Des drogues, telles que le propranolol (PPL) ou les β-adrenergic, agissent directement sur les cils en modi ant leur fréquence de battement [100]. D'autres, telles que les anticholiner- gics ou les corticosteroides, agissent directement sur la sécrétion de mucus [7]. Chacune de ces drogues a une cible spéci que et doit arriver sur la zone où elle sera le plus e cace. Par conséquence, ilest important de comprendre dans le détailcomment ces drogues seront mélangées. Cependant, de nombreuses questions restent sans réponse : Quel est l'endroit où les drogues sont le plus mélangées ? Quelle est exactement, dans la PCL, la région où le mélange est le plus violent ? Pour cela, la méthodologie introduite dans Cieplak et al. [38] est adoptée a n de mesurer précisément le mélange local, et ainsi gagner une vision détaillée de la façon dont les particules sont mélangées en fonction de leur position dans le mucus ou la PCL. Le principe de cette dernière est simple : on suivra l'évolution de la distance r entre des traceurs initialement situés à une distance in nitésimale r0les uns des autres. Dans le cas particulier du mélange chaotique, un exposant de Lyapunov γ peut être extrait en utilisant la relation suivante :
ln r r0 = γNcycles (6.2)
Cet exposant donne une indication sur la force du mélange. Cependant, un nombre raison- nablement élevé de mesures doit être eectué a n de s'aranchir du bruit inhérent à cette méthode. Pour cela, un motif cubique de (3 × 3 × 3) traceurs, référés plus tard comme étant les "parents", est utilisé. Ces parents sont initialement positionnés à une distance
r0 = 0.01 lu les uns des autres. Pour chaque parent, 6 traceurs, référés plus tard comme étant les "enfants", sont régulièrement positionnés autour des parents selon les 3 directions de l'espace à une distance de 0.001 lu. Ainsi, 162 paires de traceurs sont donc considérées, et la distance moyenne rmean les séparant de leurs parents est régulièrement calculée au
cours de plusieurs cycles de battement. Cinq positions typiques sont étudiées :
La position A, située en (a/2, Ny/4, 0.45L), où les traceurs sont au milieu de la
PCL, et sur la trajectoire d'un cil.
La position B, située en (a/2, Ny/4, L), où les traceurs sont juste au dessus de
l'interface PCL-mucus, et au dessus des cils.
La position C, située en (a/2, Ny/4, 2L), où les traceurs sont loin au dessus de
La position D, située en (a/2, Ny/2, 0.45L), où les traceurs sont au milieu de la PCL
entre deux cils selon la direction y.
La position E, située en (a/2, Ny/4, 0.1L), où les traceurs sont juste au dessus de la
surface épithéliale, et sur la trajectoire d'un cil.
Les distances moyennes rmeanpour les positions A, B, et C sont données sur les gures 6.8,
6.9 et 6.10. Notez que les résultats pour les positions D et E ne sont pas a chés, car ils sont très similaires à ceux obtenus pour la position A.
0 10 20 30 40 50 60 0 50 100 150 200 250 = /6 = /3 = =- /6 =- /3 =random =0 0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 12 14 = /6 = /3 = =- /6 =- /3 =random =0 (a) (b)
Figure 6.8 Résultats obtenus pour la position A et Re= 5.10−2, avec un ratio
de viscosité rν = 10. (a) Distance moyenne rmean entre les parents et les enfants
en fonction du nombre de cycles Ncycles. (b) Logarithme de la distance moyenne
adimensionnée rmean/r0 en fonction du nombre de cycles Ncycles.
Dans la gure 6.8 (a), on peut voir l'évolution de la distance moyenne rmean en fonction
du nombre de cycles de battement Ncycles pour plusieurs décalages de phase ΔΦ. Cela
prend environ 10 cycles avant que la distance moyenne entre les parents et les enfants commencent à croître signi cativement. Il est possible de voir sur la gure 6.8 (b) que l'évolution de ln(rmean/r0) est linéaire pendant les premiers cycles, indiquant par là un
mélange chaotique. Des résultats similaires sont obtenus pour les positions C, D, et E (voir la gure 6.10 pour la position C). Ainsi, il est possible d'extraire des exposants de Lyapunov pour chacune de ces courbes en considérant leurs parties linéaires. Il est important de noter que, bien que les mesures indiquent un mélange chaotique seulement lors des premiers cycles de battement après le relâchement des traceurs dans l'écoulement,
le mélange est toujours chaotique (l'écoulement étant bien établi et périodique dans le temps). 0 10 20 30 40 50 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 = /6 = /3 = =- /6 =- /3 =random =0 0 10 20 30 40 50 60 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 = /6 = /3 = =- /6 =- /3 =random =0 (a) (b)
Figure 6.9 Résultats obtenus pour la position B et Re= 5.10−2, avecun ratio
de viscosité rν = 10. (a) Distance moyenne rmeanentre les parents et les enfants
en fonction du nombre de cycles Ncycles. (b) Logarithme de la distance moyenne
adimensionnée rmean/r0 en fonction du nombre de cycles Ncycles.
