Le mélange est quanti é en utilisant la méthode développée dans Stone et Stone [205] : deux familles de traceurs de couleurs diérentes (noire et blanche) sont initialement orga-
Figure 6.2 Champ moyen de déplacement uide normalisé dans la direction x, en fonction de z/L, pour des espacements inter-cils a/L = 1.44 et b/L = 0.4, un ratiode viscosité rν = 10, et un nombre de Reynolds Re = 10−1. λ est la lon-
gueur d'onde de l'onde métachronale, et Nλ le nombre de cils à l'intérieur d'une
longueur d'onde. La région de fort mélange chaotique s'étend de 0 jusqu'à 1.1L, la zone de mélange chaotique de 1.1 jusqu'à 1.8L, et la zone de non mélange de 1.8 jusqu'à 3L. L'interface PCL-mucus est située à environ z/L = 0.9 et est indiquée par une ligne pointillée horizontale. La courbe bleue correspond à une simulation où les cils sont dans un état aléatoire de battement : les phases de chaque cil sont alors décorrélées les unes des autres. Les courbes noires corres- pondent à des ondes antiplectiques (ΔΦ = π/4), symplectiques (ΔΦ = −π/4), et synchrones (ΔΦ = 0). La courbe rouge correspond à une con guration an- tiplectique (ΔΦ = π/4) monophasique. Plus de détails concernant les zones de mélange chaotique et leurs dé nitions sont donnés en section 6.3.
nisées en un motif régulier ; chaque famille occupant un volume identique (voir la gure 6.3 pour une vue du domaine avec les traceurs). Elles sont relâchées à t = t0 lorsque l'écou- lement est bien établi, et un schéma Runge Kutta d'ordre 2 (RK2) est utilisé a n de calculer leur advection, en utilisant la vitesse uide interpolée par le noyau d'interpolation des frontières immergées. Le mélange est quanti é en mesurant la décroissance de la plus petite distance entre traceurs de couleurs diérentes. Ainsi, la mesure m du mélange est dé nie de la manière suivante [205] :
m = N i=1 min(|xi− xj|)2 1 N (6.1)
Figure 6.3 Vue 2D du domaine rempli avec les3 populationsde traceurspour Re= 5.10−2. La PCL est en bleu, et le mucus en rouge. La population 1 occupe
la PCL entre z = 0.2L et z = 0.8L ; la population 2 est située au-dessus de l'interface PCL-mucuset occupe la région entre z = 1.2L et z = 1.8L ; la population 3 est située loi au-dessus de l'interface PCL-mucus et occupe la région comprise entre z = 2.5L et z = 3.1L. La taille du domaine de calcul est (Nx= 385, Ny = 11, Nz = 34), et le ratio de viscosité est rν = 10.
où xi et xj sont lespositionsdestraceursde diérentescouleurs, N est le nombre total
de traceursde la même couleur, et j = 1, 2, ..., N est l'indice pour lequel est eectué la minimisation. Nous choisissons d'étudier le mélange dans trois régions bien distinctes : la région 1 est localisée à l'intérieur de la PCL, et les traceurs sont initialisés de telle sorte qu'ilsoccupent la PCL entre z = 0.2L and z = 0.8L ; la région 2 est située au-dessus de l'interface PCL-mucuset lestraceursoccupent celle-ci entre z = 1.2L and z = 1.8L ; et la région 3 est située loin au-dessus de l'interface PCL-mucus, et les traceurs occupent la zone comprise entre z = 2.5L and z = 3.1L (voir la gure 6.3 pour une vue des diérentes régions). Le motif choisi consiste en une suite de pavés rectangulaires de taille (1.44L, 0.4L, 0.6L) régulièrement distribués le long de la direction x, chacun d'entre eux étant centré autour de la base d'un cil. Cette distribution géométrique a été choisie a n de pouvoir comparer nosrésultatsà ceux de Ding et al. [47]. La densité de traceurs n'est pasun paramètre critique ici, comme l'ont indiqué Stone et Stone [205]. En conséquence, danschaque région, un traceur est placé toutesles2 maillesselon lestroisdirectionsde l'espace.
