Description formelle - Automates cellulaires

Automates cellulaires

3.2 Description formelle

3.2.1 Mod`ele atomique

Les éléments de base d’un modèledevssont les modèles atomiques. Un modèle atomique devs M se définit formellement par l’ensemble suivant :

M =hX, Y, S, δint, δext, λ, tai o`u :

X est l’ensemble des évènements d’entrée (dits aussi externes), Y est l’ensemble des évènements de sortie,

S est l’ensemble des ´etats, ´eventuellement infini, δ_int est la fonction de transition interne,

δ_ext est la fonction de transition externe, λ:S→Y est la fonction de sortie, taest la fonction d’avance du temps.

Sest l’ensemble des états du système : typiquement, un état va correspondre au n-uplets des valeurs prises par les différentes variables d’état du système. Ces variables peuvent être de type très différent : à valeur dansRpour représenter une caractéristique continue du système,

à valeur dansZpour représenter une caractéristique discrète, ou encore un élément pris dans un ensemble quelconque, fini ou infini (p. ex. une couleur). Qest l’ensemble des états totaux (total states) du système : un état total correspond à la donnée d’un étatsdu système plus la duréeependant laquelle le système s’est trouvé dans cet état, ce qui permet au modélisateur de spécifier un changement d’état non seulement en fonction de l’état courant du système, mais aussi en fonction du temps passé dans cet état. Le temps devient ainsi explicitement une partie intégrante de l’état du système. L’ensemble des états totaux se définit ainsi :

Q={ (s, e)|s∈S, 0 ≤ e ≤ ta(s)}

Le formalisme devs décompose la fonction de transition du système en deux fonctions distinctes et indépendantes, l’une chargée de répondre aux influences de l’environnement, qui

3.2. Description formelle 45 se manifestent par les évènements externes, l’autre chargée de l’évolution interne, autonome, du système. Ce principe simple se révèle être un atout majeur du formalismedevs, puisqu’il permet de modéliser un système ouvert sur l’extérieur mais qui possède également ses propres règles de changement internes.

Figure 3.1 – Fonctionnement du mod`ele atomiquedevs.

La figure 3.1 représente de fa¸con schématique le fonctionnement d’un modèle atomique devs que nous allons détailler. La fonction de transition externe δ_ext :Q×X → S est dé-clenchée par l’arrivée d’un évènement externex, et elle fait passer le système dans un état s⁰ = δext(s, e, x) en fonction de cet évènement externe et de l’état total du système (donc du tempse écoulé dans l’état courant s), ce qui permet de décrire une large classe de com-portements existants dans les modèles à évènements discrets : synchronisation, préemption, suspension, réactivation (Vangheluwe, 2000, p. 71).

Lorsqu’aucun évènement externe ne survient, c’est la fonction d’avancement du temps ta : S → R⁺ qui décide de la durée ∆t = ta(s) que doit passer le système dans l’état s.

Cette fonction est évaluée à l’entrée du système dans un nouvel états. Deux cas particuliers sont envisageables : une durée infinie, dans ce cas l’état s tel que ta(s) = ∞ est dit passif (le système ne va évoluer que si un évènement externe survient) ; ou bien une durée nulle, et dans ce cas l’état stel que ta(s) = 0 est dit transitoire (le système évolue tout de suite).

Notons que cette fonction définit une base de temps réelle et que donc le temps simulé est continu. En prenant ta à valeurs dans N on peut se ramener à un temps discret sans rien enlever aux autres caractéristiques du formalisme. La seule condition pour la base de temps est qu’elle soit un ensemble muni d’une relation d’ordre strict total.

