Coût énérgétique des ondes métachronales

Les sections précédentes ont été dédiées à l'étude du transport directionnel et au volume de uide déplacé. Il est maintenant temps d'introduire une perspective énergétique an de caractériser complètement les potentiels bénéces de la métachronie.

La puissance moyenne dépensée par les cils pendant un cycle de battement est donnée par : Pcil = 1 T T t=1  s,iV s i · (Fim+ FiP CL) Ncil (5.6)

en utilisant les forces illustrées sur la gure 4.1. Cette puissance dépensée est moyennée sur 50 cycles de battement. An d'avoir une puissance adimensionnée P∗_{, la puissance P}∞

dépensée par un cil isolé (a/L = 10) est calculée numériquement de telle sorte que l'on ait : P∗_=P

cil/P∞.

Avant d'aller plus loin, rappelons que le seul paramètre qui dière entre chaque valeur de décalage de phase ΔΦ, pour un espacement inter-cils a/L donné, est la taille du domaine

Nx selon la direction x, et donc le nombre de cils agissant à l'intérieur de la longueur

d'onde associée à l'onde métachronale. De plus, entre plusieurs espacements inter-cils a/L, l'espacement a entre deux cils est modié à la fois dans les directions x et y (car a = b dans ce chapitre), et les nombres de points Nx et Ny du domaine de calcul doivent donc

être changés en accord. En conséquence, si l'espacement entre les cils croît, la densité de cils décroît à la fois dans la direction y et dans la direction x. Dans toutes les simulations présentées dans ce chapitre, tous les autres paramètres (rapport de viscosité rν, fréquence

de battement f, longueur des cils L, etc.) sont xés.

La gure 5.9 (a,b) montre la puissance moyenne adimensionnée en fonction de ΔΦ. Pour de petites valeurs du décalage de phase (|ΔΦ| ≤ π/2), la puissance dépensée décroît jusqu'à une valeur minimale pour ΔΦ ≈ π/4, correspondant à une onde antiplectique. Toutefois, pour toutes ces valeurs de ΔΦ telles que |ΔΦ| ≤ π/2, la puissance dépensée est inférieure à celle dépensée par le cas synchrone : cela indique que les ondes métachronales présentant un faible décalage de phase permettent au système composé de l'intégralité des cils de rencontrer une plus petite résistance de la part du uide dans lequel ils sont immergés. Néanmoins, il est évident que lorsque les cils battent en étant entièrement synchrones, la résistance visqueuse ressentie par chaque cil est réduite. Dans le cas de la métachronie, le comportement est dual. En eet, les cils en phase de poussée du mouvement antiplectique rencontrent une plus grande résistance visqueuse de la part de l'écoulement à cause de leur plus grand éloignement. Ainsi, si l'on fait la comparaison avec le cas synchrone, les

-_π -_π/2 0 π/2 π ΔΦ 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 P ∗= Pcil /P∞ 0.8 1 2 1.2 2.5 1.4 3 _/2 0 - /2 - 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 (a) (b)

Figure 5.9 Puissance dépensée par le système pour diérents décalages de phase ΔΦ et diérents espacements inter-cils. + : a/L = 1.67 ;  : a/L = 2 ;  :

a/L = 3.33

cils transfèrent plus d'énergie à l'écoulement, et cette énergie transférée sert entièrement à transporter le uide dans la direction désirée. Le contraire se produit lors de la phase de récupération de l'onde antiplectique : le caractère groupé des cils leur permet de rencontrer une résistance visqueuse plus faible de la part de l'écoulement, et donc par la même occasion limite la quantité de puissance transférée pendant cette phase. Ainsi, globalement, un système avec une onde antiplectique et |ΔΦ| < π/2 rencontre une plus faible résistance visqueuse que le cas synchrone, comme il est possible de l'observer sur la gure 5.9 (a,b). Il en résulte une meilleure ecacité de l'onde antiplectique à transférer de la quantité de mouvement à l'écoulement, tout en requérant moins de puissance. Pour le cas symplectique, un phénomène similaire se produit : les cils dans leur phase de poussée sont regroupés et donc incapables d'exercer entièrement leur poussée, tandis que les cils dans la phase de récupération sont éloignés les uns des autres et génèrent un plus grand contre- écoulement comparé à l'onde antiplectique. Il en résulte une plus faible capacité de l'onde symplectique à transporter le mucus, bien que cela permette tout de même au système de dépenser moins d'énergie que le mouvement synchrone des cils pour |ΔΦ| < π/2. Un ratio énergétique sera introduit en Ÿ5.7 an de quantier, pour de telles valeurs de ΔΦ, la capacité des cils à transférer leur quantité de mouvement à l'écoulement.

Lorsque l'espacement inter-cils devient grand (voir le cas a/L = 3.33 de la gure 5.9 (a,b) par exemple), la puissance dépensée par le système est la même quelque soit le décalage de phase : les cils sont trop loin les uns des autres pour être encore impactés par la diérence de phase de leurs voisins immédiats. Il est possible d'observer que pour ΔΦ = 0 (i.e. battement synchrone), la puissance moyenne dépensée par un cil, P∗_{, est égale à 1 pour}

les espacements inter-cils a/L = 1.67 et a/L = 3.33, signiant donc qu'un cil dans un système synchrone dépense la même puissance qu'un cil isolé. Cela montre les bénéces d'avoir une synchronisation métachronale antiplectique pour de petits décalages de phase. Pour les plus grands décalages de phase (|ΔΦ| ≥ π/2), les systèmes métachronaux néces- sitent plus de puissance que le cas synchrone. Il est possible de supposer que cela est une conséquence directe du plus petit nombre de cils à l'intérieur d'une longueur d'onde. Sa- chant cela, il est alors nécessaire d'examiner la topologie de l'écoulement pour comprendre pourquoi les ondes antiplectiques sont plus ecaces que les ondes symplectiques pour de grands décalages de phase.

(a) (b)

Figure 5.10 Comparaison de l'écoulement généré par (a) une onde métachro- nale antiplectique (Δφ = 2π/3) et (b) une onde métachronale symplectique (Δφ = −2π/3) pour un espacement inter-cils a/L = 1.67. Le plan est coloré avec l'amplitude de la vitesse uide adimensionnée.

La gure 5.10 montre une onde antiplectique (sur la gauche) et une onde symplectique (sur la droite) au même instant pour un décalage de phase Δφ = ±2π/3. Pour cette valeur de ΔΦ, l'onde antiplectique est plus ecace pour transporter le mucus (voir gure 5.8 (a,b)), bien que la quantité moyenne de puissance dépensée par les deux systèmes soit relativement identique (voir gure 5.9 (a,b)). Il est aisé de voir la diérence principale entre les deux cas considérés. Pour le cas symplectique, le cil en phase de poussée rencontre le contre- écoulement produit par le cil en phase de récupération. Lorsque ces deux écoulements se rencontrent, des vortex sont générés et le transport global des uides est alors moins ecace, puisqu'une fraction de l'énergie transférée à l'écoulement est utilisée pour annuler ce contre-écoulement. Au contraire, pour le cas antiplectique, le cil en phase de poussée ne ressent pas immédiatement l'inuence du contre écoulement créé par le cil en phase de

récupération qui se situe derrière lui. Ainsi, ce cil est capable d'exercer l'intégralité de sa force de poussée sur le mucus.