Sur la gure 6.4, lesdiérenteszonesde mélange sont présentéesaprès60 cyclesde batte- ment pour un nombre de ReynoldsRe= 5.10−2 : lestraceursinitialement implantésdans
la PCL sont trèsmélangés, au contraire destraceursinitialement misloin au-dessusde l'interface PCL-mucus. Entre cesdeux populations, lestraceursinitialement déposésjuste au-dessus de l'interface PCL-mucus subissent un cisaillement constant. On peut remar- quer que les traceurs initialement déposés dans la PCL (resp. mucus) restent dans la PCL (resp. mucus). Ce comportement est attribué au modèle LBM diphasique choisi, qui induit
Figure 6.4 Vue 3D du domaine rempli avec les 3 populations de traceurs pour Re= 5.10−2 et r
ν = 10, 60 cycles de battement après leur libération à t = t0 lorsque l'écoulement est bien établi. Les traceurs dans la PCL sont beaucoup mélangés, tandis que les traceurs présents dans les régions 2 et 3 présentent encore un motif cohérent.
des eets de tension de surface à l'interface qui empêchent le mélange des deux couches uides. Ce problème sera abordé en section 6.5 où les eets de diusion seront considérés en utilisant deux échelles de temps caractéristiques.
La gure 6.5 (a) montre l'évolution temporelle du nombre de mélange m/m0 dans la PCL (région 1) pour diérents types de métachronie ; m0 étant la valeur initiale de m lorsque les traceurs ne sont pas encore relâchés.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 =0 =- /6 =- /4 =- /2 =- random 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 =0 =- /6 =- /4 =- /2 =- random (a) (b)
Figure 6.5 Nombre de mélange m/m0 en fonction du nombre de cycles de battement pour Re= 2.10−2 et diérents décalages de phase ΔΦ pour (a) la
région 1 (i.e. à l'intérieur de la PCL) et (b) dans la région 3 (loin au-dessus de l'interface PCL-mucus). Le ratiode viscosité est rν = 10.
En présence d'un mélange de nature chaotique, le nombre de mélange m/m0 doit dé- croître exponentiellement. C'est en eet ce que l'on observe lors des premiers cycles de battement (56 premiers cycles). Cependant, si le mélange était seulement chaotique, les
mesures devraient simplement converger vers un plateau. Cela n'est pas le cas ici puisque les cils imposent aussi un étirement à l'écoulement généré. Ainsi, le ratio m/m0 continue de décroître et converge seulement vers un "pseudo-plateau". Puisque nous sommes prin- cipalement intéressés par la caractérisation du mélange chaotique induit par les cils, nous focaliserons notre attention sur les premiers cycles de battement.
La gure 6.5 (b) con rme que le mélange dans le mucus est très faible. Le nombre de mélange m/m0 est quasiment constant pendant les 60 cycles de battement. Les traceurs sont transportés comme un bloc solide et gardent leur motif de placement initial, comme cela est illustré sur la gure 6.4.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 -2 -1.5 -1 -0.5 0 =0 = /6 = /4 = /2 = random 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 =0 = /6 = /4 = /2 = random (a) (b) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 -2 -1.5 -1 -0.5 0 =0 =- /6 =- /4 =- /2 =- random 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 =0 =- /6 =- /4 =- /2 =- random (c) (d)
Figure 6.6 Logarithme du nombre de mélange, ln(m/m0), en fonction du nombre de cycles de battement Ncycles pour Re= 5.10−2 et diérents décalages de phase ΔΦ correspondant à des ondes antiplectiques pour (a) la région située dans la PCL (région 1) ; et (b) au-dessus de l'interface PCL-mucus (région 2). Les gures (c) et (d) sont similaires aux gures (a) et (b), mais pour des ondes métachronales symplectiques. Le ratio de viscosité est rν = 10.
Sur la gure 6.6 (a), le logarithme du nombre de mélange adimensionné m/m0 est tracé pour la région 1. Le fait que m décroisse rapidement signi e que le mélange dans cette zone est fort : eectivement, seulement 4 cycles de battement sont nécessaires pour obtenir un état convergé du mélange. Pendant ces premiers cycles de battement, la décroissance de m dépend fortement de la valeur du décalage de phase ΔΦ. Les résultats concernant les ondes symplectiques (ΔΦ < 0) sont identiques à ceux obtenus pour les ondes antiplectiques ( gures 6.6 (a) et (c)). Sur les gures 6.6 (b) et (d), les mêmes quantités sont tracées pour la région 2. Il est possible d'observer l'importance du décalage de phase, certaines valeurs étant visiblement plus à même de mélanger les traceurs. Il est intéressant de noter que chaque courbe montrée sur les gures 6.6 (a) et (b) présente les signes d'un mélange de type chaotique. En d'autres termes, elles peuvent toutes être approximées par une fonction de la forme ln(m/m0) =−βNcycles, où le paramètre extrait β représente un taux de mélange
qui dépend de l'étirement local [234].
