Automates cellulaires classiques - Automates cellulaires

Automates cellulaires

2.2 Automates cellulaires classiques

2.2.1 Description informelle

Un automate cellulaire est décrit par la donnée d’un espace cellulaire discret, d’un voisi-nage, d’un alphabet fini (ou ensemble fini d’états) et d’une fonction de transition (ou règle).

L’espace cellulaire est une grille régulière qui possède une dimension. Dans le cas de la modéli-sation de phénomènes naturels, les espaces 2D et 3D sont évidemment privilégiés. Néanmoins, l’étude théorique systématique des automates cellulaires s’est faite en une dimension, et il est

également possible de bâtir des automates cellulaires de dimension quelconque. La structure topologique de cet espace conditionne le type de voisinage de l’automate cellulaire. Le voisi-nage de la cellule est l’ensemble des cellules qui vont influer sur l’état de cette cellule. Dans le cas classique d’une grille 2D à maille carrée (équivalent à un échiquier infini), les deux voi-sinages les plus courants sont les voivoi-sinages dits de Von Neumann et de Moore, qui incluent respectivement 4 et 8 voisins, plus la cellule centrale (ousite). Des voisinages étendus peuvent être également considérés (figure 2.1), on parle alors de voisinages R-axial et R-radial :

Voisinage R-axial de s ={c∈C, |cx−sx| ≤R ∧ |cy−sy| ≤R }

Voisinage R-radial de s ={c∈C, |c_x−s_x|+|c_y−s_y| ≤R } (2.1) avec C l’espace cellulaire 2D, sle site (cellule centrale), etc_x, s_x (respectivementc_y, s_y) les coordonnées horizontales (respectivement verticales) de cets. Il est à noter que le voisinage de Von Neumann peut être considéré comme le voisinage 1-axial, celui de Moore comme le voisinage 1-radial. À l’inverse, on peut rencontrer le cas extrême du voisinage restreint à la cellule elle-même (voisinage 0-axial ou 0-radial). Enfin, le voisinage peut être asymétrique, voire même aléatoirement défini.

Chaque cellule est caractérisée à un instant donné par son état, élément de l’ensemble fini d’états de l’automate cellulaire. L’ensemble d’état le plus simple contient deux éléments {0, 1}ou{noir, blanc}(la possibilité de représenter visuellement les automates cellulaires est un de leurs attraits majeurs, et les couleurs ou niveaux de gris ont été souvent utilisés pour coder les états). Comme le voisinage de Von Neumann, cet ensemble d’états, équivalent au bit de l’informatique, est à la base des premiers automates cellulaires (appelés parfois automates cellulaires élémentaires) et suffit à produire en une dimension les comportements les plus complexes et les moins prévisibles, comme l’a montré Wolfram (2002). Enfin, l’état courant de la cellule est donné par la fonction de transition, qui prend en compte le voisinage de la cellule pour calculer le nouvel état. L’automate cellulaire classique est discret spatialement,

2.2. Automates cellulaires classiques 31

(a) Voisinage de Von Neu-mann

(b) Voisinage de Moore (c) Voisinage 2-radial (d) Voisinage 2-axial

Figure 2.1 – Diff´erents voisinages classiques d’un automate cellulaire bidimensionnel.

mais aussi temporellement, et évolue de manière synchrone : le calcul des nouveaux états des cellules est fait à partir des états courants des cellules, qui sont mises à jour«simultanément» (ce parallélisme idéal n’étant souvent pas réalisable concrètement, une solution fréquemment utilisée est de faire la lecture de l’état courant à partir d’une copie des cellules, faite avant toute modification). Il est bien sûr nécessaire de définir un état initial des cellules afin de pouvoir amorcer l’évolution du système.

