Au niveau des jeux d’intérieur

Un système formel de déduction a déjà été présenté dans la partie précédente (partie 2, chapitre 2). Il s’agit de la Logique Dialogique de Lorenzen. Je propose également à cet endroit plusieurs exemples d’usage. Je rappelle simplement ci-dessous les règles de manipulation associées à chacun des deux quantificateurs :

Règle de manipulation pour le quantificateur universel : Si un joueur soutient ∀xA(x), l’autre joueur peut attaquer l’énoncé universel. Le défenseur poursuit alors par l’assertion A(t) où la lettre t est choisie par le joueur qui attaque.

55 Arsac & Durand-Guerrier (2001) relèvent par exemple la variété des habitudes des enseignants concernant leur traitement de la quantification existentielle à l’université.

Règle de manipulation pour le quantificateur existentiel : Si un joueur soutient ∃xA(x), l’autre joueur peut attaquer l’énoncé existentiel. La défense consiste alors à choisir une lettre t et à faire l’assertion A(t).

Je présente maintenant un autre système de déduction, la Déduction Naturelle. Ce système permet de construire des démonstrations dont la structure est assez proche de la structure ordinaire des preuves mathématiques. Pour cette raison, il a déjà été utilisé en didactique des mathématiques (Durand-Guerrier & Arsac, 2005, Arsac & Durand-Guerrier, 2001, Chellougui, 2004). Ces auteurs s’appuient sur la version de la déduction naturelle due à Copi (1954). Concernant la quantification, le choix de présentation que j’utilise ci-dessous correspond selon le vocabulaire de Pelletier (2006, p. 118) à un système de Fitch (Fitch-system). Il est légèrement différent du système de Copi. Dans la déduction naturelle, chaque pas de déduction d’une preuve conduit à éliminer ou à introduire un connecteur logique ou un quantificateur par l’usage d’une règle d’inférence dite d’introduction ou d’élimination. Je me concentre sur les règles de manipulation des quantificateurs en optant pour une présentation en ligne (les déductions sont parfois présentées sous forme d’arbre) :

Règle d’introduction du quantificateur existentiel (intro∃) : étant donné P(a), on peut déduire )∃xP(x où x est une lettre de variable.

Règle d’élimination du quantificateur existentiel (élim∃): étant donné ∃xP(x), si en faisant l’hypothèse P(a), où a est une nouvelle lettre de constante, on peut déduire la formule Q (formule dans laquelle la lettre a n’apparaît pas), alors on peut déduire Q de l’hypothèse de départ.⁵⁶

Règle d’élimination du quantificateur universel (élim∀): à partir de ∀xP(x), on peut

56 Cette règle fait intervenir une sous preuve au sein de laquelle la lettre a est introduite. Selon Pelletier (2000), cette présentation est utilisée par Fitch (mais aussi par Gentzen). Ce choix de l’introduction d’une sous preuve pour la manipulation de la nouvelle variable introduite distingue ce système de celui introduit en didactique par Durand-Guerrier en référence à Copi. L’exemple qui suit précisera cette distinction.

déduire P(a) où a est une lettre de constante choisie sans restriction.

Règle d’introduction du quantificateur universel (intro_∀) : à partir de P(a), on peut déduire )

(x

∀xP dans la mesure où la lettre de constante a n’apparaît pas dans les hypothèses dont P(a) dépend⁵⁷.

Voici maintenant un exemple de manipulation de ces règles d’introduction et d’élimination. Il est possible de démontrer la formule ∃x∀y(xRy)⇒∀y∃x(xRy) de la manière suivante :

1. )∃x∀y(xRy Hypothèse

2. ∀y(aRy) Nouvelle hypothèse 3. aRb Elimination de l’universel sur (2) 4. ∃x(xRb) Introduction de l’existentiel sur (3)

5. )∃x(xRb Elimination de l’existentiel sur (1) et (4), l’usage de cette règle décharge l’hypothèse (2)

6. )∀y∃x(xRy Introduction de l’universelle sur (5), ceci est possible puisque la seule hypothèse dont dépend (5) est (1)

7. )∃x∀y(xRy)⇒∀y∃x(xRy Introduction de l’implication sur (1) et (6)

