Modéliser les forces par des singularités

L'étude des écoulements rampants générés par battement ciliaire a été rendue possible par l'utilisation de méthodes reproduisant l'écoulement au moyen de distribution de singulari- tés généralement appelées charges ponctuelles ou bien encore stokeslets [82, 164], que nous introduisons ci-dessous.

2.3.1.1 Introduction au stokeslets

Il a été démontré dès le milieu des années 70 que si l'on considère, dans un écoulement à très faible nombre de Reynolds, l'intensité et la direction d'une force ponctuelle étant à l'origine d'un système de coordonnées x comme étant 8πμα, où α désigne l'intensité et la direction d'un stokeslet, alors les solutions pour la vitesse et la pression du uide peuvent s'écrire sous la forme [37] :

u(x, α) = α/r + (α · x)x/r3

p(x, α) = 2μα · x/r3 (2.11)

où r = |x|. L'implication majeure de ceci est la possibilité de construire des singularités d'ordres plus élevés en combinant cette solution et ses dérivées. L'écoulement généré par des agelles put ainsi être étudié pour la première fois en superposant de telles solutions [71, 82]. Par la suite, il fut montré que les solutions de nombreux écoulements complexes pouvaient être trouvées grâce à la superposition de ces singularités, utilisant pour cela les solutions exactes obtenues pour des géométries simples, telles par exemple des sphéroïdes se déplaçant dans un écoulement [36, 37]. Parmi les solutions établies, une est particuliè-

rement importante pour la modélisation des cils : la solution obtenue pour la translation d'un sphéroïde allongé d'axe majeur a et d'axe mineur b. En décomposant sa vitesse en une composante parallèle Us et perpendiculaire Un par rapport à l'axe principal, et en

considérant la force exercée sur un élément contenu entre deux plans perpendiculaires à l'axe majeur de ce sphéroïde et séparés d'une distance ds, il a été montré que la force

pouvait elle aussi être décomposée en deux composantes :

Fs=−CsUsds; Fn =−CnUnds (2.12)

où Cset Cn sont des constantes dépendantes de μ, a, et b, maisindépendantesdesvitesses

uides Us et Un et de la position de l'élément. Pour un sphéroïde allongé mince, que l'on

peut assimilé à un cil, les coecients Cs et Cn ont la forme suivante :

Cs= 2πμ ln(2a/b) − 1₂[1 +O( 2_{)] (2.13)} Cn = 4πμ ln(2a/b) − 1₂[1 +O( 2_{)] (2.14)}

Néanmoins, les solutions mentionnées ci-dessus ne sont exactes que pour un nombre de Reynolds nul. Ainsi, il est nécessaire de prendre en compte la contribution des eets inertiels, malgré le fait qu'ils soient très faibles, lorsque l'on étudie le champ lointain généré par les stokeslets. En eet, ces eets auront alors une inuence aussi importante que celle destermesvisqueux. Cependant, en linéarisant lestermesinertielsdu champ lointain (approximation d'Oseen), on peut modéliser l'écoulement à l'aide de ces solutions.

2.3.1.2 La théorie des corps minces

L'idée derrière la théorie descorpsmincesest d'obtenir dessolutionssimpliéespour l'écoulement autour du solide lorsque le corps considéré est susamment mince. La - gure 2.14 présente un corps mince de longueur l, et rayon a tel que l  a, entouré par un uide de viscosité μ gouverné par leséquationsde Stokes. Le but est de trouver la bonne distribution de stokeslets le long de l'axe s qui assurera la condition de non-glissement au point A de la gure 2.14. Pour cela, il faut égaler la vitesse uide induite en ce point avec la vitesse du solide (déjà connue).

