Mod` ele structurel - Mod` ele de d´ egradation du sol

Mod` ele de d´ egradation du sol

5.3 Mod` ele structurel

δcon : S ×X^b → S est la fonction de conflit, appel´ee lorsqu’une goutte de pluie arrive

à ∆t, c’est-à-dire au moment où doit être activé la transition interne. Cette fonction a le comportement standard des modèlesp-devs :

δ_con=δ_int◦δ_ext

ce qui signifie dans notre cas que la phase de l’espace cellulaire passe de passive à active, et que la fonction de splash Sp est appelée avant l’infiltration I (autrement dit, la goutte de pluie est traitée en priorité) :

δ_con(“passive”, s, e, x^b) =

“active”,I ◦ Sp(s, x^b)

λ:S →Y est la fonction de sortie, appel´ee juste avant la fonction de transition interne, et qui transmet simplement l’´etat du terrain (le contenu des cellules), quand la phase est passive, et ne fait rien sinon :

λ(“passive”, s) =s λ(“active”, s) =∅

ta : S → R⁺ est la fonction d’avance du temps, qui dans la phase passive, renvoie le pas de temps, constante indépendante de l’état de l’espace cellulaire, et dans la phase active, retourne 0 quel que soit l’état de l’espace cellulaire (il s’agit d’une phase transitoire) :

ta(“passive”, s) = ∆t ta(“active”, s) = 0

Maintenant que nous avons décrit formellement le modèle fonctionnel de notre terrain virtuel, avec les trois processus hydrauliques que nous avons besoin de simuler pour reproduire un évènement pluvieux, nous allons nous attacher à en décrire la structure, c’est-à-dire la manière dont sont représentées les informations définissant l’étatsdu sol.

5.3 Mod` ele structurel

Dans le phénomène que nous cherchons à simuler, la structure spatiale de l’état de surface du sol joue un rôle fondamental en déterminant les connexions entre différentes zones de production de ruissellement ainsi que leur connexion à l’exutoire de la parcelle. La topographie en interaction avec la nature et la localisation des croûtes détermine cette structure spatiale.

Il est donc crucial de gérer des informations sur la topographie mais aussi sur l’épaisseur, la localisation, la nature des croûtes de surface, ce dernier point impliquant de considérer la granulométrie des sédiments détachés, transportés, déposés par la pluie ou le ruissellement et son évolution au cours des phénomènes de mobilisation, transport et dépôt. Par conséquent l’espace cellulaire que nous devons manipuler doit être tridimensionnel et permettre de gérer de fa¸con explicite la granulométrie des sédiments. Comme la croûte est un volume qui va être créé et évoluer durant la simulation, nous avons choisi un découpage régulier de tout l’espace considéré en parallélépipèdes rectangles. En surface, ce découpage nous permet d’établir une

88 Chapitre 5. Modèle de dégradation du sol bijection entre l’espace cellulaire et la carte de hauteur du terrain qui en définit les altitudes selon un échantillonnage régulier (voir la section 5.4.1). En ce qui concerne la représentation conceptuelle de l’espace cellulaire, et le type des cellules qui le composent, nous avons travaillé successivement avec deux modèles différents, qui vont être détaillés dans les deux sections suivantes.

5.3.1 Premier mod`ele de sol

Le premier modèle que nous avons utilisé correspond à un ensemble de cellules cubiques de 2 mm de côté. La figure 5.3(a) montre comment l’espace cellulaire peut se représenter. Il comprend trois sortes de cellules :

– les cellules hors sol, qui ne repr´esentent pas une partie du volume physique mais contiennent uniquement des informations locales de surface (altitude, hauteur d’eau, particules contenues dans l’´ecoulement) ;

– les cellules d’atmosph`ere, qui ne contiennent aucune information ;

– les cellules de sol, qui contiennent les différentes variables quantitatives décrivant le sol, ou, pour reprendre le vocabulaire des automates cellulaires étendus, les différents sous-états (énumérés ci-après).

