Modélisation géométrique et motif de battement

Le domaine de calcul est une boite avec un maillage régulier composé de (Nx× Ny× Nz)

points. Les cils sont régulièrement répartis sur la surface épithéliale située dans le plan (x, y),de telle sorte que leur base est située en z = 0 (voir gure 3.3 (a) pour une vue schématique de la géométrie considérée). Le mouvement des cils est imposé dans le plan (x − z) et dans la direction x,tel qu'observé expérimentalement [34,191]. L'espacement entre les cils est noté a dans la direction x,et b dans la direction y. La longueur d'onde des ondes métachronales est λ,la longueur des cils L,et le ratio entre l'épaisseur de PCL et la hauteur totale du domaine de calcul est h/H.

Les équations du mouvement des cils sont tirées de Chatelin [26] et reproduisent un motif de battement 2D en résolvant une équation de transport 1D le long d'une courbe paramé- trique. Le choix d'un battement 2D a été fait car il a été observé que les cils de l'épithélium respiratoire ont leurs phases de poussée et de récupération qui se produisent dans le même plan [34,191]. Soit P (ζ, t) la position de la courbe à l'instant t et à une distance normalisée

ζ de la base du cil. Avec les conditions aux limites appropriées,un motif de battement

réaliste peut être obtenu en utilisant l'équation de transport suivante :

∂P ∂t + E(t) ∂P ∂ζ = 0 BC :  P (0, t) = (0, 0, 0) P(0, t) = (2 cos(2πt/T ), 0, cos(2πt/T )) (3.13)

avec E(t) = [1 + 8 cos2_{(π(t + 0.25T )/T )]/T un terme reproduisant les eets élastiques,}

T = Tosc la période de battement, et P = ∂ζP . L'amplitude angulaire entre le début de la

phase de poussée et sa n est θ = 2π

3, ce quiest en accord avec les résultats expérimentaux [200]. Un motif de battement 3D permettrait d'eectuer des simulations plus réalistes, mais serait plus cher en termes de ressources numériques. Aussi, le choix a été fait d'utiliser ce battement 2D car il capture l'essentiel des ingrédients du motif de battement des cils respiratoires. De plus, du fait que les cils ont un diamètre plus petit qu'une unité lattice, la diérence entre un écoulement induit par 2 cils se superposant en 2D ou glissant l'un sur l'autre en 3D est minime. La gure 3.3 (b) donne une vue schématique du motif de battement obtenu en résolvant l'équation (3.13). Avec le modèle de battement choisi, les deux phases de mouvement du cil durent le même temps. Néanmoins, une asymétrie temporelle sera introduite et étudiée au chapitre 8, ainsi qu'au chapitre 4 où la vitesse des cils pourra varier en fonction de la rétroaction du uide.

La PCL est disposée de telle sorte qu'elle remplit la région allant du bas du domaine (z = 0) jusqu'à une hauteur z = h. La PCL et le mucus sont considérés comme étant des uides Newtoniens. La viscosité du mucus est νm = 10−3 m2/s, et le ratio de viscosité

rν = νm/νP CLentre le mucus et la PCL peut monter jusqu'à 300. La période de battement

d'un cil vaut Nit× Δt (avec Δt = 1 en utilisant la normalisation LBM classique), Nit est

le nombre d'itérations nécessaire à un cil pour eectuer un cycle de battement complet. Un nombre de Reynolds oscillatoire Reosc_{, basé sur la vitesse moyenne de la pointe des}

cils Ucil = _T2θL_osc peut être déni:

Reosc = UcilL νmucus = 4π 3 ToscL 2 νmucus = ωL 2 νmucus (3.14)

où ω représente la fréquence de battement angulaire des cils. En considérant des quantités physiques réalistes, la valeur de Reosc _{calculée est de l'ordre de 10}−5 _{(avec L ≈ 10}−5 _m,

νmucus ≈ 10−3 m2/s et Ucil ≈ 10−3 m/s). Ce nombre de Reynolds extrêmement bas néces-

site un grand nombre d'itérations si l'on utilise une schéma LBM, aussi des nombres de Reynolds plus élevés seront utilisés, en vériant que cela n'inuence pas sur les conclusions dressées ici. Plus de détails concernant l'inuence du nombre de Reynolds sont donnés au chapitre 5.

Rappelons que le modèle de Porter et al. [170] permet de minimiser la magnitude des vitesses parasites près de l'interface uide-uide. Plus important encore, il permet théori- quement de considérer des ratios de viscosité de l'ordre de 1000 si la force de Shan-Chen est développée jusqu'à l'ordre 10. Ce modèle utilisant une force répulsive de type Shan-Chen

geometry2.png

(a) (b)

Figure 3.3 (a) Vue du domaine de calcul. Le cas présenté ici correspond à une onde métachronale antiplectique. Le domaine est empli de PCL (en bleu) et de mucus (en rouge). Ici, les cils sont répartis de telle sorte que a = b. (b) Motif de battement pour les cils avec l'équation paramétrique utilisée. Les étapes 1 à 6 correspondent à la phase de récupération, et les étapes 7 à 9 à la phase de poussée. Ces étapes ont été choisies arbitrairement pour représenter le mouvement du cil, et les intervalles de temps entre deux étapes peuvent varier. [196, 197], les eets de tension de surface émergent naturellement à l'interface PCL-mucus. Ainsi, une interface relativement ne entre le mucus et la PCL peut-être maintenue à chaque instant. Néanmoins, de petits eets de diusion peuvent se produire sur les n÷uds lattices proches de l'interface. Additionnellement, les cils qui passent au travers de l'in- terface PCL-mucus peuvent induire ponctuellement un faible mélange des deux uides. Ceci est néanmoins corrigé par la force de Shan-Chen qui démixe les deux uides. Enn, rappelons que le motif de battement des cils est xé au début de chaque simulation dans cette étude, et que sa forme géométrique n'est jamais modiée par l'action du uide. Des conditions périodiques sont utilisées dans les directions x et y, tandis que des condi- tions de non-glissement et de glissement libre sont utilisées en bas et en haut du domaine respectivement, par la méthode du "half-way bounce back".

