En résumé, il existe un très grand nombre de modèles sous-maille présentant haun
des intérêts etdes inonvénients,en fontion du typed'éoulement onsidéré. Desétudes
antérieures permettent de déterminer l'ordrede préision attendu pour es modèles dans
nos as d'étude.
Tout d'abord, dansleadre del'approhe spetralede laTurbuleneHomogèneIsotrope,
plusieurs modèles ont été étudiés : le modèle de Smagorinsky et les modèles spetraux
basés sur l'introdutiond'une visositéeetive dansleas simple (2.17)oudans leas
dynamique ave évaluation de la pente
m
(2.18). Lesrésultats ont montré quele modèlede Smagorinsky ne permettait pas d'obtenir orretement la pente en
k −5/3
près de laoupure que l'on doit retrouver dans la limite d'un nombre de Reynolds inni. Une
a-s'expliquerthéoriquement(voir,par exemple,[122℄page372) ets'avère êtreun défaut du
modèle de Smagorinsky. Les deux autres modèles permettent de retrouver des spetres
similaires,ave une légère préférene pour lemodèle dynamique de Métais etLesieur, au
niveaude lapenteprèsdelaoupure.Paronséquent,lemodèledevisositéeetiveave
évaluationdynamiquedelapente(2.18)aétéonservépourlessimulationsdeTurbulene
HomogèneIsotrope.
k
E
5 10 15 20 25 30 354045
10 -2 10 -1
k -5/3
Fig.2.3Spetresd'énergieobtenusave lemodèledynamiquedeMétais etLesieur()
et lemodèle de Smagorinsky ().
Pour les aluls en volumes nis, de nombreuses études antérieures ont mis en avant
les faiblesses et les atouts des diérents modèles existants. Par exemple, Vreman et al.
[146℄ontévaluéleomportementdeplusieursmodèlessous-maillepourleasdelaouhe
de mélange turbulente. Leurs onlusions peuvent être résumées ommesuit :
pourde faiblesvaleurs du nombredeReynolds,lesdiérentsmodèlesétudiés
présentent des résultats omparables, qu'ils soient basés sur une évaluation
dyna-mique de leurs oeients ou non; néanmoins, le meilleur modèle semble être le
modèle mixte dynamique, le modèle dynamique de Clark et le modèle de
Smago-rinsky dynamiquedonnant également des résultatstrès intéressants.
pourde fortesvaleursdu nombredeReynolds,Vremanetal.ontonstatéque
ertainsmodèlessansévaluationdynamiquedeleursoeientss'avèrentinstables;
lemodèle de Smagorinskysemontre pour sapart surdissipatifdans lerégime
lami-e modèle n'est pas assez dissipatif. Les meilleurs résultats sont obtenus ave des
modèles dynamiques,le plus préis étant le modèle de Smagorinsky dynamique.
Il sembleainsi qu'une proédure d'évaluationdynamique des oeients soit
reomman-dée pour l'étudedes phénomènesà hauts nombres de Reynolds.
Cependant, les modèles dynamiques lassiques, s'appuyant sur la relation de Germano,
néessitent une attention partiulière du fait de leur tendane à être numériquement
in-stables (voir en annexe B). An d'éviter tout phénomènede e type,le modèle d'éhelle
mixteanalementété retenu ii.Ce modèle peut être onsidéréommeun modèle
dyna-mique (au sens large du terme)dans lamesure oùilvise às'adapter à lastruture loale
de l'éoulementet ne requiert auun traitementpartiulier en vue de sa stabilité.
Ce modèle a été validé par Sagaut et al. [123℄ sur le as du anal plan, ainsi que dans de
nombreusesautresétudesommelesthèsesdeLenormand[71℄,Quéméré[115℄etTerraol
[136℄. Les résultats obtenus ave e modèle sont alors omparables à eux d'un modèle
dynamique pour l'ensemble des éoulements étudiés dans es diérentes référenes. Les
modèles dynamiques néessitent, pour leur part, une proédure de stabilisation
numé-rique, e quele modèle séletif ne requiert pas.
Lemodèled'éhellemixteséletifadonétéretenupoursastabilité,sonaptitudeà
repré-senter onvenablementlesphénomènesliésàlaasade inverse ainsiquepour saapaité
à apturer latransition vers laturbulene.
Analyse théorique de l'erreur de
ommutation
Parmi les hypothèses ouramment employées en Simulation des Grandes Ehelles, la
ommutativitéentre lesderivéespartiellesintervenantdansleséquationsdeNavier-Stokes
et la notion de ltrage, liée à la deomposition du hamp en grandes et petites éhelles,
a été remise en ause dans de nombreuses études. Dans ertaines situations, en eet, il
s'avère néessaire de tenir ompte de l'erreur numérique introduite en utilisant e type
d'hypothèse. En partiulier, de nombreuses référenes traitent de la non-ommutativité
entrederivées spatialesetltragedansleadred'unesimulationréaliséesurunmaillageà
pas variableen espae. Untelranement enespaes'avère tout partiulièrement
intéres-santpourl'étudedephénomènesen proheparoi.Eneet,iln'est possibled'appliquerles
onditionsauxlimitesphysiquesauhampltrésansrisque de détériorationdes résultats
qu'à laondition que lepas d'espae du maillage tendeà s'annuler àla paroi [13, 31℄.
