Interpr´ etation et r´ esultats
7.3 Choix et observations pr´ eliminaires
7.3.1 R´esolutions temporelle et spatiale
7.3.1.1 Ruissellement sur terrain plan
Le mod`ele de ruissellement est tr`es sensible au pas de temps, qui va conditionner la conver-gence de la solution. Par ailleurs, compte tenu de la rapidit´e des transferts par ruissellement et de la taille tr`es r´eduite des cellules, ce pas de temps est tr`es faible en g´en´eral, et c’est lui qui va imposer le pas de temps utilis´e pour l’ensemble du simulateur. Nous avons test´e la conver-gence de l’algorithme de ruissellement sur un cas simple. Nous avons utilis´e un terrain plat de 30 cm×2 cm pr´esentant une pente uniforme de 5 %. L’infiltration est inhib´ee de mani`ere
`a simuler un sol imperm´eable. Le terrain est soumis `a une pluie de 30 mm h−1 pendant 30 s, et le d´ebit `a l’exutoire est enregistr´e `a chaque it´eration. Le d´ebit `a l’exutoire peut ˆetre utilis´e comme un crit`ere de convergence de l’algorithme de ruissellement. En effet, l’hydrogramme se d´ecoupe th´eoriquement en trois phases : une partie croissante, une partie en plateau cor-respondant `a un r´egime permanent, le d´ebit ´etant ´egal alors `a l’intensit´e de la pluie, et enfin quand la pluie est arrˆet´ee, une partie d´ecroissante qui va tendre vers 0. Cette exp´erience a ´et´e r´ealis´ee avec un 8-voisinage (voisinage de Moore) `a des pas de temps diff´erents, de 5 `a 40 ms.
La figure 7.8 montre que les courbes convergent `a partir de 20 ms, ce pas d’it´eration peut donc ˆetre retenu comme donnant une simulation correcte dans ce cas. Nous avons proc´ed´e `a une deuxi`eme s´erie de tests, avec un 8-voisinage al´eatoire (voir section 6.3.1.4), les r´esultats obtenus sont identiques et donc confirment la possibilit´e d’employer un pas de 20 ms. Il est int´eressant de noter que ce pas de temps est tr`es proche de celui donn´e par la condition
7.3. Choix et observations pr´eliminaires 163 de Courant-Friedrichs-Levy (CFL), utilisable en 1D ou pour des cas simples en 2D. Cette condition s’´ecrit : o`u ∆x, ∆y sont les pas d’espace selon deux directions orthogonales,u, vles vitesses selon ces mˆemes directions, etCn le nombre de Courant qui vaut 1 en th´eorie (en pratique on prend souvent une valeur l´eg`erement inf´erieure `a 1).
0
Figure 7.8 – Comparaison des d´ebits `a l’exutoire pour diff´erents pas de temps.
7.3.1.2 Ruissellement sur topographie naturelle
Ainsi que l’avait not´e L´eonard (2000), dans le cas d’une topographie naturelle, il y a une augmentation notable de la contrainte sur le pas de temps qui devient plus stricte que la condition CFL. Sur un terrain complexe, tel que la topographie provenant de la num´erisation du sol reconstitu´e ayant servi `a l’exp´erience sous simulateur de pluie (voir section 7.5.1), il convient donc d’´evaluer avant toute simulation la valeur maximale du pas de temps assurant la convergence. `A cette fin, nous utilisons le crit`ere du d´ebit `a l’exutoire puisque le terrain avait ´et´e plac´e de mani`ere `a offrir une pente principale tr`es marqu´ee.
Nous avons donc utilis´e lemntobtenu apr`es l’exp´erience de simulation de pluie (2 mm de r´esolution) de mani`ere `a pouvoir consid´erer que l’´etat du terrain permettait le ruissellement.