(a) Repr´esentation conceptuelle. (b) Cellules visualis´ees.

Figure 5.3 – Illustration du premier mod`ele structurel du sol sur un volume de 8×8×7 cellules.

Lors de la visualisation, la place d’une cellule de sol correspond exactement `a celle d’un voxel.

Les cellules d’atmosphère ont un double rôle : d’une part, elles permettent d’avoir une bijection parfaite entre la représentation en mémoire des cellules du sol et la visualisation du volume comme le montre la figure 5.3(b), chaque cellule pouvant être considérée comme un voxel au même emplacement, et d’autre part, elles constituent une réserve de cellules au dessus de la surface pouvant être transformées en cellules de sol (puisque l’altitude du terrain peut changer par accumulation de particules – et inversement, une cellule de sol peut disparaˆıtre par érosion et devenir une cellule d’atmosphère).

Les cellules de sol contiennent les variables quantitatives décrivant le sol. Le sol peut être considéré comme un complexe dynamique à trois phases qui s’interpénètrent et s’influencent réciproquement (Musy et Soutter, 1991) : la phase solide (matière, fragments, agrégats, par-ticules,...), la phase liquide (l’eau), la phase gazeuse (l’air). Ces phases peuvent être addition-nées, en considérant leurs volumes. Ainsi, le volume total d’un échantillon de sol V_cell peut

5.3. Mod`ele structurel 89 s’´ecrire :

V_cell =V_s+V_l+V_g (5.1)

avec V_s le volume de sol, V_l le volume d’eau et V_g le volume d’air. Comme nous opérons sur une grille régulière, c’est-à-dire que toutes les cellules ont une section d’aire identique, la hauteur d’une phase est équivalente à son volume, nous pourrons donc calculer directement sur les hauteurs :

H_cell =H_s+H_l+H_g (5.2)

avecHs la hauteur de sol,H_lla hauteur d’eau etHg la hauteur d’air. Comme dans ce modèle H_cell est une constante,H_g peut facilement se déduire deH_setH_l, qui sont donc les premiers sous-états d’une cellule de sol.

Comme nous l’avons déjà indiqué, l’une des particularités les plus originales de notre simulateur est la prise en compte d’une information granulométrique variable dans l’espace et le temps. Il est important de préciser que le sol en début de simulation ne contient aucune particule : celles-ci sont uniquement le produit du détachement opéré par les gouttes de pluie, et donc n’existent pas avant le début d’un épisode pluvieux. Nous ajoutons aux hauteurs de matière et d’eau stockées dans une cellule, les nombres entiers de particules de certaines tailles (figure 5.4). Le volume total d’une cellule de sol s’écrit à présent :

V_cell =A_cell(Hs+H_l+Hg) + ^N

i=1

NiVi (5.3)

avecA_celll’aire de la cellule (c.-à-d. 4 mm²),Ncle nombre de classes de particules considérées, V_i le volume d’une particule de la classe i, N_i ∈ N le nombre de particules de cette classe contenues dans la cellule. Comme auparavant, il est inutile de conserver la valeur deHg qui peut toujours être obtenue par différence avec le volume constant de la cellule. Ce premier modèle de sol prenait en compte cinq classes de particules, considérées comme des cubes, avec une dimension correspondant à des tailles de tamis standard, à savoir 50µm, 100µm, 250µm, 500µm et 1000µm. Dans une cellule, nous considérons comme de la matière continue le volume solide qui n’est pas constitué de particules correspondant à ces tailles.

Figure 5.4 – Les sous-´etats d’une cellule de sol.

Les agrégats peuvent être définis comme des agglomérations de particules élémentaires du sol, formant des unités distinctes. Les agrégats peuvent avoir des diamètres variés, allant

90 Chapitre 5. Modèle de dégradation du sol de la fine poussière à la motte. La présence d’agrégats, leur position, leur taille et leur forme sont d’importantes caractéristiques de la structure d’un sol, car elles sont révélatrices de son

état et permettent d’établir un lien avec les opérations agricoles. La distribution des tailles d’agrégats est parfois utilisée comme indicateur de l’état d’un sol (Shepherd, 2000, figure 5.5).