La durée ∆t = ta(s) étant écoulée, deux fonctions sont appelées successivement. Tout d’abord est appelée la fonction de sortie λ : S → Y ∪ {∅} qui va déterminer l’évènement de sortie y = λ(s) à générer selon l’état courant s du système. Cette fonction peut per-mettre l’observation du système, et une fonction triviale de sortie est l’identité : λ(s) = s, qui transmet directement à l’environnement du système son état courant. Ensuite est appelée la fonction de transition interne δ_int : S → S qui va faire passer le système dans un état s⁰ = δ_int(s) en fonction de son état courant s. Les sorties du système ne sont donc pos-sibles que lors de l’occurrence de transitions internes, elles-mêmes déclenchées par les durées

46 Chapitre 3. DEVS pendant lesquelles le système reste dans un même état et en l’absence d’évènement externe.

Cette contrainte peut sembler être une limitation au modèle, puisqu’il semble impossible de provoquer une sortie en réponse à l’arrivée d’un évènement externe. En fait, pour obtenir ce résultat il suffit de faire passer le système dans un état transitoire lors de l’arrivée de l’évènement externe, et de définir la valeur de la fonction de sortie désirée pour cet état.

L’état transitoire va déclencher une transition interne, synonyme de sortie, aussitôt l’arrivée de l’évènement externe.

3.2.2 Mod`ele coupl´e

Nous disposons donc avec le modèle atomique devs d’un système capable d’évolution autonome et de réponse à des stimulus externes. Le couplage des modèles atomiques, apport fait par Zeigler en 1984 au modèle classique datant de 1976, va ajouter deux notions fonda-mentales pour la modélisation : la modularité et la construction hiérarchique. Un système va pouvoir être décomposé en sous-systèmes plus simples qui seront couplés de manière à reconstituer le comportement du système original, et qui au besoin pourront être à leur tour décomposés en sous-systèmes.

Le couplage des modèles atomiques impose une communication entre modèles, c’est pour-quoi le modèle atomique subit une légère transformation : l’ajout de ports d’entrée et de sortie, associés respectivement aux évènements d’entrée et de sortie (figure 3.2). Un port d’entrée prend une valeur lors de l’émission d’un évènement attaché à ce port. Un port de sortie prend une valeur lorsque la fonction de sortie prend une valeur pour ce port.

X={(p, v) |p∈P_in, v∈V_p } est à présent l’ensemble des évènements d’entrée, à port p dans l’ensemble des ports d’entréeP_in et à valeurv dans l’ensembleV_p des valeurs d’entrée possibles sur le port p.

Y ={(p, v) |p∈P_out, v∈V_p }est à présent l’ensemble des évènements de sortie, à port p dans l’ensemble des ports de sortieP_out et à valeur dans l’ensembleV_p des valeurs de sortie possibles sur le port p.

Figure 3.2 – Représentation d’un modèle atomique devs avec ports. Ici les ensembles des ports d’entrée et des ports de sortie sont Pin={pI1, pI2 }et Pout ={ pO1, pO2}.

Cette nouvelle définition des modèles atomiques devs avec ports autorise le couplage, c’est-à-dire la connexion de deux modèles atomiques, lesquels deviennent alors des compo-sants du modèle couplé. Une propriété fondamentale des modèles devsest la fermeture par couplage, démontrée par Zeigler (1984) : un modèle couplé peut être considéré comme un mo-dèle atomique (une démonstration peut en être trouvée dans la thèse de Vangheluwe, 2000, p. 75). Dès lors, le couplage de modèles couplés devient possible, ainsi que le couplage d’un modèle couplé avec un modèle atomique, ce qui autorise une vue hiérarchique d’un système, et sa décomposition en sous-systèmes en interaction (figure 3.3).

3.2. Description formelle 47

Figure 3.3 – Illustration du couplage et de la hiérarchisation d’un modèle rendus possibles par la propriété de fermeture par couplage : un modèle couplé peut être considéré comme un modèle atomique.

Un modèle couplédevs M C se définit formellement par cet ensemble : M C =hX_self, Y_self, D,{M_d},{I_d},{Z_i,d},selecti

o`u :

X_self est l’ensemble des évènements d’entrée, Y_self est l’ensemble des évènements de sortie,

Dest l’ensemble des identifiants des composants du mod`ele coupl´e, {M_d} est l’ensemble de ces composants,

{I_d}est l’ensemble des influences entre composants,

{Z_i,d} est l’ensemble des fonctions d’interprétation sortie-entrée entreietd, select est la fonction de sélection.

