Les Notes Br`eves de Debeaune

La premi`ere difficult´e, pour qui veut ´etudier les Notes Br`eves, a trait au texte source. L’original fran¸cais ´etant perdu, les deux premi`eres sources auxquelles nous pouvons nous r´ef´erer sont les deux traductions latines de

8_{Cf. [Descartes(1964-1974), II, p. 22-23].} 9_{Cf. [Descartes(1964-1974), I, p. 501].}

10_{Cf. [Descartes(1964-1974), II, p. 88]. Donc `a un d´ebutant dans l’alg`ebre.} 11_{Cf. [Descartes(1964-1974), II, p. 276].}

1.2. LES NOTES BR `EVES DE DEBEAUNE 15

Schooten qui figurent dans les ´editions latines de la G´eom´etrie de 1649 et 1659-166113_{. D’autre part, nous disposons ´egalement de deux copies de l’ori-}

ginal fran¸cais : une copie retrouv´ee `a Londres au British Museum et une copie figurant `a Paris `a la Biblioth`eque Nationale auquelle est jointe une lettre de Debeaune `a Schooten qu’on peut dater de 1648.

La premi`ere copie pr´esente des corrections post´erieures `a 1649, le cor- recteur relevant des omissions faites par Schooten dans sa traduction latine de 1649. Selon Adam-Milhaud, ce texte, pr´esentant de nombreuses omissions et erreurs de copie, envoy´e peut-ˆetre par Mersenne en Angleterre comme l’Introduction `a la G´eom´etrie, serait certainement le plus ancien. Le texte de Paris, beaucoup plus complet et plus exact, est en revanche conforme `a quelques exceptions pr`es `a la traduction latine de Schooten de 164914_.

Adam-Milhaud l’ont du reste publi´e dans leur ´edition de la Correspondance cart´esienne15_.

Cette copie de Paris pr´esent d’autre part des ajouts relativement `a la premi`ere version des Notes Br`eves r´edig´ee par Debeaune `a la fin de l’ann´ee 1638 comme en t´emoigne une lettre de Debeaune `a Schooten que nous datons de juin 164816 <sub>et qui m´erite d’ˆetre cit´ee. D´ecouverte `a la Biblioth`eque Natio-</sub>

nale avec la copie en fran¸cais des Notes Br`eves de Debeaune que nous venons de mentionner apr`es la publication des Œuvres de Descartes dans l’´edition d’Adam-Tannery, on la trouve seulement dans l’´edition d’Adam-Milhaud17_.

Debeaune ´ecrit :

[...] j’apprends par la vˆotre que vous avez traduit en la- tin certaines notes, que j’ai envoy´ees, il y a environ dix ans `a Monsieur Descartes, faites sur sa G´eom´etrie pour avoir occa- sion de m’´eclaircir avec lui de quelques difficult´es. Vous pouvez bien penser que je ne croyais pas qu’elles dussent ˆetre publiques, puisque je n’avais alors vu aucun autre livre de l’analyse sp´ecieuse qu’H´erigone18 <sub>et que j’eusse plus apport´e de circonspection `a les</sub>

13_{Cf. [Descartes(1649), p. 119-161] et [Descartes(1659-1661), I, p. 107-142].} 14_{Nous en avons relev´e certaines. Cf. infra [section 4.2.3, p. 105].}

15_{Cf. [Debeaune(1638-1648)].}

16_{Adam-Milhaud datent cette lettre de 1648-1649. Nous renvoyons pour les justifications}

de cette datation `a notre article `a paraˆıtre : [Maronne(2006)].

17_{Cf. [Descartes(1964-1974), III, p. 321-322].}

18_{Debeaune fait r´ef´erence ici au deuxi`eme tome du Cursus Mathematicus, manuel}

math´ematique bilingue de cinq tomes compos´e en latin et en fran¸cais par Pierre H´erigone et publi´e `a Paris en 1634. Cf. [H´erigone(1634-1637), II]. Pour plus d’informations sur H´erigone

16 CHAPITRE 1. LES COMMENTAIRES SUR LA G ´EOM ´ETRIE

´ecrire. N´eanmoins c’est le moins que je dois `a la peine que vous avez pris de les traduire que de trouver bon que vous en usiez `a votre libert´e. [...]

Je d´esire seulement qu’avant de finir les observations sur les lieux, plans et solides, vous ajoutiez la derni`ere que je vous envoie `a part de cette lettre, afin qu’il ne reste rien `a d´esirer touchant ces lieux.19

Si l’ajoˆut de cette cinqui`eme observation sur le probl`eme de Pappus est at- test´e, nous sugg´erons en outre dans la suite en nous appuyant entre autres sur une lettre de Descartes du 25 d´ecembre 1639 que la m´ethode des tangentes qu’on trouve dans le commentaire de Debeaune aurait ´et´e ´egalement ajout´ee ult´erieurement `a la premi`ere version r´edig´ee par Debeaune `a la fin de l’ann´ee 163820_{. On pourrait en cons´equence dater le texte de Paris d’Adam-Milhaud}

de 1648 au plus tard.