(a) (b) (c)

Figure 5.5 – Classification des sols en trois états caractérisés notamment par la taille et la qualité des agrégats (Shepherd, 2000).

De manière à pouvoir représenter les agrégats dans notre espace cellulaire, nous ajoutons trois sous-états binaires à chaque cellule de sol, états correspondant chacun à un lien possible avec une cellule précise du voisinage, ce lien existant si cette cellule appartient à un même agrégat⁵ (ces liens sont représentés par des flèches dans la figure 5.4). En considérant toutes les cellules voisines ayant une face commune, il y a en fait six liens possibles. Ces liens étant bi-directionnels, il est possible de supprimer les informations redondantes en n’en considérant que la moitié : lorsque deux cellules sont liées, une seule conserve cette information.

Bits Nombre Sous-´etat Dimension (mm)

1 – 6 6 hauteur de mati`ere 31.25×10⁻³

7 – 12 6 hauteur d’eau 31.25×10⁻³

13 – 15 3 ] particules de classe 5 1

16 – 21 6 ] particules de classe 4 0.5

22 – 30 9 ] particules de classe 3 0.25

31 – 32 2 non utilis´es –

33 – 45 13 ] particules de classe 2 0.1 46 – 61 16 ] particules de classe 1 0.05

62 – 64 3 X-lien, Y-lien and Z-lien –

Tableau 5.2 – Distribution des 64 bits d’une cellule de sol.

Dans un souci d’économie de mémoire, nous avons pour ce premier modèle décidé de limiter la taille d’une cellule à 64 bits, et stocké les sous-états sous trois formes :

– un nombre de«couches unitaires»pour l’humidité et la matière continue, – une quantité entière pour les particules de chaque classe de taille.

– un bit pour chaque lien.

5. Dans notre mod`ele, nous appelons donc agr´egat tout assemblage d’au moins deux cellules (ce qui impose de fait une limite de taille minimale).

5.3. Modèle structurel 91 Le tableau 5.2 donne la composition précise d’une cellule. La hauteur d’une couche est contrainte par le nombre maximal qu’une cellule peut en contenir. Comme nous réservons 6 bits pour les hauteurs de matière et d’eau, ce nombre ne peut dépasser 63. Considérant qu’une cellule de sol ne peut pas n’être composée entièrement que de matière continue ou d’eau, nous définissons la hauteur d’une couche à 1/64=31.25µm, ce qui correspond au volume d’une particule de classe 4.

Ce modèle a servi aux premiers essais de simulation et a fait l’objet de deux publications (Valette et coll., 2005, 2006b), mais a rapidement présenté des limitations et différents incon-vénients. Le fait de n’utiliser qu’un seul modèle de cellule pour le sol est une perte de mémoire importante, puisqu’il peut exister des cellules sans particule, donc avec 47 bits inutiles. De même les cellules d’atmosphère, hormis leur rôle de cellules de sol potentielles, ne servent

à rien sinon à simplifier l’étape de visualisation du volume, voire de possibles traitements impliquant un voisinage 3D (comme la gestion des agrégats par exemple). Le comptage des particules en nombres entiers a posé un problème récurrent dans toutes les opérations concer-nant des quantités de particules (création, transport), à savoir la définition du passage en valeur entière des quantités calculées en valeur réelle, problème crucial pour les plus grosses particules, où le choix entre 0 et 1, compte tenu de la taille de la cellule relativement proche de la taille des particules considérées, a des conséquences très différentes sur la simulation.

La discrétisation des volumes de matière et d’eau en couches présente également deux in-convénients. Le premier inconvénient, lors du détachement, est que le minimum de matière

à détacher est une couche de matière, à transformer en un nombre équivalent de particules (soit, par exemple, 1000 pour les particules les plus fines), qu’il n’est pas toujours évident de faire correspondre à la quantité calculée. Le second inconvénient, lors de l’infiltration, est que la quantité d’eau infiltrée dans une cellule doit être également un nombre entier de couches, ce qui risque d’introduire un biais dans les calculs. Pour toutes ces raisons, nous avons abandonné ce premier modèle et con¸cu un second modèle de sol, décrit dans la section suivante.