Le fait que (5) ne dépende que de (1) est lié au fait que la règle d’introduction du quantificateur existentiel a utilisé une sous-preuve. Cette sous-preuve est close par l’application de la règle d’introduction si bien que les assertions (2), (3) et (4) ne comptent pas comme des hypothèses pour (5). Si l’on souhaite se passer de ces sous-preuves, il est nécessaire de modifier la version de la règle d’introduction du quantificateur universel donnée ci-dessus. Si l’on reprend la preuve précédente en supposant qu’il n’y a pas de sous-preuve, dans ce cas (2) n’est pas introduite comme une hypothèse mais par l’usage de la règle d’élimination d’un quantificateur existentiel, la formulation actuelle de la règle d’introduction de l’universel ne permet pas de montrer la déductibilité de ∃x∀y(xRy)⇒∀y∃x(xRy). En

57 La restriction sur l’usage de cette règle a pour objectif d’empêcher les déductions invalides comme dans le cas où P(a) aurait été obtenu en faisant une hypothèse ou par une instanciation existentielle.

effet, dans la preuve ci-dessous, la lettre b apparaît en (3) et ceci empêche, par la clause de restriction, l’introduction du quantificateur universel après (4)⁵⁸ :

1. ∃x∀y(xRy) Hypothèse

2. )∀y(aRy Elimination de l’existentiel sur (1) 3. aRb Elimination de l’universel sur (2) 4. )∃x(xRb Introduction de l’existentiel sur (3)

Il faut trouver une nouvelle formulation des restrictions de la règle d’introduction du quantificateur universel. La règle utilisée par Copi⁵⁹ et repris par Durand-Guerrier, Arsac et Chelloughui en didactique stipule que l’on peut déduire ∀xP(x) à partir de P(a) dans la mesure où la lettre a n’est pas été introduite par une hypothèse et qu’aucune lettre de constante présente dans P(a) (a y compris) n’ait été introduite par l’usage de la règle d’élimination du quantificateur existentiel. Dans le cas ci-dessus, cette règle permet d’introduire un quantificateur universel sur ∃x(xRb) puisque la lettre b a été introduite par l’usage de la règle d’élimination du quantificateur universel. Elle maintient néanmoins ce qui est nécessaire dans les restrictions d’usage afin d’empêcher la possibilité de déductions invalides. Dans la perspective de ce paragraphe qui est de rechercher des expressions explicites pour les pratiques de la quantification, il m’a paru intéressant de présenter un système faisant intervenir un sous-jeu. Le choix de présentation des déductions qu’il propose permet une prise en charge d’une partie des restrictions d’usage par des considérations de forme (les assertions qui se situent sur la droite – i.e. dans les sous-preuves closes – ne comptent pas comme hypothèses). D’un point de vue pratique, la règle utilisée par Copi confère une responsabilité plus grande à celui qui construit la preuve et contribue potentiellement à générer une part d’implicite accrue.

Le Calcul des Séquents est un autre système, issu de la déduction naturelle, permettant de présenter des déductions. Comme la déduction naturelle, il est dû à Gentzen. Le principal changement est lié au fait que l’on fait apparaître à chaque séquent (chaque ligne de calcul), les hypothèses A₁,...,A_n et la conclusion B . Un séquent possède alors la forme A₁,...,A_n B.

58 Dans la formulation des restrictions des règles le terme d’hypothèse doit ce comprendre comme synonyme d’assertion préalable qui n’a pas été déchargée (par un processus de sortie d’une sous-preuve).

59 Dans la deuxième édition de son ouvrage (cf. Pelletier (2000)).

Dans le calcul des séquents, les preuves manipulent de manière symétrique les hypothèses et les conclusions. Les règles associées aux quantificateurs sont les suivantes :

Règle du quantificateur existentiel à droite (∃droite) : du séquent H P(a), on peut dériver le séquent H ∃P(x).

Règle du quantificateur universel à droite (_∀droite) : du séquent H P(a), on peut dériver le séquent H ∀xP(x). Cette règle est valable dans la mesure où a ne figure pas dans H.

Règle du quantificateur existentiel à gauche (_∃gauche) : du séquent H,P(a)C, on peut dériver le séquent H,∃P(x)C. Cette règle est valable dans la mesure où a ne figure ni dans H, ni dans C.