3.1 Erreur de ommutation en espae
Lespremières étudesmettanten évidenee phenomèneontété eetuées parGhosal
et Moin [50℄. Ils se plaent dans une situation où la longueur de oupure liée au ltre
varie en espae dans dans le but de mieux s'adapter à la variation spatiale des éhelles
aratéristiques de l'éoulement. Dans une telle situation, ils montrent que, sans
traite-mentpartiulierdultre,leséquationsourammentemployéesenSimulationdesGrandes
Ehellessontinonsistantes.Uneextensionpartiulièredultreestalorsproposée(SOCF
pour"Seond-OrderCommutingFilter")andepalliereproblème;aveetypedeltre,
l'erreurintroduiteen utilisantles équationslassiques de laLES, appelée erreur de
om-mutation (souvent notée SCE pour Spatial Commutation Error), est d'ordre2 et peut
failementdevenirplusimportantequeleserreursourammentadmisespourlesméthodes
numériques, quee soitl'erreurdetronaturedu shémade disrétisationouelle induite
par lemodèle sous-mailleemployé.An de limiterl'inuene de l'erreurde ommutation
sur la simulation, Ghosal et Moin préonisent d'introduire des termes d'ordre supérieur
dans les equationsltrées an de tenir ompte expliitementde l'erreur de ommutation
quipeut interveniretquiagitdemanièrepurement diusivesurlasolution.Onaen eet
larelation suivante:
∂ψ
∂x = ∂ψ
∂x − M 2 δ ′
δ
∂ 2 ψ
∂x 2 + O(kδ) 4
(3.1)où
δ(x)
est le pas de grilleloal,δ ′ (x) = ∂δ ∂x
,k
le nombre d'onde etM = R +∞
−∞ ζ 2 G(ζ )dζ
qui dénitle moment d'ordre2 du ltre.
Onpeutainsijouersurl'ordredegrandeurdel'erreurnumériquedueàlanon-ommutation.
Cependant,etteméthodenéessitesoitladénitiondeonditionsauxlimites
supplémen-taires,soitlereoursàuneméthodedesperturbationsomplexeàtraiternumériquement.
Parailleurs,Piomelli[108℄soulignequel'utilisationd'unmaillagevariantdemanièrenon
monotone risque d'aboutir à des instabilitésnumériquesen traitantainsi leproblème de
ommutation.
De son oté, Van der Ven [143℄ propose une famille partiulière de ltres adaptés à la
LES. L'intérêt de es ltres réside dans leur ommutation ave les dérivées partielles en
espaeàun ordredéniparletre lui-même.Laformulationdansl'espaede Fourierdes
ltres proposés par Vander Ven est :
G ˆ m (ζ, α) = exp − α
2m ζ 2m
(3.2)
où
α > 0
est un paramètre aratéristique du ltre etm
un entier positif.En partiulier, lesvaleurα = 1
etm = 1
nous onduisent aultre gaussien.L'approhe de Vander Ven permet de diminuer d'avantage l'erreurintroduite,sans prise
en omptede termessupplémentaires ontrairementà GhosaletMoin, mais ilselimite à
des ltres bienspéiques,etne faitpas référene auxproblèmes quipourraient survenir
près des frontières,l'étudeétantmenée uniquement dans leadred'un domainede alul
non borné.
Vasilyev et al. [142℄ ont ensuite montré qu'on diminue d'autant l'erreur de ommutation
que l'onemploie un ltre ayantses premiersmomentsnuls. Eneet, pour un ltreayant
ses
p − 1
premiers moments nuls, on montre que l'erreur de ommutation devientnégli-geable devant l'erreur de disrétisation si le shéma numérique adopté est d'ordre
p
, auplus. Vasilyev et al. ont également proposé des ltres disrets répondant au ritère de
ommutationainsi formulé; on retrouve entre autres les ltres dérits par Van der Ven,
ainsi que les fontions de Daubehies [26℄. De ette manière, on obtient une
généralisa-tion des méthodes préédentes, les études de Ghosal et al. et Van der Ven apparaissant
ommedes as partiuliersde e typede ltres.Le traitementdes onditions auxlimites
a également été abordé. Ils montrent en eet que l'on peut appliquer les onditions aux
limites physiques au hamp ltré sans risque de déterioration des résultats à ondition
que le pas du maillage soitsusamment n près des frontieres pour résoudre l'ensemble
des éhellesloalesetqueleltreemployévérielespropriétés de ommutationévoquées
préédemment.
