En s'inspirant des travaux de Khaderi et al. [109], Gauger et al. [66], et de Kim et Netz [112], nous introduisons maintenant le débit Qppositif ainsi que le débit Qn négatif, dé nis
de la manière suivante : la composante selon x du champ de vitesse est prise sur le plan (Nx,y,z) et, pour chaque itération d'un cycle de battement complet, les vitesses positives
et négatives sont séparées. Les débits instantanés positifs et négatifs sont alors calculés sur un nombre su samment important de cycles de battement (50 cycles). La diérence (Qp− Qn) nous donne ainsi le débit net instantané, et une e cacité directionnelle P N
peut alors être dé nie :
P N = Q p− Qn
Qp+ Qn (5.3)
Il est important de noter qu'ici, contrairement aux travaux eectués par les auteurs men- tionnés ci-dessus, le domaine de calcul n'est pas restreint à la zone de transport, mais comprend au contraire l'intégralité de la région uide. Nous avons fait ce choix car les observations expérimentales de Matsui et al. [148] ont montré, en utilisant la microsco- pie confocale et des marqueurs uorescents, que la PCL et le mucus étaient en réalité transportés à peu près à la même vitesse. Il semble en outre que le transport de la PCL dépende de la présence d'une couche de mucus au dessus ; et que la diusion de la quantité de mouvement de la PCL vers le mucus soit due au mélange induit par les cils. En prenant en compte à la fois la zone de transport et la zone de mélange dans le calcul de P N, cela
nous permet de collecter une information supplémentaire sur la manière dont le transport et le mélange travaillent ensemble lors d'un cycle de battement.
La variation de P N sur un cycle de battement pour cinq décalages de phase ΔΦ corres-
pondant à des ondes métachronales antiplectiques, avec un espacement inter-cils a/L = 2, est sur la gure 5.4. Rappelons que le plan choisi pour calculer les débits positifs et négatifs est situé près d'un cil de référence (cil 1 sur la gure 5.5). Aussi, bien que les quantités
0 π/2 π 3π/2 2π t -0.5 0 0.5 1 PN Δ Φ = π/4 Δ Φ = π/2 Δ Φ = π (a) (e) (g)(h) (b) (c) (d) (f)
Figure 5.4 E cacité de poussée directionnelle P N sur un cycle de battement
pour trois décalages de phase ΔΦ. Résultats obtenus pour une onde antiplectique avec a/L = 2.
considérées ici soient le résultat du mouvement collectif des cils, les calculs ont été eec- tués sur la période de battement de ce cil. En conséquence, le fait que toutes les courbes subissent une forte décroissance autour de t = π est lié au choix de ce cil en particulier, car ce dernier est en phase de récupération à t = π, ce qui induit une faible valeur de P N
à cet instant précis. Le choix d'un autre cil ou d'un autre plan décalerait horizontalement la baisse de P N observée autour de t = π.
Pour interpréter l'évolution de P N sur la gure 5.4, il est nécessaire d'examiner en même
temps l'organisation de l'écoulement pendant ce cycle de battement : voir gure 5.5. Alors que le cil 1 commence sa phase de récupération (cas (a) de la gure 5.5), il n'y a aucun contre écoulement présent au niveau de la frontière périodique où se situe le plan de mesure (qui est le plan de sortie et qui se situe donc entre les cils 8 et 1). Ainsi, P N = 1, comme
cela se voit sur la gure 5.4 au point (a). Puis, lorsque le cil 1 commence sa phase de récupération (cas (b) de la gure 5.5), aucun contre-écoulement n'est observé car ce cil n'a pas encore atteint une vitesse élevée, et car le cil 8 est toujours en train de nir sa phase de poussée. A t = π/2 (cas (c) de la gure 5.5), les cils 1 et 8 sont tous deux dans le début de leur phase de récupération, et l'e cacité de poussée directionnelle commence à décroître (voir les points (b) et (c) de la gure 5.4). A t = 3π/4 (cas (d) de la gure 5.5), le cil 1 est en train d'atteindre sa vitesse maximale pour la phase de récupération. Le contre-écoulement généré est important, et l'e cacité décroît rapidement : voir le point (d) de la gure 5.4. Entre t = 3π/4 et t = π, l'e cacité de poussée directionnelle augmente un peu. Ceci est
(a) t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (b) t = π 4 1 2 3 4 5 6 7 8 (c) t = π 2 1 2 3 4 5 6 7 8 (d) t = 3π 4 1 2 3 4 5 6 7 8 (e) t = π 1 2 3 4 5 6 7 8 (f) t = 5π 4 1 2 3 4 5 6 7 8 (g) t = 3π 2 1 2 3 4 5 6 7 8 (h) t = 7π 4 1 2 3 4 5 6 7 8
Figure 5.5 Photos successives de la vitesse uide pris à 8 instants lors du cycle de battement du cil 1. Les cils battent en synchronisation antiplectique avec ΔΦ = π/4, et a/L = 2. (a) t = 0 : la phase de récupération du cil 1 débute ; (b- e) phase de récupération ; (f-h) phase de poussée. Une fois que (h) est terminée, un nouveau cycle débute : (h) → (a). Les gures montrent la norme de la vitesse normalisée Vf =
Vdim
f
Vfref, où V
ref = λ/T est la vitesse de propagation de l'onde
dû au fait qu'entre t = 3π/4 et t = π, les cils 8 et 1 ne traversent pas le plan de mesure, ce qui fait que le contre-écoulement généré à cet endroit devient plus faible. Au contraire, lorsque t = 3π/4 le cil 8 en phase de récupération traverse le plan ; tandis qu'à t = π c'est au tour du cil 1. Le cas (e) de la gure 5.5 correspond à la n de la phase de récupération du premier cil, et au même moment, le cil 8 est à sa vitesse négative maximale : cela fait que l'e cacité de poussée directionnelle continue de décroître. A t = 5π/4 (cas (f) de la gure 5.5), le cil 8 a ni sa phase de récupération, et le cil 1 est au milieu de sa phase de poussée. Cela entrave le contre-écoulement généré plus tôt, et P N commence en n à
augmenter. A t = 3π/2 et t = 7π/4 (cas (g) et (h) de la gure 5.5), les cils 1 et 8 sont tous les deux dans leur phase de poussée, et l'écoulement généré est strictement positif dans la direction des x : voirles points (g) et (h) de la gure 5.4.