Dans cette définition,self représente le modèle couplé lui-même. Comme pour un modèle atomique, X_self (respectivementY_self) est l’ensemble des valeurs d’entrée (respectivement de sortie) possibles du modèle couplé, chacune étant attachée à un port d’entrée (respectivement de sortie).Dest l’ensemble des identifiants des composants du modèle couplé,self ne pouvant pas être élément de D. L’ensembles des composants est { M_d | d∈ D }, chaque composant devant être un modèle atomiquedevs:

M_d=hX_d, Y_d, S_d, δ_int,d, δ_ext,d, λ_d, ta_di

I_dest l’ensemble des composantsinfluencés par le composant d’identifiantd∈D∪{self}. L’ensemble de toutes les influences{I_d|d∈D∪ {self} }représente la structure du modèle couplé. Les influences correspondent à trois types de couplage qui sont explicités dans la figure 3.4. Pour respecter le principe de modularité, un composant du modèle couplé ne peut influencer un composant extérieur au modèle couplé, cependant il peut influencer le modèle couplé, c’est dans ce cas un couplage externe de sortie (voir figure 3.4) :

∀d∈D∪ {self} I_d⊆D∪ {self}

48 Chapitre 3. DEVS Une deuxième restriction est ajoutée, de manière à éviter toute boucle infinie, un composant ne peut s’influencer lui-même :

∀d∈D∪ {self} d /∈I_d

Figure 3.4 – Les trois types de couplage (ou influence) dans un mod`eledevscoupl´e.

Pour pouvoir traduire un évènement de sortie provenant d’un composantM_i, en un évè-nement d’entrée du composant M_j qu’il influence (Mj ∈I_i), pour chaquej de I_i, on définit la fonction Zi,j qui est chargée de cette interprétation entre Mi etMj. La donnée desI_d et des Z_i,j permet ainsi de spécifier complètement la structure et le comportement du modèle couplé. Comme le montre la figure 3.4, les couplages peuvent être internes au modèle couplé, c’est-à-dire entre deux composants, mais il peut exister également des couplages externes d’entrée (le modèle couplé influence un de ses composants) et des couplages externes de sor-tie (un des composants influence le modèle couplé). Il est nécessaire de prévoir des fonctions spécifiques pour les composants influencés par le modèle couplé, ou qui influencent le modèle couplé, ainsi qu’il est montré dans le détail de l’ensemble{ Z_i,j |i∈D∪ {self}, j ∈I_i } :

∀i, j ∈D |j∈I_i, Z_i,j : Y_i→X_j

∀j∈I_self, Z_self,j : X_self→X_j

∀i∈D|self ∈I_i, Z_i,self : Y_i→Y_self

Lors d’une simulation, à cause du couplage des composants, il peut arriver que des tran-sitions doivent intervenir à un instant t identique. Pour résoudre ces problèmes de collision, il est nécessaire d’opérer un choix parmi les composants en concurrence. C’est le rôle de la fonctionselectdu modèle couplé, qui doit donc pouvoir s’appliquer à tout sous-ensemble non videE de D:

select: 2^D r∅ →D

Si E correspond au sous-ensemble de D des composants qui ont à opérer une transition simultanément, la fonction select doit permettre de choisir lequel parmi ces composants doit appliquer sa transition :

select(E)∈E

Ce choix opéré par la fonction select introduit un biais par la séquentialisation entre évène-ments à l’origine simultanés. Ce défaut sera supprimé par le formalisme Parallel-devsqui est décrit dans la section suivante.