Règle du quantificateur universel à gauche (_∀gauche) : du séquent H,P(a)C, on peut dériver le séquent H,∀xP(x)C.

Pour reprendre l’exemple déjà utilisé ci-dessus, une dérivation de ∃x∀y(xRy)⇒∀y∃x(xRy) se présente cette fois de la manière suivante :

1. aRbaRb Axiome, A A « de A, on peut déduire A » 2. ∀y(aRy)aRb Règle de l’universel à gauche

3. ∀y(aRy)∃x(xRb) Règle de l’existentiel à droite

4. ∃x∀y(xRy)∃x(xRb) Règle de l’existentiel à gauche, ceci est possible car, hormis dans ∀y(aRy), a n’apparaît plus dans (3)

5. ∃x∀y(xRy)∀y∃x(xRy) Règle de l’universelle à droite, ceci est possible car, hormis dans ∃x(xRb), b ne figure pas dans (4)

6. ∃x∀y(xRy)⇒∀y∃x(xRy) Règle d’introduction du conditionnel à droite

On peut remarquer que le calcul des séquents n’est pas un moyen de présenter des preuves à proprement parler, il s’agit plutôt d’un système de transformation d’une preuve en une autre preuve. Selon Joinet (à paraître), la perspective de Gentzen a évolué entre la déduction naturelle et le calcul des séquents. Les règles de la déduction naturelle montrent une certaine recherche de la naturalité au sens où ces règles logiques peuvent se voir comme un essai de formalisation des pratiques implicites de déduction que les mathématiciens mettent en œuvre tacitement. Le calcul de séquents relève quant à lui d’une sorte d’esthétisme mathématique où

"symétrie", "simplicité", "élégance" prennent le pas sur la naturalité […]⁶⁰. Néanmoins, s’il est possible de dériver un séquent de la forme A , cela signifie que l’on a construit une preuve de A à partir d’autres preuves (les seules preuves « données » sont celles issues de l’utilisation de l’axiome A A).

Pour mon objectif, qui est de présenter quelques explications logiques de la quantification (de manière certes très superficielle), il est intéressant d’en préciser les régularités. Les deux exemples de preuves précédents explicitent un parallèle entre les règles de la déduction naturelle et celles du calcul des séquents concernant l’usage des quantificateurs. Je résume ces régularités dans le tableau ci-dessous :

DN CS Commentaires

Elim _{∀ ∀}gauche « Elim_∀→∀gauche » : si on connaît une preuve (au sens de DN) de C à partir de P(a) alors on peut construire une preuve de C à partir de

) (x

∀xP . Il suffit d’appliquer élim∀ puis de copier la preuve connue de C à partir de P(a).

« ∀gauche → ^élim∀ » : La validité de la règle élim∀ se montre

60 Joinet, J.-B. (à paraître). Nature et Logique de G. Gentzen à J.-Y. Girard.

Texte disponible à l’adresse http://www-philo.univ-paris1.fr/Joinet/GentzenGirard.pdf

(au sens de CS) en appliquant l’axiome d’identité P(a) P(a) puis en appliquant _∀gauche pour obtenir ∀xP(x) P(a).

Intro ∃ ∃droite « Intro∃→ ∃droite » : Si on connaît une preuve (au sens de DN) de P(a) à partir de H alors on peut construire une preuve de ∃xP(x)à partir de H. Il suffit de copier la preuve de P(a) puis d’appliquer intro∃.

« ∃droite→ ^Intro∃ » : ∃droite revient à dire qu’une preuve de P(a) sous l’hypothèse H peut être transformée en une preuve de ∃xP(x). Cela revient à dire que si l’on peut déduire P(a) alors on peut aussi déduire )∃xP(x , ce qu’exprime intro∃.

Elim ∃ ∃gauche « Elim ∃↔∃gauche » : La règle élim ∃ dit exactement ce que dit

∃gauche au niveau des preuves. D’autre part, les restrictions d’application coïncident. Dire que a est une nouvelle lettre au sens de élim ∃ revient à dire que a est n’est pas dans H au sens de ∃gauche.