Nous avons simul´e une pluie correspondant `a une intensit´e de 9 mm h−1, pendant 3 min, avec diff´erents pas de temps. En observant les r´esultats reproduits figure 7.9(a) et en gardant comme crit`ere la convergence des courbes, il apparaˆıt effectivement que la convergence des courbes n’est pas visible `a 5 ms, et qu’il faut plus vraisemblablement descendre au moins `a 2 ms pour consid´erer que les courbes correspondant aux pas de temps inf´erieurs sont suffi-samment proches. Nous v´erifions donc qu’une topographie complexe impose sur le pas de temps une contrainte plus s´ev`ere. Nous avons ´egalement v´erifi´e qu’un pas spatial plus grand permettait de relˆacher un peu la contrainte sur le pas de temps. Ainsi, la mˆeme exp´erience sur le mˆeme terrain, mais avec une r´esolution de 5 mm obtenue par krigeage, nous montre que la convergence apparaˆıt plutˆot vers 10 ms (figure 7.9(b)).
164 Chapitre 7. Interpr´etation et r´esultats
Figure 7.9 – Simulation de ruissellement sans infiltration sur le terrain en fin de simulation, `a diff´erents pas de temps et sous une pluie de 9 mm h−1.
7.3.1.3 Influence de la r´esolution spatiale
Nous avons ´etudi´e l’influence de la r´esolution sur la vitesse de l’eau sur une pente simple imperm´eable de 5 %, en variant la r´esolution, le pas de temps et le coefficient de friction.
Pour mesurer la vitesse de l’eau sur une pente, nous pla¸cons une quantit´e importante de particules dans le flux en haut de la pente, en leur interdisant de se d´eposer, et en relevant en bas de la pente la concentration en s´ediment : le pic de concentration est l’indicateur que les particules sont parvenues en bas de la pente, et donc permet d’en d´eduire leur vitesse. La figure 7.10 ne reproduit les r´esultats que pour un seul pas de temps (∆t= 10 ms) car les deux autres pas de temps utilis´es (∆t= 1 ms et ∆t= 50 ms) ont donn´e exactement les mˆemes pics de concentration. Nous constatons sur cette figure une influence normale du coefficient de friction, qui ralentit l’´ecoulement, et aucune influence du changement de r´esolution, les pics de concentration ´etant quasi-parfaitement align´es.
Figure 7.10 – Comparaison de l’influence de la r´esolution sur le temps de parcours des particules sur une pente simple avec trois valeurs de coefficient de friction.
7.3. Choix et observations pr´eliminaires 165 7.3.2 V´erifications
Outre les reproductions d’exp´eriences r´eelles qui ont servi ´egalement `a v´erifier les impl´e-mentations des divers processus, nous avons proc´ed´e explicitement et syst´ematiquement `a la v´erification de la conservation de la mati`ere et de l’eau. L’un des avantages d’une mod´elisation par automate cellulaire est qu’elle permet une gestion explicite de la conservation de la masse, ainsi qu’une comptabilit´e pr´ecise, `a chaque it´eration, des diff´erents constituants des cellules.
Nous avons ainsi pu v´erifier `a chaque exp´erience virtuelle que la quantit´e d’eau apport´ee par la pluie ´etait bien int´egralement transform´ee soit en eau de surface, soit en eau infiltr´ee, en tenant compte de l’eau transmise aux exutoires. La conservation du sol est plus d´elicate `a mettre en place, puisqu’en plus de la mati`ere indissoci´ee et des particules pr´esentes dans les cellules, il faut tenir compte non seulement des particules projet´ees par le splash ou empor-t´ees par le ruissellement dans les exutoires, mais encore de la mati`ere qui disparaˆıt avec les cellules supprim´ees en bas d’une colonne, lorsque l’apport de particules en surface demande la cr´eation d’une nouvelle cellule (voir section 5.3.2). Une fois ces diverses quantit´es prises en consid´eration, il apparaˆıt que la conservation de la masse est bien assur´ee par le simulateur : les courbes des quantit´es de pluie et d’eau, ainsi que les courbes de mati`ere initiale et de mati`ere pr´esente dans le volume se superposent parfaitement. Une analyse plus fine montre de tr`es l´eg`eres variations : la figure 7.11 montre les diff´erences relatives entre ces quantit´es, calcul´ees au cours d’une longue simulation (120 min de pluie suivies de 20 min sans pluie) sur une topographie naturelle, avec deux r´esolutions diff´erentes (5 mm et 10 mm) : les tr`es faibles ´ecarts relatifs enregistr´es (toujours inf´erieurs en valeur absolue `a 12×10−12) peuvent sans doute ˆetre consid´er´es comme dus aux impr´ecisions num´eriques provoqu´ees par l’emploi de nombres `a virgule flottante.