3.2. Description formelle 49 3.2.3 Parallel-DEVS

Afin d’étendre les capacités de modélisation dedevs, le formalisme original a été étendu en un formalisme appelé Parallel-devs(oup-devs) par Chow et Zeigler (1994). Les objectifs poursuivis étaient de rendre possible le contrôle des collisions entre transitions par le modé-lisateur ainsi que d’autoriser le parallélisme en éliminant toute trace de séquentialisation des

évènements produite par le choix opéré par la fonctionselectdans le modèle couplédevs. Le modèle atomiquep-devsM P se définit ainsi :

M P =hX, Y, S, δ_int, δ_ext, δ_con, λ, tai

Le comportement d’un modèle atomique p-devs (voir figure 3.5) est très semblable à celui du modèle atomique devs. La différence majeure provient de l’apparition d’une nouvelle fonction : la fonction de conflit (confluent transition function) qui est chargée de résoudre localement l’ambigu¨ıté générée par l’occurrence simultanée d’une transition interne et d’une transition externe (autrement dit lorsque le temps écouléedans l’état s marquant l’arrivée de l’évènement externe, est égal à la duréeta(s) = ∆t impartie avant la transition interne).

δ_con:S×X^b →S

On note que cette fonction utilise le concept de sac (bag) d’évènements, un sac étant un en-semble d’événements non triés provenant d’une ou plusieurs sources différentes. Cette fonction peut avoir un comportement par défaut qui choisit d’abord la transition interne, ou l’inverse :

δcon(s, e, x^b) =δext δint(s),0, x^b ou δ_con(s, e, x^b) =δ_int δ_ext(s, ta(s), x^b)

Figure 3.5 – Fonctionnement du mod`ele atomiquep-devs.

La fonction de transition externe, devant pouvoir gérer un nombre d’évènements externes quelconque, fait appel aussi à ce concept de sac :

δ_ext:Q×X^b→S

50 Chapitre 3. DEVS Enfin, dernière différence avec le modèle atomique devs, la fonction de sortie peut générer un sac d’évènements :

λ:S →Y^b∪ {∅}

Les modèles atomiquesp-devsrespectent la propriété de fermeture par couplage, la mo-délisation modulaire et hiérarchique est donc toujours possible. Le modèle couplé p-devs est identique au modèle couplé devs, à la seule différence que la fonction select n’est plus nécessaire :

M CP =hX_self, Y_self, D,{M_d},{I_d},{Z_i,d}i

Bien évidemment, les composantsM_dde ce modèle couplé doivent être des modèles atomiques p-devs.

3.2.4 Simulateurs abstraits et impl´ementations

devs est un formalisme qui permet de spécifier rigoureusement une modélisation d’un système, tirant parti de la modularité et de la décomposition hiérarchique, mais il offre égale-ment une sémantique opérationnelle, par le biais de simulateurs abstraits fournis par Zeigler et coll. (2000). Ces simulateurs abstraits peuvent être considérés comme des algorithmes, indépendants de tout langage de programmation, qui permettent une formalisation sans am-bigu¨ıté de la dynamique du simulateur associé au modèle devs. Comme il existe deux types de modèles, il existe deux types de simulateurs abstraits : lessimulateurs, correspondant aux modèles atomiques, et lescoordinateurs, correspondant aux modèles couplés (voir figure 3.6).

Pour chaque extension dedevs, Parallel-devspar exemple, il existe des simulateurs abstraits correspondants.

Figure 3.6 – Structure hiérarchique d’un modèle devscouplé sous forme d’un arbre, avec la cor-respondance entre les modèles atomiques et couplés d’une part, et les simulateurs et coordinateurs d’autre part. Le coordinateur racine est responsable de la boucle générale de simulation (d’après Zeigler et coll., 2000).

L’existence de ces simulateurs a facilité l’apparition de nombreuses implémentationsdevs, qui ont bénéficié également de l’approche objet de ce formalisme. Ainsi, le concept de modèle hiérarchique se traduit par celui de composition (un modèle couplé est composé – au sens objet – d’autres modèles), les modèles atomiques et couplés se traduisent aisément en classes

Dans le document Simulation dynamique spatialisée de l’évolution de la structure de surface des sols cultivés sous l’action de la pluie THÈSE (Page 68-75)