Une prise en ompte expliite des termes engendrés par la non-ommutation entre
déri-vées en espae et ltrage a été proposée par Iovieno et Tordella [62℄. Ils montrent qu'en
appliquant deux niveaux suessifs de ltrage au hamp étudié, on peut approximer le
terme d'erreur ave une préisiond'ordre4 :
C i ( h f i δ ) =
est, rappelons-le,d'ordre2sansauune modélisationnionsidérationsur leltreemployé
[50℄. Cette méthode est partiuliérement intéressante, en partiulier ar elle n'entraine
pas d'augmentation au niveau de l'ordre du shéma et permet don de s'aranhir des
éventuels problèmes liésaux onditions limitesévoqués préédemment.
Berselli et al. [13℄ se sont également penhés sur le terme d'erreur engendré par la
non-ommutativité. Tout d'abord, ils ont herhé à étendre les études antérieures à des as
plus onretsde simulations.Pour ela,ilsontdéveloppéde nouvelles expressions pour le
terme d'erreur, en limitantle nombre d'hypothèses eetuées au ours de es reherhes.
Ils ont ainsi pu déterminer une formule qui se généralise à l'ensemble des fontions dont
les hypothèses de régularité sont ohérentes ave elles renontrées dans les phénomènes
turbulents,etpourlesltresourammentemployésenLES.Enpartiulier,uneestimation
analytique de l'erreur de ommutation a été dérite pour les fontions ontinues au sens
de Hölder et lesfontions ayant des singularités rationnelles au niveau de leurs dérivées.
Ces fontions sont hoisies ar elles entrent tout à fait dans le adre mathématique des
équations de Navier-Stokes. Le as des fontions vériant la loide puissane en
1/α
,quiapparaissent dans la théorie sur la ouhe limite, a également été étudié. Ces dernières
sontpartiulièrementintéressantes ar ellesarartérisentdeséoulementsdeprohes
pa-roi et des études ont montré que es éoulements sont partiulièrement aetés par les
erreurs de ommutation du fait du ranement progressif des tailles de mailles [39, 62℄.
L'étude de Berselliet al. montre qu'ilest néessaire d'adapter lalongueur de oupure du
ltreàlarégularitéde l'éoulementsionveutéliminerleserreursde ommutation.Ainsi,
pourdes fontionsfortementsingulières,elasetraduitpardestaillesdemaillestrèsnes
an de résoudre entièrementl'éoulement.
Par ailleurs, Berselli et al. [14℄ ont égalememnt étudié l'inuene relative de l'erreur de
ommutationpar rapportauxtensionsdeReynolds. Ilsonstatent, parexemple,que
l'er-reur de ommutation a une inuene aussi importante (si e n'est plus) que le terme
sous-mailledansles éoulements de prohe-paroi.Lessolutionsqui onsistentà diminuer
le terme dû à la non-ommutation en jouant sur l'ordre du ltre employé ne semblent
alors pas appropriées. En eet, de ette façon on diminue également l'importane du
terme sous-mailleet l'erreurrelativereste ainsi du même ordre. De ettefaçon, il semble
impossible de ontrler l'erreur de ommutation indépendemment du terme sous-maille,
e qui onrme la diulté que onstitue l'appliation de maillagesà pas variables dans
le adrede laSGE.
Vasilyev etGoldstein [141℄ ont étudiéle omportementspetral de l'erreurde
ommuta-tion. En eet, en introduisant la notion de spetre loal, ils ont examiné la répartition
spetrale du terme d'erreur pour diérents ltres. Ils montrent ainsi que ette erreur est
onentréeauniveaudes nombresd'ondeprohes delaoupurepourdesltresse
rappro-hant du ltre porte, alors qu'elle est répartie sur l'ensembledu spetre étudié pour des
ltres régulierstels que leltre gaussien. Ils omparent égalementette répartition
spe-tralede l'erreuraveelle dutermesous-maille.On vérieainsiquelapriseen omptede
l'erreurde ommutationest toutaussi importantequelamodélisationsous-maille.Enn,
lefaitquel'erreurdeommutationagisseprinipalementprèsde laoupureest également
un problème onsidérable, ar la modélisation sous-maille fait généralement appel à des
informationsprovenant de ette gamme d'éhelles.
Geurtsetal.[47,46℄soulignentégalementlefaitqu'onnepeutpas diminuerl'inuenede
l'erreur de ommutation uniquement en jouant sur l'ordre du ltre puisque l'on modie,
parlamêmeoasion,letermesous-maille.Paronséquent,ilsherhentàdéterminer
l'er-reur relative de ommutation auregard du tenseur sous-maille. Ils montrent que laseule
manière de diminuer réellement le terme de non-ommutativité est de limiter les études
à des variations faiblesde la longueur de oupure liéeau ltre. Dans le as ontraire, ils
proposent de reformuler les équations ltrées par l'intermédiaire de la régularisation de
Leray.
Par ailleurs,un ertain nombre d'études sesont penhées plus spéiquement sur les
erreurs de ommutation survenant sur des ongurations omplexes, en partiulier pour
des maillages non struturés [54, 63, 89℄.