Mod` ele fonctionnel

5.2.1 Description informelle

Nous ´etudions l’´evolution de la surface d’une portion de sol d’aire inf´erieure au m`etre carr´e, soumise `a une pluie naturelle ou artificielle. Cette ´evolution est gouvern´ee par trois processus de transferts d’eau, la pluie, l’infiltration, le ruissellement, dont certains peuvent influer sur l’´etat du sol par l’interm´ediaire du d´eclenchement d’autres processus. En effet, ces trois processus sont ´evidemment directement responsables de transferts d’eau, mais les gouttes de pluie peuvent de plus provoquer le d´etachement et le transport de particules²,

1. Notre mod`elep-devsde d´egradation de la structure d’un sol par la pluie a fait l’objet d’une publication au sein de la communaut´e Mod´elisation et Simulation (Valette et coll., 2008c).

2. Contrairement `a Legu´edois (2003), nous ne faisons pas de distinction dans notre mod`ele entre d´ etache-ment et d´esagr´egation : nous consid´erons que les gouttes de pluie produisent une certaine quantit´e de fragments de tailles diverses que nous ne diff´erencions que par cette taille (et que nous identifions dans le mod`ele par le terme g´en´erique de«particules»).

5.2. Mod`ele fonctionnel 83 alors que le ruissellement<sup>3</sup> peut lui entraˆıner<sup>4</sup> (ou, inversement, d´eposer) puis transporter ces particules d´etach´ees par les gouttes (tableau 5.1). `A l’´echelle de notre ´etude (longueur de pente de 0.5 m au plus), nous consid´erons que le ruissellement n’est pas suffisamment concentr´e pour ˆetre capable de d´etachement (Legu´edois, 2003). Nous avons donc `a mod´eliser l’action de ces diff´erents processus sur l’espace cellulaire qui repr´esente le terrain.

Eau Sol

Transfert D´etachement Mobilisation ou d´epˆot Transport Pluie

Ruissellement

Infiltration

Tableau 5.1 – Les trois processus hydrauliques impliqu´es dans la d´egradation de l’´etat de surface du sol et les sous-processus qui leur sont associ´es et qui ont un effet direct sur le sol.

Ces processus sont tr`es comparables dans leurs effets sur cet espace cellulaire, mais ils sont diff´erents par nature : quand ils se produisent, l’infiltration et le ruissellement sont des ph´enom`enes continus, alors que la pluie est une succession d’arriv´ees de gouttes, chacune

´etant localis´ee pr´ecis´ement dans le temps et dans l’espace. Il est donc naturel de mod´eliser les deux premiers processus en tant que processus `atemps discret, et le troisi`eme comme un processus `a´ev`enements discrets. Les sous-processus (affectant le sol) qu’ils d´eclenchent, sont bien sˆur mod´elis´es de la mˆeme fa¸con. La figure 5.1 pr´esente comment la succession de ces processus peut se repr´esenter dans un sch´ema informel, cette succession ´etant r´ep´et´ee pendant une simulation et constituant une it´eration. Nous consid´erons que les gouttes de pluie sont des ´ev`enements discrets, ext´erieurs `a l’espace cellulaire, pouvant ˆetre prises en compte pen-dant une certaine p´eriode, corresponpen-dant au pas de temps ∆t du mod`ele, cette p´eriode ´etant qualifi´ee de «phase passive» pour l’espace cellulaire. Cette p´eriode ´etant achev´ee, l’espace cellulaire entre dans sa«phase active» qui va faire se succ´eder l’infiltration puis le ruissel-lement, de fa¸con instantan´ee, cette succession des deux processus `a chaque it´eration ´etant l’approximation de leur action parall`ele dans la r´ealit´e. Nous verrons dans la section 5.2.2.2 que le formalismep-devs permet de d´ecrire exactement ce comportement au sein du mod`ele atomique de sol. La section suivante va tout d’abord replacer ce mod`ele atomique, c’est-`a-dire l’espace cellulaire, dans le mod`ele parall`ele coupl´e qui constitue le cadre exp´erimental.

3. Nous parlerons dor´enavant de ruissellement dans un sens plus large que celui g´en´eralement admis en science du sol, `a savoir le processus d’´equilibrage d’un volume d’eau, mˆeme petit (une goutte de pluie par exemple), sur une surface, mˆeme tr`es r´eduite (par exemple, deux cellules, soit quelques mm²), alors qu’en science du sol on consid`ere qu’il n’y a ruissellement qu’`a partir d’un certain volume d’eau d´eplac´e sur une surface suffisamment grande. ´Etant donn´e que nous traitons le processus `a une ´echelle millim´etrique, il n’y avait pas lieu d’´etablir une telle distinction bas´ee sur un seuil quantitatif.

