tableau 7.4 –Comparaison de la vitesse `a l’impact de gouttes de trois diam`etres diff´erents, mesur´ee exp´erimentalement par Furbish et coll. (2007) et estim´ee par le simulateur (en m s⁻¹).

7.4.2 D´etachement et projection

Nous avons d´ej`a ´evoqu´e les exp´eriences de Furbish et coll. (section 6.2.2.2). Ces exp´eriences utilisent des gouttes d’eau lˆach´ees une par une, par une seringue qui en d´etermine le diam`etre, d’une hauteur de 5 m sur une cible (figure 7.21(a)) constitu´ee d’un trou circulaire de 2.5 cm de diam`etre et de 2 cm de profondeur, perc´e dans un bloc de bois et empli de grains de sable d’une taille donn´ee (figure 7.21(b)). Trois s´eries d’exp´eriences ont ´et´e men´ees. La premi`ere utilise une cam´era grande vitesse (500 images par seconde) pour ´etudier les impacts de goutte et les trajectoires des grains projet´es. Pour les deuxi`eme et troisi`eme s´eries d’exp´eriences, un papier collant avec un trou de 2 cm environ de diam`etre centr´e sur la cible a permis de recueillir les grains de sable projet´es, qui ont ´et´e ensuite photographi´es. La deuxi`eme s´erie concerne la projection sur un plan horizontal, avec entre deux `a dix gouttes d’eau `a chaque exp´erience, r´eparties en trois tailles de gouttes (2 mm, 3 mm et 4 mm) et pour trois tailles de grain (0.18 mm, 0.35 mm et 0.84 mm). La troisi`eme s´erie concerne la projection sur un plan inclin´e, en utilisant six angles diff´erents avec des gouttes de 3 mm de diam`etre et des grains de sable de 0.35 mm. Ces exp´eriences ont permis d’´etablir des fonctions de distribution de la distance et de l’angle de projection en fonction de la pente locale que nous utilisons. Nous avons voulu reproduire dans le simulateur les deuxi`eme et troisi`eme s´eries d’exp´eriences de mani`ere `a en comparer les r´esultats.

L’initialisation du simulateur a ´et´e sp´ecifique pour les points suivants : pas de correction de la vitesse par la hauteur de la lame d’eau (ce qui n’a aucun sens dans cette exp´erience puisque l’eau est infiltr´ee ou projet´ee tout de suite), une seule classe de particules correspondant `a

7.4. Exploration et tests par processus 173

(a) Le dispositif complet, avec la cam´era grande vitesse (cou-verte d’une serviette).

(b) La cible de sable `a l’instant de l’impact d’une goutte d’eau.

Figure 7.21 –Images des exp´eriences de Furbish et coll. (2007).

la taille des grains utilis´ee, un nombre maximal de cibles pour les particules projet´ees (soit une cible par particule), et une d´efinition de la distance moyenne de projection par classe (respectivement 35, 20, 20 mm pour les grains de 0.18, 0.35 et 0.84 mm). Enfin, la pluie (en l’occurrence la chute d’un nombre pr´ecis de gouttes les unes apr`es les autres) a ´et´e circonscrite au disque repr´esentant la cible – et non uniquement `a son centre car Furbish et coll. font remarquer que le point d’impact de certaines gouttes ne co¨ıncide pas avec le centre de la cible, nous avons donc laiss´e un tirage al´eatoire uniforme du point d’impact dans l’aire de la cible. Il faut ajouter que pour la premi`ere taille de goutte (2 mm), l’´energie cin´etique se trouve en dessous du seuil d’´energie cin´etique Ke₀ de la formule du calcul de d´etachement (6.17), empˆechant tout d´etachement et donc toute projection : nous avons donc fix´e ce seuil

`a 0 (au lieu de 0.1) pour cette taille de goutte.

La figure 7.22 pr´esente la comparaison de la visualisation des r´esultats des exp´eriences r´eelles et simul´ees. Il apparaˆıt que les images sont tr`es comparables, avec la nuance que les

«grains de sable» visibles dans nos images sont en fait les cellules de surface contenant au moins un grain de sable, la r´esolution ´etant donc celle de ces cellules, soit pour ces simulations, 2 mm de cˆot´e. La distribution sym´etrique des grains sur un plan horizontal est respect´ee, avec une r´epartition des distances de projection tr`es comparable `a la r´ealit´e. Quantitativement, la simulation reproduit la variation du nombre de grains projet´es en fonction `a la fois de la taille de la goutte et de celle des grains de sable, et la figure 7.23 montre que les nombres obtenus par simulation sont assez proches des nombres r´eels, avec en g´en´eral une surestimation pour la simulation (sauf pour le couple 0.18 mm, 2 mm, `a savoir les grains les plus fins et la plus petite goutte). Il est important de pr´eciser que le nombre de grains pris en compte est bien celui retourn´e par notre calcul de masse d´etach´ee par les gouttes, et non le nombre qui pourrait ˆetre ´etabli `a partir de l’analyse des images de projection.