-π -π/2 0 π/2 π ΔΦ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 < PN > a/L = 1.67 a/L = 2 a/L = 2.53 a/L = 3.33 0.6 0.7 0.8 3 < PN > 0.9 1 a L 2.5 -π/2 -π ΔΦ 0 2 π /2 π 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 (a) (b)
Figure 5.6 E cacité de poussée directionnelle moyenne < P N > surun cycle
de battement en fonction du décalage de phase ΔΦ pourdiérents espacements inter-cils a/L.
Il est maintenant intéressant de comparer l'e cacité de poussée directionnelle moyenne
< P N > générée par les diérentes coordinations de cils sur un cycle de battement com-
plet (voir gure 5.6 (a) et (b)). Avant d'entrer plus en avant dans les détails, rappelons que l'e cacité < P N > est un critère quali ant l'asymétrie directionnelle du transport.
Ainsi, cela ne nous donne qu'un aperçu de la capacité des cils à transporter l'écoulement d'une façon unidirectionnelle. Cela ne nous donne aucune information quantitative sur le volume de uide qui est réellement déplacé. La gure 5.6 (a,b) montre un phénomène intéressant ; les systèmes ayant un grand espacement inter-cils ont une meilleure capacité à générer un écoulement unidirectionnel. Un autre phénomène intriguant est que, pour le plus petit espacement inter-cils (a/L = 1.67, gure 5.6), les ondes antiplectiques semblent avoir une plus grande capacité à créer un écoulement unidirectionnel que les coordinations symplectique ou synchrone, avec un pic pour l'e cacité de poussée directionnelle moyenne
autour de π/2. Ceci est en accord avec les résultats de Gauger et al. [66] qui ont rapporté que les ondes antiplectiques sont plus e caces que le mouvement synchrone des cils, ce dernier étant lui même plus e cace que le cas symplectique. Ceci est également en très bon accord avec les résultats de Ding et al. [47] qui ont obtenu des pics d'e cacité pour les décalages de phase autour de ±π/2, dont un plus élevé pour l'onde antiplectique. Dans la présente étude, l'e cacité minimale pour un mouvement métachronal est atteinte pour une onde symplectique avec un décalage de phase d'environ −π/2.
Lorsque l'espacement inter-cils est augmenté à a/L = 2 ( gure 5.6), un pic d'e cacité apparaît pour les ondes antiplectiques pour ΔΦ ≈ 2π/3 ; tandis que les plus basses valeurs de l'e cacité sont atteintes pour les ondes symplectiques avec ΔΦ ≈ −π/2 et ΔΦ ≈ −π/3. Ces tendances seront retrouvées une fois encore dans les résultats présentés en section 5.5. Si l'espacement inter-cils est augmenté au dessus d'une valeur limite (a/L = 3.33, - gure 5.6), l'e cacité de poussée directionnelle moyenne vaut 1 pour tous les cas (anti- plectique, symplectique, et synchrone). Ceci est en accord avec les résultats de Khaderi et al. [109], qui ont conclu que l'amélioration de l'écoulement dépend de l'espacement inter-cils [mais] l'e cacité n'est pas grandement impactée. En eet, à mesure que les cils sont placés de plus en plus loin les uns des autres, l'in uence de leurs voisins devient né- gligeable. Néanmoins, Khaderi et al. [109] ont rapporté une très faible e cacité pour les cils synchrones, tandis que dans les résultats présentés ici, les cils synchronisés induisent un écoulement positif dans le mucus. Comme expliqué en début de chapitre, ceci est une conséquence directe des eets inertiels (Re > 1) présents dans les simulations, qui annulent le contre-écoulement sensé se produire lorsque les cils sont tous en phase de récupération. Néanmoins, il est important de rappeler que ces eets aectent seulement le cas synchrone. Toutes les autres conclusions établies pour les ondes antiplectiques et symplectiques res- tent les mêmes pour Re 1 et Re = 20. Pour une étude détaillée des eets inertiels à
Re = 20, voir 5.9. Les résultats présentés ici sont diérents de ceux trouvés par Gueron
et al. [75] en monophasique, car ilapparaît que même pour un espacement inter-cils su- périeur à 2 longueurs de cils, l'in uence des cils voisins ne peut être négligée (voir le cas
a/L = 2.53 sur la gure 5.6 par exemple).
Il est important de se rappeler que cette e cacité ne prend pas en compte le volume de uide eectivement déplacé. Ainsi, bien que cette e cacité permette d'avoir une idée de la capacité du système à transporter l'écoulement dans la bonne direction, il est nécessaire de regarder la quantité de uide eectivement déplacée.