Le champ lointain d'un stokeslet d'ordre 1 décroît en r−1_{, et son inuence est ainsi prédomi-}















Figure 2.14 Vue schématique d'un corps mince de rayon a.

etc.) qui décroissent en r−2_{. Aussi, une simplication utile de la théorie des corps minces}

est de supposer que la vitesse uide induite au point A par une singularité quelconque (un doublet par exemple) sera, dans le champ lointain, dominée par les stokeslets d'ordre 1. L'objectif premier est donc de trouver la bonne combinaison de stokeslets d'ordre 1 sur l'axe du corps mince, puis d'imposer ensuite la condition de non-glissement à la paroi en utilisant des singularités d'ordre supérieur dont l'eet ne se fera sentir que dans le champ proche. L'eet de toutes les singularités dont l'inuence décroît plus vite que r−1 _{dans le}

champ lointain peut être déterminé en les intégrant depuis les distances si = ±λ depuis

le point O, avec s1, s2 λ  a où s1 et s2 sont les distances séparant le point O des extrémités du corps mince. Cependant, an de s'aranchir des eets indésirables dus à la proximité des extrémités du corps mince, ce calcul doit être eectué à une distance qui en soit raisonnablement éloignée [219].

En utilisant des distributions de charges, les solutions correspondant à un cylindre de longueur 2l, de rayon a et se déplaçant dans un uide visqueux, ont été obtenues [43, 219]. Le mouvement perpendiculaire à l'axe est tel que :

Cn = 4πμ ln(2l/a) + C1 +O μ (ln l/a)3 (2.15) tandis que le mouvement tangentiel à l'axe donne :

Cs = 2πμ ln(2l/a) + C2 +O μ (ln l/a)3 (2.16) où C2 = C1−1, avec C1une variable qui dépend de la variation locale du rayon du cylindre. Pour un cylindre de rayon constant : C1 = ln 2−1₂ = 0.193, et pour un sphéroïde arrondi,

2.3.1.3 Coecients de force résistifs

En décomposant les vitesses et les forces de chacun des éléments du corps mince comme présenté en Ÿ2.3.1.1 ; et si la courbure locale du corps mince est bien plus grande que son rayon, alors il est possible d'obtenir les solutions pour un corps mince rigide se translatant dans un uide visqueux. Notons que les expressions de Cnet Csprennent toujours la forme

donnée dans les équations (2.15) et (2.16), et que les coecients C1 et C2 sont toujours des fonctions de la géométrie du corps mince considéré. Dans la théorie des coecients de force résistifs, les forces appliquées sur chacun des éléments du cil/agelle sont calculées en considérant le mouvement du segment considéré par rapport au uide à l'inni, ainsi que les coecients Cn et Cs.

Hancock [82] et Gray et Hancock [71] ont utilisé cette méthode dans leurs travaux an de modéliser des ondes se propageant le long d'un agelle, illustré sur la gure 2.15. Ici, puisque l'organisme se déplace de façon unidirectionnelle, le mouvement de chaque élément du agelle est la combinaison d'une translation et d'une oscillation due au passage de l'onde. Gray et Hancock [71] ont ainsi réparti la contribution axiale des stokeslets selon une partie tangentielle et une partie normale comme expliqué précédemment, et proposent les coecients de force suivants :

Cs= 2πμ/  ln  2λ a  −1 2  (2.17) Cn = 2Cs (2.18) 2.3.1.4 Eets de bords

Lors de l'étude de systèmes biologiques, il faut tenir compte de la présence de parois, telles par exemple la surface épithéliale recouvrant les voies respiratoires. Dans la proximité de telles frontières, des images miroirs doivent être construites an de satisfaire exactement la condition de non-glissement. Cependant, ces images miroirs sont diciles à trouver et altèrent le champ lointain généré par les stokeslets. En eet, au contraire des écoulements potentiels inertiels où des singularités identiques susent à imposer la condition de non- glissement à la paroi, cela se révèle plus compliqué pour les écoulements rampants pour lesquels il faut trouver les singularités à ajouter pour construire la bonne image miroir. La gure 2.16 donne une représentation schématique de stokeslets avec leur image miroir, ainsi que le champ lointain généré. Il est possible d'observer que, pour chacun des cas,

Capture d’ˆ'cran

Figure 2.15 Propulsion par agelle suivantun mouvementondulatoire. Schéma issu de Brennen etWinet[19]

trois singularités sont nécessaires pour satisfaire la condition de non-glissement, ce qui par conséquent modie le champ lointain. Il est suspecté que cela a d'importantes conséquences sur la dynamique du cil ou du agelle près du mur [13]. Enn, la présence des murs impacte fortement les solutions données par la théorie des coecients de force résistifs, et en particulier les valeurs des coecients de force résistifs (qui dépendent de la géométrie).