D’autre part, les deux règles affirment que a ne doit pas apparaître dans la conclusion.

Intro ∀ ∀droite « Intro∀→∀droite » : Si on connaît une preuve (au sens de DN) de P(a) à partir de H, alors on peut construire une preuve de∀xP(x)à partir de H. Il suffit de copier la preuve de P(a) puis d’appliquer intro∀. Si a n’apparaît pas dans H alors a n’est pas non plus dans les hypothèses de P(a) et la restriction de intro∀ ne s’applique pas.

« ∀droite→ ^intro∀ » : ∀droite revient à dire qu’une preuve de P(a) sous l’hypothèse H peut être transformée en une preuve de

) (x

∀xP dans la mesure ou a n’apparaît pas dans H. Cela revient à dire que si l’on peut déduire P(a) sans faire d’hypothèse sur a alors on peut déduire ∀xP(x), ce qu’exprime intro∀.

Cette comparaison peut s’étendre à la logique dialogique. Le fait qu’il y ait dans ces systèmes deux règles associées à la manipulation des constantes logiques, introduction et élimination ou droite et gauche, alors qu’il n’y en avait qu’une seule dans la logique dialogique de Lorenzen résulte de leur caractère monologique. Plus précisément les deux règles de manipulation des constantes logiques de ces approches sont synthétisées en une seule règle à travers l’introduction d’un deuxième joueur dans la logique dialogique. Je propose plus bas une mise en relation explicite des règles du calcul des séquents avec celles de la logique dialogique. Il est par ailleurs possible de regarder une assertion faite par l’opposant dans un jeu dialogique comme une hypothèse du même jeu interprété de manière monologique. Une assertion du proposant peut être vu de manière monologique comme quelque chose qu’il faut chercher à justifier à partir des hypothèses données par les assertions de l’opposant. Le déséquilibre à propos de la possibilité pour les joueurs d’énoncer une proposition atomique⁶¹ peut alors s’interpréter comme le fait qu’il est toujours possible de faire des hypothèses arbitraires alors que la seule manière de justifier d’une proposition atomiques est qu’elle fasse partie des hypothèses. Cependant, le calcul des séquents progresse en travaillant sur des couples (hypothèses, conclusion). On peut interpréter ces couples, via la correspondance développée plus haut avec la déduction naturelle, comme des couples pour lesquels on sait construire une preuve de la conclusion à partir des hypothèses. A contrario, la logique dialogique fonctionne à partir de couples (toutes les assertions de l’opposant, la dernière assertion du proposant) pour lesquels une relation de preuve n’est à priori pas connu.

En particulier, une partie de logique dialogique commence par l’assertion par le proposant de ce que l’on cherche à démontrer. Ce que dit le proposant est ce qu’il faut justifier en faisant faire les bonnes assertions à l’opposant, c'est-à-dire en se donnant les bonnes hypothèses, à travers des choix stratégiques pertinents d’attaque. La progression d’un dialogue va d’un ensemble de plus en plus grand d’assertions faites par l’opposant à un ensemble de plus en plus petit de choses à justifier pour le proposant. Le terme « petit » est ici à prendre au sens de la décomposition des formules logiques en éléments plus simples de formules logiques complexes. Le terme « grand » est à comprendre en termes de nombre d’assertions que le proposant peut utiliser, chacune d’entre elles étant plus « petite » au sens précédent. Si l’objectif est d’établir un théorème, le calcul des séquent progresse dans le sens inverse, c'est-à-dire d’un ensemble d’hypothèses dont il faut se débarrasser, il en faut un nombre moins

61 Le proposant ne peut soutenir une proposition atomique que lorsque cette proposition a déjà été soutenue par l’opposant. L’opposant n’est pas soumis à cette contrainte.