Figure 7.11 –Diff´erences constat´ees lors de deux simulations, avec deux r´esolutions diff´erentes, entre d’une part les quantit´es de pluie et d’eau infiltr´ee et ruissel´ee, et d’autre part la mati`ere initiale et la mati`ere pr´esente dans le terrain virtuel. Ces diff´erences tiennent compte de l’eau et des particules export´ees en dehors du terrain et recueillies par les exutoires.
7.3.3 Temps d’ex´ecution
7.3.3.1 Bilans
Le facteur pr´epond´erant pour le temps d’ex´ecution d’une simulation est ´evidemment le nombre de cellules contenues dans le terrain. Deux dimensions interviennent dans la
d´etermi-166 Chapitre 7. Interpr´etation et r´esultats nation du nombre de cellules : la surface du terrain et sa profondeur. La figure 7.12(a) montre l’influence respective de la surface d’un terrain (carr´e), et du nombre de couches de cellules de ce terrain, sur la dur´ee r´eelle d’une it´eration (moyenne ´etablie sur une simulation de 5 min).
Les relations sont quasi-lin´eaires, et si elles sont calcul´ees sur le crit`ere commun du nombre de cellules, comme pour la figure 7.12(b), leurs pentes respectives montrent qu’il est plus coˆuteux en temps d’agrandir le cˆot´e du terrain que de lui ajouter des couches de cellules. Comme le coˆut de l’ajout d’une couche d´epend a priori ´egalement de la surface du terrain (plus cette surface est grande, plus le nombre de cellules ajout´ees par une couche augmente), nous avons fait le mˆeme test d’augmentation de profondeur avec une surface quatre fois plus grande : la pente est sensiblement identique (7.12(b), courbe orange), ce qui confirme la pr´epond´erance de la surface. Nous avons ´egalement proc´ed´e `a un test d’augmentation de la surface sur une profondeur dix fois plus importante, et cette fois la pente est consid´erablement accentu´ee (7.12(b), courbe verte). Pour ´economiser du temps de calcul, il est donc important de bien dimensionner la surface du terrain, mais sans n´egliger de limiter ´egalement sa profondeur au minimum.
Figure 7.12 –Influence de la surface du terrain et de sa profondeur sur le temps de calcul n´ecessaire
`a une it´eration lors d’une simulation.
Nous avons v´erifi´e l’influence, moins importante, d’un autre facteur sur le temps de calcul d’une simulation : celle de l’intensit´e de la pluie (figure 7.13). Cette influence de l’intensit´e de la pluie s’exerce de mani`ere complexe, mais toujours dans le mˆeme sens : lorsqu’il y a plus de gouttes de pluie dans le mˆeme temps, il y a plus de splash, plus de ruissellement, et plus d’infiltration `a calculer, cela fait donc croˆıtre le temps n´ecessaire `a une it´eration.
Processus Pourcentage
Tableau 7.1 – R´epartition du temps de calcul entre les processus.
7.3. Choix et observations pr´eliminaires 167
Figure 7.13 –Influence de l’intensit´e de la pluie sur un terrain plat sur le temps de calcul n´ecessaire
`a une it´eration lors d’une simulation.
Enfin, nous avons ´etudi´e comment le temps de calcul d’une it´eration ´evoluait au long de cette simulation. La figure 7.14(a) montre cette ´evolution pour un terrain plat de 25×25×5 cellules, avec une pluie de 20 mm h−1 pendant 120 min et un pas d’it´eration de 15 ms. La figure 7.14(b) montre cette ´evolution pour la mˆeme exp´erience, mais sur le terrain naturel de 114×112×5 cellules. Dans les deux cas, le temps de calcul n´ecessaire `a une it´eration tend vers une limite sup´erieure qui est environ le double du temps de d´epart, ce qui peut s’expliquer par le fait que de plus en plus de cellules participent au ruissellement, grand consommateur de temps (voir tableau 7.1), ce que confirme la d´ecroissance brutale observ´ee lors de l’arrˆet de la pluie.