4. Nous emploierons indiff´eremment les termes d’entraˆınement ou de mobilisation pour cette action du ruissellement sur les particules (d´ej`a d´etach´ees).

84 Chapitre 5. Mod`ele de d´egradation du sol

Figure 5.1 – Repr´esentation de la mod´elisation de la succession des processus de transferts d’eau gouvernant l’´evolution de la structure de la surface du sol. Cette succession correspond `a une it´eration.

5.2.2 Description formelle

5.2.2.1 Mod`ele coupl´e P-DEVS

Notre mod`ele de d´egradation du sol est bas´e sur l’´evolution d’un espace cellulaire qui sera d´ecrit en d´etails dans la section 5.3. Sa description formelle s’appuie donc sur la correspon-dance entre le mod`ele CellSpace et le mod`elep-devs(voir la section 3.3.2), et notre mod`ele coupl´ep-devsreprend le concept de cadre exp´erimental d´efini par Zeigler et coll. (2000) (voir section 1.2.2) qui comprend le mod`ele atomique cellulaire, et se d´ecompose en un g´en´erateur, un interpr´eteur et un accepteur (figure 5.2).

Figure 5.2 –Le mod`ele coupl´ep-devsde la d´egradation du sol par la pluie.

L’accepteur a pour fonction d’autoriser ou non la poursuite de la simulation en cours.

Le crit`ere d’arrˆet est d´ecid´e lors de l’initialisation ; par d´efaut, il s’agit de l’´epuisement de la liste des ´episodes pluvieux demand´es au g´en´erateur, mais un autre crit`ere peut ˆetre employ´e (par exemple le d´epassement d’une certaine quantit´e de sol d´etach´e). Un crit`ere qualitatif est possible : par comparaison avec certains r´esultats num´eriques de r´ef´erence, l’accepteur peut d´ecider d’interrompre la simulation si celle-ci s’´ecarte trop de ces r´esultats. Enfin, l’accepteur peut ´egalement simplement traduire la volont´e de l’utilisateur d’interrompre la simulation.

L’interpr´eteur re¸coit du mod`ele cellulaire l’´etat du sol et doit le transformer pour en permettre une meilleure interpr´etation par l’utilisateur (voire l’accepteur). Dans notre cas,

5.2. Mod`ele fonctionnel 85 l’une des tˆaches essentielles de l’interpr´eteur est de produire des images `a partir de l’´etat de l’espace cellulaire qu’il re¸coit, cela afin de permettre une observation visuelle de l’exp´e-rience virtuelle. Nous verrons dans le chapitre 7 comment l’interpr´eteur produit ces images, mais ´egalement comment il assure une autre fonction importante, celle de d´eduire des va-riables disponibles dans les cellules leur appartenance ou non `a une croˆute (cette information

´etant retourn´ee `a l’espace cellulaire qui peut l’utiliser pour certaines fonctions de transition, notamment l’infiltration).

Le g´en´erateur d´ecrit les entr´ees fournies au mod`ele pendant la simulation. Nous s´eparons ces entr´ees en trois cat´egories, qui correspondent aux trois ports de la figure 5.2 : initialisation, interaction et g´en´eration de pluie (ou, de mani`ere plus g´en´erale, d’eau). L’initialisation per-met de d´efinir toutes les conditions de l’exp´erience virtuelle, notamment le pas de temps, les valeurs des param`etres utilis´es dans les ´equations reprises par les fonctions de transition, les caract´eristiques du sol, etc. Cette ´etape d’initialisation, qui sera d´ecrite dans la section 5.4, permet `a l’utilisateur de changer le mod`ele lui-mˆeme, en modifiant le comportement des fonctions de transition. Il peut par exemple inhiber l’infiltration afin de simuler un sol im-perm´eable, ou bien choisir parmi diff´erentes m´ethodes pour calculer la masse d´etach´ee par une goutte de pluie. L’interaction permet `a l’utilisateur d’envoyer au mod`ele des donn´ees pendant une simulation, par exemple en ajoutant des particules sur une cellule du terrain, ou en changeant le d´ebit fourni par une source d’eau, ce qui ´etend les possibilit´es de l’exp´e-rimentation virtuelle. Enfin, le g´en´erateur est responsable de l’ajout programm´e d’eau sur le terrain, par l’interm´ediaire ou non de gouttes de pluie. Cela se traduit par deux indications : les coordonn´ees de la cellule de surface qui re¸coit l’eau, et la quantit´e d’eau re¸cue, c’est-`a-dire le diam`etre de la goutte de pluie consid´er´ee comme sph´erique, ou directement la hauteur d’eau `a ajouter en cette cellule. La g´en´eration des gouttes de pluie sera d´etaill´ee au chapitre suivant, dans la section 6.2.1.