Nous disposons par contre d’´el´ements de datation relativement pr´ecis sur la gen`ese de ce premier texte des Notes Br`eves. Debeaune, qui ne se sa- tisfaisait pas de l’Introduction `a la G´eom´etrie que lui avait communiqu´e Mersenne, lui avait annonc´e dans une lettre du 13 novembre 1638 son projet « d’´ecrire l’´eclaircissement de toutes les difficult´es » se trouvant dans le trait´e cart´esien21<sub>. Adam-Tannery conjecturent qu’`a la mˆeme date Debeaune aurait</sub>

inform´e Descartes de son dessein dans sa lettre incluse22_.

Trois mois plus tard, Descartes donnait son accord `a Mersenne le 9 f´evrier 1639 pour qu’on lui envoyˆat les Notes de Debeaune « pour son utilit´e par- ticuli`ere »23_{, notes dont Mersenne l’avait semble-t-il entretenu auparavant}

dans sa lettre du 15 janvier 163924_{. Le 20 f´evrier 1639, Descartes r´epondait}

avec empressement et enthousiasme `a Debeaune « pour le remercier de ses Notes sur la G´eom´etrie »25_{. Ainsi, Descartes avait du recevoir dans l’inter-}

et plus pr´ecis´ement sur son trait´e d’alg`ebre, on peut consulter [Massa Esteve(s.p.)] et [Cifoletti(1990), p. 136-162].

19_{Cf. [Descartes(1936-1963), III, p. 321-322]. Sur cette cinqui`eme observation, cf. in-}

fra [section 4.2.3, p. 106].

20_{Cf. infra [section 10.4.4, p. 352].} 21_{Cf. [Descartes(1964-1974), V, p. 526].} 22_{Cf. [Descartes(1964-1974), V, p. 524].} 23_{Cf. [Descartes(1964-1974), II, p. 499].}

24_{Descartes r´epond `a une lettre de Mersenne du 15 janvier 1639, lettre aujourd’hui}

perdue, lorsqu’il excepte les Notes de Debeaune de son interdiction `a recevoir quelque ´ecrit que ce soit par l’entremise de Mersenne.

1.2. LES NOTES BR `EVES DE DEBEAUNE 17

valle s´eparant le 9 du 20 f´evrier les Notes envoy´ees par Debeaune, qui lui avaient ´et´e au pr´ealable annonc´ees soit par Mersenne dans sa lettre du 15 janvier, soit par Debeaune lui-mˆeme dans une lettre du 13 novembre 1639.

D´ecrivons `a pr´esent succinctement le contenu des Notes Br`eves26_{. Apr`es}

une premi`ere partie consacr´ee `a l’alg`ebre sp´ecieuse et `a sa relation avec la M´ethode27_{, qui rel`eve de la philosophie des math´ematiques, les notes sui-}

vantes prennent un tour plus technique et visent `a ´eclaircir ou `a compl´eter le texte cart´esien.

Citons parmi elles celles qui nous paraissent les plus importantes : la cinqui`eme observation sur le probl`eme de Pappus28 _{o`u Debeaune donne la}

classification d’une classe d’hyperboles solution du probl`eme de Pappus et celle o`u Debeaune pr´esente une nouvelle m´ethode des tangentes29 sur les- quelles nous reviendrons dans la suite30_.

En effet, force est de constater en lisant le texte et la pr´esentation donn´ee par Adam-Milhaud31_{, qu’au sein des Notes Br`eves, les deux notes pr´ec´edentes}

font figure d’exception et apparaissent comme ´etant les seules v´eritables ad- ditions math´ematiques de fond au texte de la G´eom´etrie, qui plus est, sur deux points essentiels de ce texte : la r´esolution du probl`eme de Pappus et la classification en genres, la m´ethode des normales.

Dans les autres notes o`u Debeaune procure par exemple l’analyse d’un probl`eme dont Descartes n’avait fait que donner la construction32_{, ou bien}

consid`ere d’autres solutions particuli`eres au probl`eme de Pappus33_{, on aurait}

bon droit `a dire, comme Descartes, que Debeaune n’a fait que combler les omissions du texte de la G´eom´etrie en produisant ici des ´eclaircissements, l`a des d´eveloppements ou exemples nouveaux, qui n’ajoutent finalement rien, sur le fond, `a la th´eorie cart´esienne.

26_{Pour une description synth´etique plus d´etaill´ee que la notre, cf. la pr´esentation de}

G´erard Milhaud : [Descartes(1936-1963), III, p. 361-367].

27_{Cf. [Debeaune(1638-1648), p. 368-372]. Sur cette partie, cf. la pr´esentation de G´erard}

Milhaud [Descartes(1936-1963), III, p. 361-362], [Savini(2004), p. 285-290] et [Bos(2001), p. 300-301].

28_{Cf [Debeaune(1638-1648), p. 386-389].} 29_{Cf [Debeaune(1638-1648), p. 390-392].}

30_{Cf. respectivement infra [section 4.2.3, p. 104] et [section 10.5, p. 353].} 31_{Cf. [Descartes(1936-1963), IV, p.361-367] et [Debeaune(1638-1648)].}

32_{C’est le cas par exemple pour la construction des probl`emes plans.}

Cf. [Debeaune(1638-1648), p. 373-375].

33_{Comme dans les observations deuxi`eme, troisi`eme et quatri`eme sur le probl`eme de}

18 CHAPITRE 1. LES COMMENTAIRES SUR LA G ´EOM ´ETRIE