La troisi`eme exp´erience ne fait intervenir qu’une seule taille de grain de sable et qu’un diam`etre de goutte, le but ´etant d’´etudier l’influence de la pente sur la distribution spatiale

174 Chapitre 7. Interpr´etation et r´esultats

Figure 7.22 –A gauche, r´esultats de la deuxi`eme s´erie d’exp´eriences de Furbish et coll., et `a droite,` r´esultats de la simulation dans les mˆemes conditions. Dans chaque tableau, la taille des gouttes va croissant de haut en bas (2, 3, 4 mm) et la taille des grains va croissant de gauche `a droite (0.18, 0.35, 0.84 mm). Le couple (2 mm, 0.84 mm) n’est pas repr´esent´e dans les r´esultats r´eels car aucun grain n’a pu ˆetre projet´e (donc photographi´e et compt´e) en dehors du trou. Les rayons des deux cercles indiqu´es sont de 10 et 20 cm.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

0.18, 2 0.35, 2 0.84, 2 0.18, 3 0.35, 3 0.84, 3 0.18, 4 0.35, 4 0.84, 4

Nombredegrains

Exp´eriences : taille de grain, diam`etre de goutte (mm) Exp´erience r´eelle

Simulation

Figure 7.23 – Comparaison du nombre de grains projet´es entre les exp´eriences de Furbish et coll. et des simulations dans les mˆemes conditions.

des projections. Nous pouvons observer, aussi bien pour les images r´eelles que celles obtenues par simulation (figure 7.24), une asym´etrie croissant avec la pente et dans la direction de celle-ci. Pour mettre plus en ´evidence cette asym´etrie, le centre de gravit´e de la totalit´e des grains a ´et´e calcul´e et mat´erialis´e par un disque blanc pour les images r´eelles et par un disque cyan pour les images de la simulation, et leur d´eplacement par rapport au centre de la cible est dans chaque cas tr`es comparable.

7.4. Exploration et tests par processus 175

Figure 7.24 –A gauche, r´esultats de la troisi`eme s´erie d’exp´eriences de Furbish et coll., et `a droite,` r´esultats de la simulation dans les mˆemes conditions. La taille des grains de sable est 0.35 mm et le diam`etre des gouttes 3 mm, l’angle de la pente variant de 0˚`a 30˚. Les rayons des deux cercles indiqu´es sont de 10 et 20 cm.

7.4.3 Infiltration et ruissellement

7.4.3.1 Comparaison visuelle des mod`eles d’infiltration

La figure 7.25 permet de comparer visuellement les trois mod`eles d’infiltration qui ont ´et´e impl´ement´es dans le simulateur. Ce test a ´et´e men´e sous une pluie al´eatoire de 30 mm h<sup>−1</sup> et sur sur un terrain plat (20 cm×20 cm×4 cm), le ruissellement ´etant inhib´e. Une diff´erence tr`es nette s’´etablit entre les mod`eles 1D verticaux (voir les images des deux premi`eres rang´ees de la figure 7.25) et le mod`ele 3D (troisi`eme rang´ee de la figure) dans la r´epartition horizontale des volumes d’eau infiltr´es, le mod`ele 3D permettant une r´epartition beaucoup plus homo-g`ene. La visualisation des 8 premi`eres secondes de simulation reproduites figure 7.26 montre que cette r´epartition est ´egalement tr`es rapide. Pour une simulation donnant une priorit´e `a l’infiltration, ce mod`ele semble donc le plus appropri´e. Cependant, une it´eration a demand´e environ 258.3 ms pour le mod`ele 3D, contre seulement 3.3 ms pour le mod`ele de Green et Ampt et 3.6 ms pour le mod`ele sol-croˆute (celui-ci devant fonctionner en plus avec la cr´eation de particules qui ajoute un peu de temps de calcul). La comparaison de ces temps de calcul, pour ce test, justifie bien dans notre cas d’´etude le choix d’un mod`ele plus simple.

7.4.3.2 Comparaisons avec une solution de r´ef´erence

a) Infiltration

Les r´esultats produits par notre mod`ele d’infiltration `a automate cellulaire 3D ont ´et´e compar´es `a des r´esultats obtenus grˆace `a une solution num´erique des ´equations de Richards (figure 7.27). La situation ´etudi´ee correspondait `a celle d’un sol limoneux d’une teneur en eau initiale homog`ene de 15 cm³cm⁻³ et soumis `a une charge nulle constante pendant une heure. Les volumes infiltr´es sont tr`es comparables (22 mm contre 22.8 mm dans la solution de r´ef´erence), et on peut constater que l’´evolution du profil hydrique est bien simul´ee par notre mod`ele d’infiltration 3D.

176 Chapitre 7. Interpr´etation et r´esultats

Figure 7.25 –Visualisation volumique de l’infiltration, sous une pluie al´eatoire de 30 mm h⁻¹, sur un terrain plat (20 cm×20 cm×4 cm) vu de dessus, simul´ee par trois mod`eles. De haut en bas : Green et Ampt 1D, mod`ele sol-croˆute 1D, automate cellulaire 3D. Temps de gauche `a droite : 10 s, 20 s, 30 s, 40 s, 50 s, 1 min 20 s, 2 min, 3 min 20 s.

Figure 7.26 –Visualisation volumique des 8 premi`eres secondes d’infiltration mod´elis´ee par automate cellulaire 3D, sous une pluie al´eatoire de 30 mm h⁻¹, sur un terrain plat (20 cm×20 cm×4 cm) vu de dessus.

15 20 25 30 35 40

−15

−10

−5 0

Teneur en eau (%)

Profondeur (cm)

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Temps (h)

Flux d’infiltration (mm/h)

(b)

Figure 7.27 – Comparaison entre une solution de r´ef´erence (´equation de Richards, en pointill´es rouges) et notre algorithme de report 3D : profil hydrique en fin de simulation (a), flux d’infiltration en fonction du temps (b).