2.2.2 D´efinition formelle

De fa¸con formelle, un automate cellulaire classique peut se repr´esenter par un quadruplet : AC =h C, Q, f V i

avec les d´efinitions suivantes :

C ⊆Zⁿ (n∈N^∗) définit l’espace cellulaire, correspondant à la discrétisation de l’espace

àndimensions étudié,

Q={q_i, i∈N}est un ensemble fini d’états, appelé également alphabet, f est une fonction deQ^p dansQ, dite fonction de transition (ou règle locale),

V = (−→v1, . . . ,−→vp) est un ensemble ordonné de p vecteurs de Zⁿ qui définit le voisinage de dimensionp identique pour toutes les cellules et qui sert à la fonction de transitionf; le voisinage d’une cellulec∈C se définit alors par :

V(c) = (c+−→vi)_i_∈_[1..p]∈C^p

Il est à noter que le vecteur nul peut faire partie de la définition du voisinage, autrement dit la cellule peut être sa propre voisine.

On appelle configuration de l’automate cellulaire, l’applicationh:N×C →Qqui donne à chaque instantt∈N, correspondant à une itération, l’état des cellulescdeC; par commodité, nous noteronsh(t, c) en indi¸cant l’applicationhpart:h_t(c) ;h₀définit alors un état particulier de l’automate cellulaire appelé état initial.

32 Chapitre 2. Automates cellulaires L’évolution globale du système entre les instants tett+ 1 se traduit avec ces définitions par la formule suivante :

∀ t∈N, ∀ c∈C, h_t+1(c) =f

h_t c+−→v₁

, . . . , h_t c+−→v_p

(2.2)

Il est intéressant de relever que les caractéristiques de l’automate cellulaire peuvent se répartir de fa¸con naturelle en sa partie structurelle, comprenant C et Q, et sa partie fonc-tionnelle, composée de V etf.

2.2.3 Historique

2.2.3.1 Première période (1950–1970) : le problème de l’autoréplication

John Von Neumann (1903–1957) fut l’un des pionniers de la science informatique, don-nant notamment en 1945 une description du principe de l’architecture d’un ordinateur. Dans les années 1940, il s’intéresse au problème de l’autoréplication et cherche à construire un au-tomate capable de se reproduire. Parallèlement à cette recherche, un autre génie précurseur, Stanislaw Ulam (1909-1984), qui étudiait la croissance des cristaux, s’amusait à utiliser les premiers ordinateurs du laboratoire de Los Alamos pour produire des «objets géométriques récursivement définis»(recursively defined geometrical objects) et étudier leur évolution. Ces objets étaient définis dans une grille régulière de cellules, dans un état passif ou un état actif, et changeant d’état en fonction de leur voisinage. Ulam simulait ainsi des systèmes proches d’automates cellulaires 2D et remarqua l’apparition de figures complexes (ces travaux furent publiés en 1970).

Von Neumann, après avoir envisagé des modèles basés sur des usines 3D décrites par des équations aux dérivées partielles, essayait de concevoir un système robotique capable de se reproduire à partir de pièces détachées. Il finit par penser qu’un système bidimensionnel pourrait être suffisant, et en 1951, Ulam lui suggéra d’utiliser le principe de ses «espaces cellulaires»pour tenter de construire son automate autoréplicant. Il simplifia donc son modèle et parvint vers 1952 à un automate cellulaire 2D à 29 couleurs pour chaque cellule, et des règles complexes reproduisant les opérations de composants électroniques et mécaniques. Il lui fut nécessaire de construire un système de 200 000 cellules afin de donner la preuve mathématique de la possibilité d’autoréplication de ce système. Ces travaux furent complétés et publiés en 1966, et il est remarquable de constater qu’il fallut attendre presque 50 ans pour en voir proposer une implémentation concrète (Pesavento, 1995).

Pendant les années suivantes, les automates cellulaires furent surtout étudiés sous l’angle de leurs propriétés mathématiques, et notamment leur capacité à l’autoréplication. Ainsi Codd (1968) proposa une nouvelle solution au problème de l’autoréplication, avec 8 états au lieu des 29 états de la solution de Von Neumann. Différents problèmes furent abordés, comme le jardin d’Éden (trouver une configuration qui ne puisse être qu’une configuration initiale) ou la synchronisation des fusiliers (trouver un automate cellulaire unidimensionnel, tel que, partant d’une configuration où toutes les cellules sont dans l’état de repos à l’exception d’une unique cellule, on arrive à une configuration où toutes les cellules sont dans un même état jamais apparu avant). Le travail sur les automates cellulaires était devenu relativement ésotérique,

2.2. Automates cellulaires classiques 33 et l’intérêt qu’il avait suscité commen¸cait à s’estomper. L’invention de trois règles simples allait changer cet état de fait.