Ainsi, il est possible de comparer les capacités de mélange des ondes antiplectiques et symplectiques, comme cela est montré sur les gures 6.7 (a) et (b). Les taux de mélange β obtenus pour trois nombres de Reynolds diérents (Re=10−1, Re=5.10−2, and Re=2.10−2)
sont tracés en fonction de ΔΦ pour les régions 1 et 2 respectivement (cf gure 6.7). Les courbes suivent la même tendance quelque soit la valeur du nombre de Reynolds testée. Dans la région 1, il existe un décalage de phase, compris entre −π/6 et −π/4, qui induit un mélange très faible. Ceci est une conséquence directe du fait que pour de telles valeurs de ΔΦ l'interface PCL-mucus est poussée au-dessus du sommet des cils pendant leur phase de poussée, ce qui les empêche de pénétrer dans la couche de mucus. Ce déplacement particulier de l'interface PCL-mucus résulte en un écoulement plus faible à la fois dans la PCL et le mucus, et est étudié en détail au chapitre 7. En n, le cas synchrone induit pour sa part un mélange légèrement plus faible que les autres cas.
Sur la gure 6.7 (b) deux pics distincts peuvent être identi és, un pour l'onde antiplectique avec ΔΦ ≈ π/4, et le second pour l'onde symplectique avec ΔΦ ≈ −π/4, indiquant que ces valeurs particulières du décalage de phase sont plus e caces pour mélanger le mucus. Bien que la valeur de ΔΦ ≈ −π/4 induise un faible transport dans la PCL et le mucus, et un faible mélange dans la PCL, il est intéressant de noter qu'elle peut générer un mélange aussi fort que le cas ΔΦ ≈ π/4 au-dessus de l'interface PCL-mucus. Dans les deux cas (ΔΦ = ±π/4), cela peut être attribué au déplacement de l'interface qui est important pour ces valeurs de ΔΦ et qui, en conséquence, induit un plus fort mélange dans le mucus. Notez que de trop grandes valeurs du décalage de phase induisent un mélange similaire à celui créé par le cas des cils synchrones (ΔΦ = 0). Il doit aussi être noté que l'échelle
des ordonnées de la gure 6.7 est bien plus petite (100 fois plus petite) que celle de la gure 6.7 (a). Pour chaque cas (a) et (b) de la gure 6.7, les lignes pointillées représentent les taux de mélange β obtenus pour des cils battant aléatoirement. Le taux de mélange obtenu pour de telles con gurations peut varier en fonction des conditions initiales des cils, mais pas signi cativement, car ce taux de mélange a été obtenu en faisant une moyenne sur le battement aléatoire de 48 cils. Il est intéressant de voir que le battement aléatoire des cils produit un taux de mélange "moyen" : bien que ne produisant jamais le mélange le plus puissant, le mélange résultant est toujours relativement haut.
- - /2 0 /2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Re=0.1 Re=0.05 Re=0.02 - - /2 0 /2 1 2 3 4 5 6 7 10 -3 Re=0.1 Re=0.05 Re=0.02 (a) (b)
Figure 6.7 Taux de mélange β pour diérents nombres de Reynolds (Re= 2.10−2, 5.10−2, et 10−1) en fonction du décalage de phase ΔΦ et un ratio de viscosité rν = 10. (a) Taux de mélange obtenu dans la région 1 avec un ajus-
tement sur les 4 premiers cycles de battement. (b) Taux de mélange obtenu dans la région 2 avec un ajustement sur les 60 cycles de battement. Les lignes pointillées représentent les valeurs des taux de mélange obtenus pour des cils battant aléatoirement. Notez que les échelles des ordonnées sont diérentes pour (a) et (b) : les valeurs de β correspondant à la région 1 sont de l'ordre de 102fois plus grandes que celles obtenues dans la région 2. La répétabilité du mouvement aléatoire a été testée, et des valeurs similaires de β ont été obtenues avec moins de 2% de diérence.
La conclusion de cette partie est que le mélange provoqué par les ondes métachronales dans la région 1 est très similaire à celui produit par le mouvement synchrone des cils, à l'exception du cas particulier des ondes symplectiques ayant de très grandes longueurs d'ondes. Dans la région 2, des valeurs spéci ques du décalage de phase sont observées être plus e caces pour mélanger la région PCL-mucus en comparaison des mouvements syn- chrones et aléatoires des cils. En n, dans la région 3, le mélange est faible et indépendant du décalage de phase ΔΦ.