« grand », à une conclusion qu’il faut construire au sens de la composition logique des formules. Le calcul s’arrête quand il n’y a plus d’hypothèse et que la conclusion est là. On peut d’ailleurs remarquer que les parties de la logique dialogique se terminent par les assertions par les joueurs des énoncés atomiques alors que les preuves formulées dans le calcul des séquents commencent par l’usage des énoncés atomiques à travers l’usage de l’axiome (voir la preuve ci-dessus pour un exemple). Lorenzen (1967, p. 30) évoque cette symétrie entre les deux méthodes de preuves en montrant comment les règles du calcul des séquents pouvaient être obtenues à partir de celle de la logique dialogique par un retournement des tableaux de logique dialogique. Pour établir les correspondances, il faut se souvenir que toutes les assertions de l’opposant sont gardées en mémoire en vue d’être utilisées alors que du côté du proposant, seule la dernière assertion doit être conservé pour être défendue. Je continue ci-dessous ma comparaison des explications de la quantification au niveau des jeux d’intérieur en explicitant les relations entre les règles du calcul des séquents et celles de la logique dialogique concernant la manipulation des quantificateurs. Par extension, cette comparaison exprime aussi les relations entre la logique dialogique et la déduction naturelle.

Règle du quantificateur universel utilisée par l’opposant : H C

) (x

∀xP ?a

P(a)

Ce tableau, lu de bas en haut, correspond à la règle ∀gauche du calcul des séquents (ou élim.

∀ en déduction naturelle) :

De H,P(a),∀xP(x)C, on peut dériver H,∀xP(x)C Cette règle est équivalente à la règle donnée plus haut :

De H,P(a)C, on peut dériver H,∀xP(x)C

On obtient la deuxième à partir de la première en faisant un affaiblissement gauche (en rajoutant un hypothèse) et on obtient la première à partir de la deuxième par une contraction gauche (en supprimant une redondance dans les hypothèses).

Correspondance des restrictions d’usage : cette règle est valable sans restriction sur a ce qui signifie en inversant l’ordre de lecture que le choix est libre pour le proposant, autrement dit que l’on peut librement choisir cette lettre dans la recherche d’une stratégie gagnante pour le proposant.

Règle du quantificateur existentiel utilisée par le proposant : H …

? ∃xP(x)

P(a)

Cette règle correspond à la règle ∃droite (ou intro. ∃ en déduction naturelle) : De H P(a), on peut dériver H ∃P(x)

Correspondance des restrictions d’usage : cette règle est valable sans restriction sur a ce qui signifie que le choix est libre pour le proposant, autrement dit que l’on peut librement choisir cette lettre dans la recherche d’une stratégie gagnante pour le proposant.

Règle du quantificateur existentiel utilisée par l’opposant :

H C

) (x

∃xP ^?

P(a)

Cette règle correspond à la règle ∃gauche (ou élim. ∃ en déduction naturelle) : de H,∃xP(x),P(a)C, on peut dériver H,∃xP(x)C Cette règle est équivalente à la règle donnée plus haut :

De H,P(a)C, on peut dériver le séquent H,∃P(x)C

On obtient la deuxième à partir de la première en faisant un affaiblissement gauche (en rajoutant une hypothèse) et on obtient la première à partir de la deuxième par une contraction gauche (en supprimant une redondance dans les hypothèses).

Correspondance des restrictions d’usage : le fait que l’on exige dans le calcul des séquents que a ne figure ni dans H, ni dans C correspond en logique dialogique à la dévolution du choix de la lettre à l’opposant. Pour gagner une partie, l’opposant n’a pas intérêt de faire son choix parmi les lettres déjà avancées dans le jeu lors des précédentes assertions de l’opposant, c'est-à-dire les hypothèses dans le vocabulaire du calcul des séquents, ou dans la dernière assertion du proposant, la conclusion. De ce point de vue et puisque l’objectif de l’étude d’un jeu dialogique est de parvenir à trouver une stratégie gagnante pour le proposant contre n’importe quel opposant, on peut supposer sans conséquences réelles que l’opposant utilise une nouvelle lettre.

Règle du quantificateur universel utilisée par l’opposant : H …

?a ∀xP(x)

P(a)

Cette règle correspond à la règle ∀droite (ou intro. ∀ en déduction naturelle) : de H P(a), on peut dériver H ∀xP(x)^.

Correspondance des restrictions d’usage : dans le calcul des séquents, cette règle ne peut être appliquée que dans la mesure où a ne figure pas dans H. Cela revient à faire dévolution du choix de la lettre à l’opposant (qui d’un point de vue des possibilités stratégiques du proposant n’a pas intérêt à recycler une lettre).