2.2.3.2 Deuxi`eme p´eriode (1970–1982) : le jeu de la vie

En 1968, le mathématicien John Conway, intéressé par la logique mathématique et les jeux de simulation, commen¸ca à expérimenter différentes règles applicables à un automate cellulaire 2D. En 1970 il proposa ce qu’il appela le jeu de la vie (The Game of Life ou plus simplementLife), basé sur un automate cellulaire 2D, muni d’un voisinage de Moore, à deux

états {vivante, morte} et évoluant selon les trois règles suivantes : – une cellule morte entourée de 3 cellules vivantes devient vivante ; – une cellule vivante entourée de 2 ou 3 cellules vivantes reste vivante ; – dans tous les autres cas, la cellule est morte.

Ces règles peuvent être interprétées comme des simplifications extrêmes des conditions né-cessaires à la vie : une population nécessaire pour une naissance et suffisante pour éviter l’isolement, mais pas trop nombreuse de manière à prévenir la surpopulation. Il est à noter que ces règles n’impliquent aucune conservation de la matière (en l’occurrence le nombre de cellules vivantes) : la conservation de la matière n’est pas intrinsèque au modèle des auto-mates cellulaires classiques, elle n’existe que comme conséquence des règles utilisées ; ce point est fondamental si l’on désire reproduire un phénomène naturel.

Le jeu de Conway fut rapidement popularisé par un article du magazine Scientific Ame-rican (1970) et dès lors il fut l’objet d’innombrables expériences. Le terme«expérience» est tout à fait approprié : il s’agit d’étudier le comportement d’un système à partir de conditions initiales données, de faire des hypothèses sur ces conditions initiales et renouveler l’expé-rience. Il ne s’agit pas de simulation puisque le système étudié est l’automate cellulaire en lui-même. Contrairement aux automates cellulaires précédents, avec des degrés de liberté plus nombreux (on pouvait décider du nombre d’états ou changer les règles en recherchant un but bien précis), Life est apparu comme un véritable monde virtuel à explorer, réservant bien des surprises par les comportements imprévisibles qu’il génère. Son succès fut tel qu’en 1974 Time Magazine a regretté qu’un tel temps de calcul soit gâché par «des hordes croissantes de fanatiques»(growing hordes of fanatics) passant leurs journées de bureau sur ce nouveau

«jouet»(cité par Rennard). Néanmoins, l’étude des propriétés deLifea permis de mettre en

évidence l’existence d’objets cellulaires bien particuliers : les objets stables (p. ex. le carré), les oscillateurs (p. ex. le clignotant), les objets périodiques (p. ex. le planeur, qui jouera un rôle essentiel par la suite), etc.Life s’est ainsi enrichi d’un catalogue de plus en plus vaste, véritable faune peuplant cet univers virtuel. De plus, au delà du côté récréatif indéniable qui fit son succès, cette quête a permis de répondre à des questions plus scientifiques.

La première question fut posée par Conway dès 1970 : pouvait-on trouver une figure à croissance illimitée ? Faute de pouvoir établir une preuve mathématique, il a fallu que des informaticiens du MIT créent la figure du«lance planeur»(glider gun) pour montrer qu’une telle figure existait bel et bien, et que la croissance illimitée était bien possible dansLife. La deuxième question abordée n’était pas nouvelle : il s’agit de l’existence de jardins d’Éden, qui fut démontrée dans Life par le mathématicien Alvy Ray Smith en 1970. Cependant la question fondamentale de la calculabilité universelle deLiferestait à aborder, et c’est en 1982

34 Chapitre 2. Automates cellulaires

Figure 2.2 –Configuration d’une machine de Turing reproduite dansLife, con¸cue par Rendell (2002).

que cette étape importante allait être franchie par Berlekamp, Conway, et Guy, marquant ainsi la fin d’une période pleine d’enthousiasme pour les automates cellulaires. Le lecteur intéressé pourra trouver dans Rennard (2002) comment les fonctions logiques peuvent être reproduites par les figures de Life, et dans Rendell (2002) le détail d’une machine de Turing (figure 2.2).