5.3.2 Second mod`ele de sol

Dans le second modèle structurel de sol, nous avons décidé d’abandonner la gestion de nombres entiers de particules, puisque cette gestion n’offrait au final que peu de compensation aux problèmes soulevés (le fait d’avoir un nombre entier est insuffisant en soi par exemple pour pouvoir tracer certaines particules, ce qui aurait été intéressant). Nous avons de fait privilégié la précision des résultats et la souplesse d’utilisation à l’occupation en mémoire, qui devient très importante pour une cellule, à cause de l’emploi de nombres à virgule flottante pour toutes les quantités. La figure 5.4 reste valide pour le contenu des cellules de sol, excepté que les particules sont considérées maintenant comme des sphères, que toutes les quantités sont réelles (plus de prise en compte d’un nombre de couches de matière ou d’eau) et que nous ajoutons à ces quantités l’énergie cinétique cumulée, provenant de l’impact des gouttes de pluie et propagée verticalement dans le sol (section 6.2.3). Les équations (5.2) et (5.3) restent néanmoins valides, avec pour cette dernière à présent la prise en compte d’un nombre réel de particules :N_i ∈R⁺.

De manière à supprimer certains défauts du premier modèle, nous avons changé la concep-tion de l’espace cellulaire (figure 5.6(a)), en supprimant les cellules d’atmosphère et en

in-92 Chapitre 5. Mod`ele de d´egradation du sol

(a) Représentation conceptuelle. (b) Cellules visualisées, avec un décalage des colonnes.

Figure 5.6 – Illustration du second mod`ele structurel du sol sur un volume de 8×8×5 cellules.

Lors de la visualisation, un d´ecalage des colonnes de voxels est n´ecessaire pour reproduire le relief.

troduisant une distinction dans les cellules de sol, ce qui nous donne au final trois sortes de cellules :

– les cellules de sol qui ne comportent pas de particules ; elles sont alors nommées «non fragmentées»et elles ne conservent que les quantités d’eau et de matière continue ainsi que l’énergie cinétique cumulée et les liens d’agrégat ;

– les cellules de sol qui comportent des particules (soit créées localement par le détache-ment, soit transportées par splash ou ruissellement), elles sont nommées«fragmentées» et contiennent bien évidemment les mêmes informations que les cellules non fragmen-tées, plus l’information sur les quantités de particules (non entières) de chaque classe.

La nouvelle catégorie de cellules de sol permet une relative économie de mémoire : pour un codage des réels enfloat (respectivement endouble), les cellules non fragmentées occupent 16 octets (respectivement 28), et les cellules fragmentées 44 octets (respectivement 84). Nous ajoutons à ces types de cellules quatre exutoires latéraux, cellules adimensionnelles destinées à recueillir les quantités d’eau ou de particules sortant d’un côté du terrain, et un exutoire d’in-filtration, destiné à recueillir l’eau infiltrée sortant de la dernière couche de cellules disponible (si le modèle d’infiltration génère cette information).

Bien évidemment, la suppression des cellules d’atmosphère a enlevé le bénéfice de la bijection entre les cellules et les voxels qu’offrait le premier modèle. Les colonnes de cellules comportant à présent toutes un même nombre de cellules, au moment de la visualisation il est nécessaire, pour reconstituer le relief, d’opérer un décalage de chaque colonne tenant compte de la hauteur du terrain à son sommet, comme le montre la figure 5.6(b). La visualisation avec ce modèle offre donc un volume moindre que celle possible avec le premier modèle, le terrain étant d’épaisseur constante en tout point (figure 5.7). Cela est compensé par un avantage conséquent : quelles que soient les différences d’altitude du terrain initial, l’épaisseur de l’espace cellulaire peut rester arbitrairement fixée sans perte d’information, alors que ces différences d’altitude imposaient au premier modèle une épaisseur minimale pour ne pas avoir des zones sans aucune cellule de sol. Il est à noter que dans ce modèle, le voisinage d’une cellule de sol en mémoire n’est plus le voisinage réel de la cellule dans le sol : il faut tenir

