Le champ de déplacement d(x) est tout d'abord calculé : d(x)= T
0 u(x(t), t)dt, où x
est le vecteur position, u est la vitesse du uide, et T est la période de battement des cils. Sa composante dans la direction x est moyennée sur plusieurs cycles de battement et représentée en fonction de l'altitude z sur la gure 5.2. Les zones de transport et de mélange dé nies dans Ding et al. [47] sont retrouvées. Cette gure nous montre que les ondes antiplectiques semblent être plus à même que les autres modes de coordination pour transporter des particules. Il est important de noter que, dans la gure 5.2(b), les deux courbes avec ΔΦ = ±π/4 ont une allure similaire, alors que dans la gure 5.2(a), les ondes symplectiques induisent un transport négatif (i.e. un contre-écoulement) dans la zone de mélange pour le même décalage de phase. Cela sera étudié plus en détails en chapitre 7. Notons que pour une valeur donnée de décalage de phase, la vitesse du mucus dépend aussi de la densité de cils. On remarque l'importance du décalage de phase en
(a) ΔΦ = 0
(b) ΔΦ = −π/4
(c) ΔΦ = π/4
(d) Random
scale.png
Figure 5.1 Diérentes sortes de mouvement collectifs pour les cils. Ici, à des ns de visualisation, 32 cils arrangés selon un motif 8 × 4 sont considérés sur un domaine de calcul de taille (Nx= 241, Ny = 121, Nz= 50) pourchaque cas, avec
un espacement inter-cils de a/L = 2. (a) Mouvement synchrone ; (b) mouvement métachronal symplectique ; (c) mouvement métachronal antiplectique ; (d) au- cune synchronisation (état aléatoire des cils). Les gures montrent le contour de l'amplitude de la vorticité adimensionnée ω en utilisant une échelle logarith- mique. Les lignes noires montrent la position, à l'initialisation de la simulation, de la frontière entre la PCL en dessous et le mucus au dessus.
observant la gure 5.2(a) : pour un décalage de phase ΔΦ = −π/9, les ondes métachro- nales symplectiques n'induisent aucun contre-écoulement dans la zone de mélange, tandis que le contraire se produit pour ΔΦ = −π/4. Finalement, on note que l'in uence de la métachronie diminue à mesure que l'espacement inter-cils augmente. Ainsi, pour un espa- cement inter-cils très grand, les trois courbes a chées sur la gure 5.2 (b) fusionnent en une unique courbe qui correspond au déplacement généré par un cil isolé. Additionnellement,
(a) (b)
Figure 5.2 Déplacement moyen normalisé dans la direction x en fonction de
z/L pour (a) ΔΦ = ±π/9 et ΔΦ = ±π/4 avec a/L = 0.8 ; (b) ΔΦ = ±π/4 et a/L = 1.67. Tout comme dans Ding et al. [47], la zone de mélange s'étend de 0
à L et la zone de transport de L à 1.4L. Pour chaque cas, l'interface mucus-PCL est située à z/L = 0.9 et est indiquée par une ligne pointillée horizontale.
on observe que le mucus est mieux transporté dans le cas (b) où l'espacement inter-cils est plus important. Tout comme dans Ding et al. [47], le déplacement atteint un plateau pour une position verticale z/L = 1.4 dans les cas (a) et (b). Le motif de battement des cils utilisé dans Ding et al. [47] est diérent de celui utilisé ici, mais les mêmes tendances sont observées. Néanmoins, une diérence majeure doit être relevée : pour ΔΦ = −π/4 et
a/L = 1.67 ( gure 5.2(b)), nos résultats indiquent que le déplacement induit par l'onde
symplectique présente la même allure que celle des cas antiplectique et synchrone, i.e. qu'il induit du transport, quoique moindre, dans la couche de mucus. Au contraire, Ding et al. [47] n'obtenaient aucun transport au-dessus des cils pour l'onde symplectique, avec à la place un pic dans le transport sous le sommet des cils à z = 0.7L. Cela était dû à la présence de structures ressemblant à des vortex à la fois en dessous et au dessus des som- mets des cils pour cette valeur particulière de décalage de phase ΔΦ. Puisque la diérence principale entre leur étude et ce travail est la prise en compte ici de deux couches uides (même décalage de phase et espacement inter-cils), cela met en évidence l'importance du caractère diphasique. L'in uence de la présence d'une interface uide- uide sera étudiée au chapitre 7.
Les déplacements dans les directions z et y ont aussi été analysés. Les résultats montrent que la composante selon y du déplacement peut être négligée, et que la composante selon
z est quasiment nulle au dessus de la pointe des cils, mais pas en dessous. Comme nous en
maximale dans les régions oùla contrainte de cisaillement est maximale elle aussi. Cela est en accord avec l'existence d'une zone de mélange sous le sommet des cils.