2.2.3.3 Troisi`eme p´eriode : a new kind of science

Même si l’ouvrage auquel cette section emprunte son titre n’est paru qu’en 2002, il semble approprié pour définir la période qui a succédé au formidable engouement suscité par Life.

Tout d’abord par une co¨ıncidence de dates, puisque son auteur, Stephen Wolfram, a écrit son premier article traitant des automates cellulaires exactement en 1982. Ensuite parce que dans cet article, les automates cellulaires sont donnés comme pouvant être utilisés comme des modèles mathématiques discrets de systèmes physiques, biologiques et informatiques : ils passent donc d’un domaine purement mathématique (où ils sont l’objet d’étude) à celui de la modélisation et de la simulation (où ils deviennent le modèle d’un autre système). Enfin, Wolfram va le premier entreprendre l’étude systématique d’une catégorie d’automates cellu-laires unidimensionnels, donnant ainsi une rigueur nouvelle à ce champ d’investigation. Les automates cellulaires vont être dès lors à la fois objet d’étude et outil de modélisation, prin-cipalement dans quatre domaines : la théorie mathématique, les systèmes informatiques, la modélisation physique et la modélisation de systèmes biologiques ou sociaux. Comme souligné par les états de l’art proposés par Sarkar (2000) et Ganguly et coll. (2003), il existe d’une part les questions posées par les aspects mathématiques et informatiques des automates cellulaires, et d’autre part les questions posées par leur utilisation dans la modélisation de phénomènes naturels, autrement dit une frontière s’est clairement dessinée entre le champ théorique et le champ applicatif.

2.2. Automates cellulaires classiques 35 L’étude théorique des automates cellulaires va d’abord passer par la classification opérée par Wolfram (1984), inspiré par la théorie des systèmes dynamiques et qui a abouti à un système à quatre classes :

1. l’évolution de l’automate cellulaire conduit à des configurations homogènes (toutes les cellules sont dans le même état) ;

2. l’évolution conduit à des structures stables ou périodiques (à période courte) ; 3. l’évolution conduit à des configurations chaotiques ;

4. l’évolution conduit à des structures locales complexes parfois persistantes (Life étant par exemple considéré par Wolfram comme un automate cellulaire typique de cette quatrième classe, qui aurait seule la propriété de calculabilité universelle).

Alors que Wolfram a mené son étude en partant de configurations aléatoires, Langton (1990) essaie de faire une analyse quantitative de la classification de Wolfram en introduisant le paramètre λ, une valeur statistique calculée à partir des règles de l’automate cellulaire.

En étudiant un comportement moyen d’automates cellulaires unidimensionnels en fonction de ce paramètre, il aboutit également à quatre types de comportement qui se rapprochent des quatre classes de Wolfram. Outre la classification des automates cellulaires, qui reste un champ d’investigation ouvert, les problèmes théoriques abordés sont demeurés classiquement les questions d’autoréplication, de calculabilité et constructibilité universelles, ou encore de tessellation. Dans d’autres travaux, les automates cellulaires sont plutôt considérés comme des systèmes informatiques abstraits, et sont utilisés pour traiter les questions de complexité spatiale et temporelle, d’indécidabilité des problèmes ou de langages acceptables par les au-tomates cellulaires. Life a continué aussi à fournir son lot d’études : généralisation dans un espace à trois dimensions, paramétrage des règles originelles, extension du rayon de voisinage.