Formellement, le mod`ele coupl´ep-devs de la d´egradation du solSD se d´efinit donc par la structure suivante, illustr´ee par la figure 5.2 :

SD=hX, Y, D,{M_d},{I_d},{Z_id}i

X est l’ensemble des ´ev`enements d’entr´ee, c’est-`a-dire les indications vers le g´en´erateur provenant du monde ext´erieur, autrement dit les choix de l’utilisateur.

Y est l’ensemble des ´ev`enements de sortie, venant soit de l’interpr´eteur (dans notre cas des images, des courbes) ou de l’accepteur (la d´ecision«oui» ou «non»).

D={g, i, a, c}est l’ensemble des identifiants des composants du mod`ele coupl´e.

Pour toutddeD,Md est un composant, donc un mod`elep-devs:Mg est le g´en´erateur, M_i est l’interpr´eteur, M_a est l’accepteur et M_c est l’espace cellulaire.

Pour toutddeD∪ {SF},I_dest l’ensemble des influences entre composants, repr´esent´ees par des fl`eches dans la figure 5.2 et qui ont ´et´e d´ecrites ci-dessus : par exemple, l’espace cellulaire influence l’interpr´eteur en lui envoyant son ´etat, et l’interpr´eteur influence l’espace cellulaire en lui envoyant une information sur les zones de croˆute.

Pour toutideI_d,Z_idest l’ensemble des fonctions d’interpr´etation sortie-entr´ee entreietd,

86 Chapitre 5. Mod`ele de d´egradation du sol qui sont dans notre cas simplement des fonctions identit´e, puisque les informations ´echang´ees entre composants sont directement identifi´ees et interpr´etables (valeurs de param`etres ou de variables).

La section suivante est consacr´ee `a la description du mod`ele atomique du sol, correspon-dant au composant M_c.

5.2.2.2 Mod`ele atomique de terrain

Nous avons vu au chapitre 3 que Shiginah (2006) a d´emontr´e qu’un mod`ele cellulaire pouvait ˆetre consid´er´e comme ´equivalent `a un mod`ele atomique p-devs, ce dernier pouvant ajouter dans son comportement interne les d´etails et les param`etres qui sont explicitement d´ecrits dans un mod`ele atomique CellSpace. Nous allons donc utiliser la structure classique d’un mod`ele atomique p-devs pour d´efinir formellement notre mod`ele atomique de sol M<sub>c</sub> soumis `a la pluie :

M_c=hX, S, Y, δ_int, δ_ext, δ_con, λ, tai o`u :

X est l’ensemble des ´ev`enements d’entr´ee, qui comprend les informations venant du g´e-n´erateur (initialisation, interaction, arriv´ee d’eau ou de gouttes de pluie), et ´egalement des informations venant de l’interpr´eteur (les cellules consid´er´ees comme croˆut´ees).

Y est l’ensemble des ´ev`enements de sortie, c’est-`a-dire l’´etat du terrain, transmis `a l’in-terpr´eteur.

Sest l’ensemble des ´etats du mod`ele atomique, c’est-`a-dire

{“active”,“passive”} ×S^∗ , S^∗ ´etant l’ensemble des valeurss des variables contenues dans les cellules (voir section 5.2).

Le mod`ele est dans la phase passive quand il est en attente d’´ev`enements externes, et passe en phase active quand il doit prendre en compte l’infiltration et le ruissellement (figure 5.1).

δ_int :S → S est la fonction de transition interne, c’est-`a-dire la succession des fonctions d’infiltrationI et de ruissellementR(qui comprend les sous-processus de mobilisation-d´epˆot et de transport de particules). Cette succession se traduit formellement par le changement de phase et d’´etat op´er´e par la fonction de transition interne :

δint(“passive”, s) = (“active”,I(s)) δ_int(“active”, s) = (“passive”,R(s))

δ_ext : Q×X^b → S est la fonction de transition externe, avec X^b un ensemble de sacs d’´el´ements de X, c’est-`a-dire de l’eau ou des gouttes de pluie et leur cellule d’arriv´ee, et Q l’ensemble {(s, e) | s∈ S, 0 < e < ta(s)},e ´etant le temps ´ecoul´e depuis la derni`ere transition d’´etat. Cette fonction ne modifie pas la phase de l’espace cellulaire, qui reste passive, mais change bien ´evidemment son ´etat par appel `a la fonction qui doit prendre en compte l’arriv´ee d’une goutte de pluie, que nous nommons par cons´equent la fonction de splashSp :

δext(“passive”, s, e, x^b) =

“passive”,Sp(s, x^b)