Pour la position B (voir les gures 6.9 (a) et (b)), les traceurs sont initialisés à 1L (donc à 0.1L au dessus de l'interface PCL-mucus), et aucun exposant de Lyapunov n'a pu être extrait pour cette position. Ceci est dû à la présence de l'interface sous ces derniers, qui les capture du fait de son mouvement ondulatoire. D'autres positions au dessus de la position B ont également été testées (résultats non montrés) : on observe que, à mesure que les traceurs sont de plus en plus éloignés de la position B (i.e. de plus en plus loin de l'interface PCL-mucus), des exposants de Lyapunov peuvent à nouveau être extraits, et amènent à des résultats similaires à ceux observés pour la position C. Notre hypothèse est que le mélange est atténué près de l'interface puisque la direction de l'écoulement suit le mouvement de l'interface. Ainsi, il y a principalement un cisaillement vertical dans cette région et la distance entre particules situées à la même altitude reste identique : seule la distance verticale mesurée entre diérentes particules évolue.
La gure 6.11 montre les exposants de Lyapunov γ obtenus pour les positions A, C, D, et E. Les plus hautes valeurs de γ sont obtenues pour les traceurs situés en position A, et qui sont sur la trajectoire d'un cil à une altitude de 0.45L. Les valeurs de γ correspondant à la position E sont plus faibles, ce qui est logique puisque ces traceurs, bien que sur la
0 10 20 30 40 50 60 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 10 -3 = /6 = /3 = =- /6 =- /3 =random =0 0 10 20 30 40 50 60 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 = /6 = /3 = =- /6 =- /3 =random =0 (a) (b)
Figure 6.10 Résultats obtenus pour la position C et Re= 5.10−2, avec un ratio
de viscosité rν = 10. (a) Distance moyenne rmean entre les parents et les enfants
en fonction du nombre de cycles Ncycles. (b) Logarithme de la distance moyenne
adimensionnée rmean/r0 en fonction du nombre de cycles Ncycles.
- - /2 0 /2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Position A Position C Position D Position E
Figure 6.11 Exposant de Lyapunov γ en fonction du décalage de phase ΔΦ pour Re= 5.10−2 et r
ν = 10 aux positions A, C, D et E.
trajectoire d'un cil, sont bien plus proches de la surface épithéliale. En conséquent, puisque la vitesse des cils près de leur base est plus faible, le mélange est lui aussi plus faible. Il est intéressant de voir que les traceurs en position D, et qui se situent au milieu de la PCL mais entre deux cils selon la direction y, donnent des valeurs de γ plus faibles que ceux de
la position E. Cela indique que le mélange dans les régions qui ne sont pas directement sur la trajectoire d'un cil est bien plus faible. De fait, cela prend également plus de temps pour la distance de séparation entre les parents et les enfants pour augmenter : environ 25 cycles pour les traceurs en position D contre seulement 10 cycles pour les traceurs en position A. En n, loin au dessus de l'interface PCL-mucus, les valeurs de γ obtenues sont très faibles : le mélange est quasiment nul. La tendance des courbes pour la position E est la même que pour les positions A, C, et D. Notons ici que le mélange total est dû à l'action combinée du mélange par advection chaotique et par étirement. Tandis que la plus grande contribution pour les valeurs obtenues des exposants de Lyapunov vient de leurs positions initiales (A, B, C, D, ou E), l'allure des courbes sur la gure 6.11 est due à l'action combinée de ces deux phénomènes. Il est cependant raisonnable de penser que les régions où l'étirement est le plus grandsont aussi les régions où le mélange chaotique est le plus puissant. Ainsi, les exposants de Lyapunov extraits sont adaptés pour une mesure qualitative du mélange à mesure que ΔΦ varie. Plus de détails sur la topologie de l'écoulement en fonction des diérents décalages de phase ont été donnés au chapitre 5.