5.4. Initialisation 93 compte du décalage d’altitude déjà utilisé pour la visualisation. Cela doit être pris en compte pour tout processus 3D mais également pour la définition des agrégats, basée sur trois liens avec des cellules voisines.

(a) Premier mod`ele. (b) Second mod`ele.

Figure 5.7 –Illustration de la différence dans le nombre de cellules visualisées en profondeur entre le premier (a) et le second (b) modèle de sol, sur un volume de 279×279×50 cellules pour le premier modèle, et 279×279×20 cellules pour le second.

Les cellules d’atmosphère permettaient de pouvoir créer de nouvelles cellules de sol, dès que nécessaire. Cela n’est plus possible avec le second modèle : pour conserver le même nombre de cellules dans chaque colonne, un ajout de cellule en haut d’une colonne provoque la disparition de la cellule du bas de cette colonne (et inversement, la disparition de la première cellule par érosion provoque l’apparition d’une nouvelle cellule en bas de la colonne). Pour ne pas perdre d’information sur l’évolution de la granulométrie, il faut donc prévoir un nombre suffisant de couches de cellules, c’est-à-dire un nombre qui ne sera jamais inférieur au nombre de cellules fragmentées dans une colonne (ce qui doit correspondre en théorie à une épaisseur maximale de croûte).

5.4 Initialisation

L’initialisation du simulateur peut se partager en deux parties : l’initialisation du modèle structurel, et l’initialisation du modèle fonctionnel. La partie fonctionnelle de l’initialisation sera traitée dans le prochain chapitre : à chaque description de la modélisation d’un processus, les paramètres d’initialisation correspondants seront précisés. Nous nous intéressons dans cette section à la partie structurelle de l’initialisation et développons les points suivants : la définition du volume de sol, l’état initial des cellules, la génération d’agrégats.

5.4.1 D´efinition du volume de sol

5.4.1.1 G´en´eration de la carte de hauteur

La géométrie de l’espace cellulaire est basée sur une carte de hauteur représentant la topographie du terrain. Les techniques pouvant générer des terrains virtuels peuvent se ré-partir en trois catégories : le dessin direct par l’utilisateur, la génération aléatoire, ou encore l’utilisation d’un modèle numérique de terrain (mnt). Dans la première catégorie, outre la possibilité de fournir une carte de hauteur sous forme d’une image en niveaux de gris, nous

94 Chapitre 5. Modèle de dégradation du sol offrons à l’utilisateur un moyen de définir une succession de pentes régulières, de même largeur paramétrable et de longueurs différentes. Le terrain le plus simple ainsi généré est un carré plan. Cette génération de cartes de hauteur nous est utile pour reproduire des expériences simples de laboratoire (gouttière, plan incliné, voir par exemple la section 6.3.2.3) ou pour créer des expériences virtuelles avec un terrain de caractéristiques données (comme celui pré-senté section 7.4.4.2). Nous n’avons pas utilisé de génération aléatoire de terrain (à l’exception de son emploi conjointement avec la génération d’agrégats, présentée ci-après, section 5.4.4).

La seconde source de carte de hauteur a été les modèles numériques de terrain, réalisés par rugosimétrie laser à l’unité inra de Laon. La figure 5.8 présente un échantillon de lit de semence reconstitué dans un bac, et la visualisation volumique produite par le simulateur à partir dumnt obtenu de cet échantillon.

(a) (b)

Figure 5.8 – Un échantillon de sol cultivé reconstitué au laboratoire, et sa visualisation volumique dans le simulateur obtenue à partir du mntcorrespondant. Les emplacements de trois agrégats sont

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