Le champ applicatif des automates cellulaires est d’une grande diversité (l’état de l’art publié par Ganguly et coll. contient quelques 269 références dont la plupart sont des applica-tions d’automates cellulaires). Toffoli (1984) a montré que les automates cellulaires peuvent être utilisés comme alternative aux équations différentielles, ce qui revient à dire que tout système physique obéissant à des équations différentielles peut être modélisé par un automate cellulaire, avec l’avantage de permettre de gérer facilement des états initiaux et des conditions aux limites complexes. Malheureusement, les équations régissant un système étudié sont rare-ment établies. Dans cette situation courante, les automates cellulaires ont prouvé leur intérêt grâce au principe d’émergence : plutôt que de tenter de comprendre un comportement global complexe, on tente d’en fixer des règles locales simples. Ces règles deviennent en quelque sorte les lois physiques (parfaitement connues) du monde virtuel défini par l’automate cellulaire, et il devient ainsi possible de tester et comparer le comportement global de cet univers. Toffoli (1994) va avancer et démontrer par l’exemple deux principes qui lui permettent de justifier la généralisation de cette méthodologie : (i) un comportement apparemment continu doit émer-ger à une échelle macroscopique de tout mécanisme microscopique discret ; (ii) quasiment toutes les équations différentielles de la physique connues sont les comportements limites de simples mécanismes microscopiques discrets. Que la thèse de Toffoli soit avérée ou non, il reste établi que les automates cellulaires ont servi avec succès à la simulation du comporte-ment d’un gaz ou de matériaux magnétiques, des processus de percolation, du développecomporte-ment urbain, des processus de cristallisation, de la propagation des feux de forêt, de la turbulence des fluides, du vieillissement, de la formation des nuages et des dunes de sable, etc. En de-hors des applications de simulation, les automates cellulaires servent aussi à la conception d’ordinateurs massivement parallèles, à la reconnaissance de formes, à la cryptographie, à

36 Chapitre 2. Automates cellulaires la génération de nombres aléatoires,... Soumis à un telle quantité et à une telle diversité d’emplois, il était inévitable que le modèle classique d’automates cellulaires soit l’objet de variations et d’extensions destinées à en spécialiser l’utilisation, au prix sans doute de la perte de sa simplicité et de sa généricité originelles. La section suivante énumère quelques-unes de ces variations et extensions.

2.2.4 Variations et extensions

Chacune des caractéristique de l’automate cellulaire peut être la source d’une variation à partir du modèle original : la forme des cellules, le synchronisme de la mise à jour, le caractère discret des états, l’uniformité et le déterminisme des règles. Nous allons brièvement les passer en revue.

La forme des cellules: la principale alternative aux cellules carrées est la grille hexago-nale, qui peut permettre de mieux se rapprocher du comportement d’un phénomène naturel, comme la vision de la mouche ou la formation de flocons de neige (figure 2.3). Un autre exemple célèbre est le modèle de gaz sur réseau FHP, basé sur des cellules triangulaires, et capable de simuler un fluide obéissant aux équations de Navier-Stokes (Frisch et coll., 1986).

Nous verrons cependant dans la section 6.3.1.4 que l’anisotropie de la propagation du contenu des cellules ne peut être complètement corrigée par le choix de la grille.

Figure 2.3 –Des flocons de neige obtenus sur une grille hexagonale (Coxe et Reiter, 2003).

Le synchronisme de la mise à jour par la fonction de transition : une des motivations pour s’affranchir de la règle du synchronisme est la lourdeur qu’elle impose au niveau de l’implémentation, qui peut par conséquent limiter la taille des espaces qui peuvent être simulés efficacement. Néanmoins, en général, le comportement des règles est différent selon la stratégie de mise à jour choisie, et le risque d’empêcher tout comportement émergent existe. Certains chercheurs ont d’ailleurs avancé l’hypothèse que les propriétés intéressantes des automates cellulaires ne seraient que la conséquence de l’évolution synchrone du système.

La continuité de l’espace des états : en rempla¸cant les états discrets de l’automate par une représentation continue et les règles de transition par une fonction, il est possible d’obtenir des comportements proches des fluides et des gaz, comme l’a montré le modèle de fluides de Boltzmann sur réseau. Des exemples de simulation en sont donnés par le modèle CML (Coupled Map Lattices) illustré par la figure 2.4.

L’uniformité des règles dans l’espace cellulaire : les automates cellulaires dits « hy-brides» autorisent que les règles locales puissent différer d’une cellule (ou d’une région de

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