En prenant avantage du caractère local de la LBM, le code est parallélisé grâce aux li- brairies MPI (Message Passing Interface). Du fait que la taille du domaine de calcul dans la direction verticale est faible devant les autres directions, le choix est fait de diviser le domaine en 9 sous-domaines de taille (Nx/3, Ny/3, Nz).

Émergence d'ondes métachronales

Sommaire du chapitre

4.1 Loi de rétroaction uide . . . 87 4.2 Émergence . . . 89 4.3 Conclusion . . . 93

Dans ce chapitre, l'objectif est de voir si des ondes métachronales peuvent émerger par l'action des forces hydrodynamiques seules, dans un environnement 3D diphasique, et avec un rapport de viscosité entre les deux uides. Pour cela, une loi de rétroaction uide est introduite, et servira à moduler la vitesse des cils en fonction de la force uide s'exerçant sur eux. L'espacement inter-cils est identique selon les directions x et y. La taille du domaine de calcul varie entre 50 lu et 400 lu horizontalement, et est xée à 50 lu verticalement. Le rapport de viscosité utilisé est rν = 15.

4.1 Loi de rétroaction uide

L'idée est ici de moduler le battement des cils en fonction du mouvement uide. Pour cela, nous supposons que tous les cils suivent le même motif de battement, tandis qu'une rétroaction uide, qui consiste à accélérer ou décélérer le battement des cils, est introduite. Temporellement, un cycle d'actuation est décomposé en Ntotal

i étapes (ou snapshots), dont

l'ensemble va dénir le motif de battement ciliaire. Nous choisissons une discrétisation tem- porelle ne, de telle sorte que Ntotal

i ≥ 1000 au minimum. Spatialement, chaque étape du

battement ciliaire est discrétisée par Ns = 20 points Lagrangiens. Soit s l'index corres-

pondant au sème _{point Lagrangien, que l'on compte depuis la base du cil à s = 1, et V}s i

la vitesse du sème _{point Lagrangien du i}ème _{cil. Pour chaque cil, nous dénissons la vitesse} moyenne Vi de l'ensemble des points Lagrangiens, qui est liée au nombre d'étapes que le

cil sautera lors d'une itération uide en fonction de la rétroaction hydrodynamique ressen- tie. Prendre en compte cette rétroaction équivaut en eet à trouver la nouvelle position

Nt

i (en terme de snapshots) du cil pour la nouvelle itération parmi l'ensemble des étapes

Ntotal

i composant le motif de battement. La rétroaction du uide sur les cils consiste ainsi

à modier la norme duvecteur vitesse ||Vi||, tout en gardant sa direction inchangée. Dans

le cas où la nouvelle position du cil ne tombe pas exactement sur l'une des étapes discrètes calculées (c'est-à-dire si Nt

i n'est pas un nombre entier), une interpolation est alors faite

entre les deux étapes entières voisines an d'obtenir la nouvelle position.

La rétroaction est calculée en trois étapes. Premièrement, les forces IB dues au mucus et à la PCL sont projetées sur les vecteurs vitesses correspondants, et cela pour chaque point Lagrangien. Puis, le calcul de la rétroaction est fait en se basant sur les moments des forces par rapport à la base du cil pour chaque point Lagrangien. Enn, le motif de battement des cils est ajusté au début de l'itération uide suivante. Les diérentes forces et variables géométriques utilisées sont illustrées sur la gure 4.1, et les trois étapes expliquées ci-dessous.

1. Les forces IB interpolées appliquées par le ième _{cil sur les uides  respectivement}

Fi

m pour la force imposée sur le mucus et FiP CL pour la force imposée sur la PCL ,

sont projetées sur Vs i : Fi,proj_∗ = F i ∗·Vsi Vs i2 V_is_, (4.1)

où ∗ désigne soit "m" ou "P CL". La force uide totale projetée sur le sème _segment du ième _{cil F}i f luids→cilia s'écrit : Fi f luids→cilia =−(τm Fi,proj m + τP CLFi,projP CL) (τm+ τP CL) (4.2)

où les forces Fi,proj m et F

i,proj

P CL sont pondérées par un terme de la forme τ∗

τm+τP CL an de prendre en compte la diérence de viscosité entre les deux couches de uides. 2. Pour chaque point Lagrangien s, la norme dumoment de Fi

f luids→cilia par rapport

aupoint O situé à la base du ième _{cil est calculée par :}

Mi O(F i f luids→cilia) = Fif luids→ciliaLs (4.3) où Ls ₌ X⊗Vsi Vs

i est le bras de levier, avec X = −→

OS le vecteur position entre la base O du cil et le point S, tel qu'indiqué sur la gure 4.1. La rétroaction uide totale,

tous les points Lagrangiens : Ti = Nsegments s=2 Fi f luids→ciliaLs (4.4)

La vitesse de chaque cil est nalement modiée comme suit :

Vi = V0 + αTi (4.5)

où V0 est la vitesse initiale des cils, et α un paramètre de couplage permettant l'ajustement de l'intensité de la rétroaction.

3. Puis, au début de l'itération suivante, le battement du ième _{cil est ajusté :}

Nit = mod (Nit−1+Vi, Nitotal) (4.6)

où Nt−1

i est le snapshot de l'itération précédente.