En faisant une analogie avec le tenseur des déformations classiquement utilisé en méca- nique des solides, le gradient du champ de déplacement ∇d peut être calculé en assimilant chaque n÷ud uide Eulérien à un traceur passif. Puisque le déplacement dans la direction transverse est très petit, la composante selon y du champ de déplacement peut être né- gligée. En conséquence, le gradient est calculé sur chaque plan (x, z), et une moyenne est ensuite eectuée selon la direction y. En suivant la méthodologie décrite dans Ding et al. [47], ∇d est décomposé en une partie antisymétrique correspondant aux rotations :
R = (∇d − (∇d)T)/2 (5.1)
et en une partie symétrique correspondant aux déformations dues au cisaillement :
S = (∇d + (∇d)T)/2 (5.2)
Les deux valeurs propres de S sont de la forme ±γ et indiquent les taux d'étirement (+γ) et de compression (−γ). Le vecteur propre unitaire eγ correspondant à la valeur propre
positive indique la direction d'étirement, et l'autre la direction de compression. Du fait de la condition d'incompressibilité, les deux vecteurs propres sont orthogonaux, et en tracer un est donc su sant pour avoir l'intégralité de l'information.
Sur la gure 5.3, le taux de cisaillement ainsi que sa direction sont présentés selon un plan (x, y) pour les trois cas étudiés. Le taux de cisaillement est maximal près de la partie supérieure des cils jusqu'à une faible distance au dessus de leurs pointes pour les trois types de coordination ciliaire. Pour le cas synchrone (cas (a)), il n'y a presque pas d'étirement loin des cils pendant la phase de récupération, tandis que pour les cas (b) et (c), correspondant respectivement aux cas symplectique et antiplectique, un faible étirement peut toujours être observé dans le domaine, car il y a toujours des cils en phase de poussée (voir la partie droite des cas (b) et (c) dans la gure 5.3). Une forme complexe du taux d'étirement peut être observée au niveau de la pointe des cils pendant la phase de poussée pour le cas antiplectique (voir cil 3 par exemple), pendant la phase de poussée du cas symplectique (voir cils 6 et 7), et pendant la phase de poussée du cas synchrone (résultats non montrés). De par leurs orientations, on peut s'attendre à une amélioration du mélange dans cette région. Tout comme dans Ding et al. [47], la direction d'étirement est une fonction non linéaire de l'espace. A l'exception des zones oùle taux de cisaillement est maximal, le champ γeγ est orienté à 45◦ par rapport à la direction x, et est presque uniforme. Ceci
(a)
(b)
(c)
Figure 5.3 Taux d'étirement et sa direction pour : (a) le mouvement synchrone (ΔΦ = 0), (b) une onde symplectique (ΔΦ = −π/4), (c) une onde antiplectique (ΔΦ = π/4). Dans chaque cas, l'espacement inter-cils est a/L = 1.67, et la taille du domaine est (Nx= 201,Ny = 26,Nz = 50).
est typique d'un pro l de cisaillement linéaire dx = cz où c est une constante. L'aspect
non uniforme de l'orientation de l'étirement indique la présence de plis dans le champ de déplacement d, ce qui joue aussi un rôle dans le mélange comme cela est expliqué dans Kelley et Ouellette [105]. Ding et al. [47] ont obtenu que le taux d'étirement est maximal pour le cas antiplectique pour ΔΦ = π/4, ce qui est exactement ce qui est obtenu ici. On peut alors s'attendre à ce que cette valeur particulière du décalage de phase Δφ soit la plus e cace pour mélanger les uides en augmentant l'étirement près de la partie supérieure des cils. Cela sera étudié et con rmé au chapitre 6.
A n de tester le réalisme des paramètres introduits dans notre modèle, une comparaison avec des données expérimentales est eectuée. Pour cela, l'écoulement généré par nos cils
numériques est comparé à celui généré par les toues de cils présentes sur l'épithélium respiratoire, en considérant qu'un cil numérique équivaut à une toue de cils réels, soit environ 200 cils. La vitesse de clairance moyenne est calculée sur le plan (x, y, 3.2L) pour toutes les simulations. La plus haute vitesse de clairance est atteinte pour le cas a/L = 1.67 avec ΔΦ = π/4 et vaut 33.47 μm/s. Ceci est en accord avec les résultats expérimentaux de Matsui et al. [148] qui ont observé une vitesse de clairance de 39.8 ± 4.2 μm/s pour le mucus. Matsui et al. [148] ont aussi observé que la PCL s'écoule dans la même direction que le mucus, ce qui est le cas dans les présents travaux.