Figure 7.14 – ´Evolution du temps de calcul d’une it´eration durant une simulation.
A cause de l’importance du temps de calcul n´ecessaire `a une simulation d’une dur´ee` correspondante aux exp´eriences sous simulateur de pluie (entre 7 et 9 fois le temps simul´e pour une r´esolution de 5 mm, entre 1.5 et 2 fois le temps simul´e pour une r´esolution de 10 mm), nous avons exp´eriment´e un mod`ele bi-r´esolution permettant de garder un temps de calcul raisonnable tout en am´eliorant la r´esolution du terrain, et la prochaine section est consacr´ee `a une description sommaire de ce mod`ele.
168 Chapitre 7. Interpr´etation et r´esultats 7.3.3.2 Mod`ele bi-r´esolution
Le principe du mod`ele bi-r´esolution est de partager en deux familles les processus : ceux qui peuvent ˆetre trait´es `a l’´echelle centim´etrique (macro-r´esolution), et ceux qui n´ecessitent une ´echelle millim´etrique (micro-r´esolution). Les cellules de terrain ont ainsi une section carr´ee d’aire ´egale `a 1 cm2, et deux cartes de hauteur suppl´ementaires sont ajout´ees, qui ont une r´esolution de 2 mm : une carte de l’altitude du terrain, et une carte de l’´epaisseur de la lame d’eau. Le tableau 7.2 r´esume comment se r´epartissent les actions des diff´erents processus entre les deux r´esolutions. Ainsi la pluie affecte la carte de hauteur de l’eau de surface en r´esolution, et la projection par le splash change la carte d’altitude du terrain en micro-r´esolution. Les autres processus modifient l’espace cellulaire en macro-micro-r´esolution.
Processus Changements Changements
en macro-r´esolution en micro-r´esolution
Pluie Hauteurs d’eau en surface ← Hauteurs d’eau
´Energie cin´etique cumul´ee D´etachement Mati`ere et particules des cellules Projection Particules des cellules et dans le
flux Altitudes
Infiltration Hauteurs d’eau en surface → Hauteurs d’eau Eau des cellules
Ruissellement Hauteurs d’eau en surface → Hauteurs d’eau Mobilisation et d´epˆot Particules des cellules et dans le
flux
Transport Particules dans le flux
R´epartition → Altitudes
Tableau 7.2 – R´epartition des actions des processus entre les deux r´esolutions.
La derni`ere ligne du tableau ajoute un processus de r´epartition des altitudes, qui est obligatoire pour que le relief en micro-r´esolution prenne en compte les changements op´er´es dans les cellules en macro-r´esolution. Cette r´epartition doit donc r´epercuter un changement d’altitude qui affecte une aire de 1 cm2 sur des cellules 25 fois moins grandes. Afin d’´eliminer toute apparition d’artefacts due `a la grille orthogonale, une zone de r´epartition circulaire est d´ecid´ee `a chaque it´eration pour chaque macro-cellule, dont le centre et le rayon sont tir´es al´eatoirement, et seules les micro-cellules `a l’int´erieur de cette zone sont concern´ees par l’algorithme de redistribution de la mati`ere ajout´ee (ou enlev´ee) de la macro-cellule correspondante. Cet algorithme distribue pr´ef´erentiellement une partie de la mati`ere ajout´ee dans les cellules les plus basses de mani`ere `a ne pas ´ecraser le micro-relief (dans le cas de mati`ere enlev´ee, de mani`ere sym´etrique, l’algorithme aplanit pr´ef´erentiellement les sommets).
La conservation de la quantit´e de mati`ere est assur´ee entre les deux grilles. Les figures 7.15 et 7.16 montrent des r´esultats visuels obtenus par ce mod`ele.
Le mod`ele bi-r´esolution a ´et´e abandonn´e car nous nous sommes heurt´es `a un probl`eme que nous n’avons pas r´eussi `a r´esoudre en respectant nos objectifs de gain de temps. En effet, autant nous sommes parvenus `a un algorithme de r´epartition de la mati`ere efficace et pertinent aussi bien visuellement que quantitativement, autant la r´epartition de l’eau entre la