HAL Id: tel-01570183
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01570183
Submitted on 6 Aug 2017
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Distributed under a Creative Commons Attribution| 4.0 International License
Simulation des Grandes Echelles en maillage adaptatif
Sébastien Leonard
To cite this version:
Sébastien Leonard. Simulation des Grandes Echelles en maillage adaptatif. Mécanique [physics]. Paris
6, 2006. Français. �tel-01570183�
PARIS VI
Spécialité
Mécanique
Présentée par
M. LEONARD Sébastien
Pour l’obtention du grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PARIS VI
Sujet de la thèse :
SIMULATION DES GRANDES ECHELLES EN MAILLAGE ADAPTATIF
Soutenue le 07 Novembre 2006 devant le jury composé de
M. CALTAGIRONE Jean-Paul (Rapporteur) M. GERMANO Massimo (Rapporteur) M. GEROLYMOS Georges (Examinateur) M. LAMBALLAIS Eric (Examinateur) M. SAGAUT Pierre (Directeur de thèse)
M. TERRACOL Marc (Examinateur)
Ces travaux de thèse ont été réalisés à l'Oe National d'Etudes et de Reherhes
Aérospatiales, dans leDépartement de SimulationNumérique des éoulements et Aéroa-
oustique etl'unité Eoulements Turbulents Réatifs Instationnaires.
Je remerie Monsieur Morie, direteur du DSNA, et Monsieur Lê, hef de l'unité
ETRI, de m'avoir aueillidans leurs équipes pendant es trois années.
J'exprime magratitude àMonsieur leProfesseur Pierre Sagautd'avoiraepté de di-
riger ette thèse etde m'avoir ommuniqué ses onseilsavisés et sarigueur sientique.
Je remerie tout partiulièrement Mar Terraol quia enadré ette thèse. Sa grande
disponibilitéàmonégard,samotivationetsagrandeonnaissanephysiqueetsientique
m'ontpermis de mesortir de nombreuses diultés auours de es trois années.
J'adresse mes remeriements à Messieurs les Professeurs Massimo Germano et Jean-
Paul Caltagirone d'avoir aepté d'être les rapporteurs de ette thèse. Je remerie égale-
mentlesprofesseurs EriLamballaisetGeorgesGerolymosd'avoiraepté de fairepartie
du jury et pour leurs remarques pertinentes sur mes travaux. De même, j'adresse mes
remeriements àFrédéri Duros pour avoirfait partiede mon jury en tant qu'invité.
Jeremerie égalementlaDélégationGénéralepourl'Armementqui ananémes tra-
vauxet, enpartiulier,MonsieurLerougequiabienvoulupartiiperàmonjury dethèse.
Je remerie l'ensembledes ingénieurs et dotorant(e)s quej'ai pu otoyer auours de
es trois annéesau DSNA. J'adresse un salut partiulierà tous lesdotorant(e)s de l'aile
F ainsi qu'à eux (elles) déloalisé(e)s dans l'aile E : Elisa la touhe féminine de l'aile,
Chihi son ollègue de bureau et malheureux supporter aennais, François notre buteur
maison, Lutz notre Guert Muller des tempsmodernes, Guigui2 mon ollègueau Canada
etdontlasaisona étégahée parde nombreux problèmesaux adduteurs,Guigui3etses
dribbles déroutants, Fred le tatiien et grande bible du football et du sport en général,
Olivier trop souvent perturbé par nos sorties noturnes du WE pour etre aligné sur la
feuillede math,Casifab danseur à la ville omme sur le terrain et Soni notre Zinédine
Platini maison.Un grandmeri égalementaux aniens, Bruno dit"Chibre", Noël expert
esKirhho,Ronannotrebretonetailiergauhetrèsassidu,MatthieuetErikmesvoisins
de bureau, le seond ayant poussé le vie jusqu'à poursuivre notre ohabitationà EADS
après la thèse.
Ungrosououàmes prohes,àommenerparmafamillequifutd'ungrandsoutien
pendant es trois années et pour la préparation de la soutenane. Meri don à mes pa-
rents,mesgrandsparents,àNathetFranky.Unegrosse penséeàtousmes amisiaunais
pour tous les bons moments passés en leur ompagnie et bonne hane à eux et leurs
enfants, j'espère que tous leurs projets se réaliseront. Une pensée également aux ensma-
tiques Ed etSeb, et bonourage auseond pour sa soutenane.
Enn plein de gros bisous à Laetitia, meri àelle pour son soutienà l'approhe de la
soutenane et pour tous les moments magiques que l'on a passé ensemble... et d'avane
pour tous eux qui suivront.
Introdution 2
I Aspets théoriques de la Simulation des Grandes Ehelles en
maillage variable 11
1 La Simulation des Grandes Ehelles 13
1.1 Notion de ltrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Leséquations de Navier-Stokesltrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Equations ltréespour un uide ompressible . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Equations ltréespour un uide inompressible . . . . . . . . . . . 22
2 Fermetures sous-maille 25 2.1 Notion de modèles sous-maille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Le prinipe delamodélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Lesinterations entre éhelles résolues et éhelles sous-maille . . . . . . 26
2.2 Prinipauxmodèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 La modélisationfontionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 La modélisationstruturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Lesautres approhespour lamodélisation . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Modèles retenus pour l'étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Analyse théorique de l'erreur de ommutation 37 3.1 Erreur de ommutationen espae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Erreur de ommutationen temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Etude numérique de l'erreur de ommutation 45 4.1 Turbulene HomogèneIsotrope en déroissane libre . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Desriptiongénérale de la simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2 Miseen évidenede l'erreurde ommutation . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Turbulene HomogèneIsotrope forée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Leterme de forçage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2 Miseen évidene del'erreur de ommutation. . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3 Evaluationa priori de l'erreur de ommutation . . . . . . . . . . . . . 57
II Simulation des Grandes Ehelles en maillage adaptatif 61
5 Les diérentes tehniques de ranement loal 63
5.1 Intérêt du ranement loalen turbulene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Redistributionou enrihissement de maillage? . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Tehniques de ranement loalpar enrihissement. . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1 Enrihissement d'un maillage unique . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.2 Enrihissement à l'aide d'une struture hiérarhisée . . . . . . . . . . 66
6 Méthode de ranement automatique développée 69 6.1 Formalismemultiniveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 Couplage intergrilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.1 Opérateurs de restritionet de projetion . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.2 Enrihissement aux frontières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Critère de ranement pour la LES 79 7.1 Lesritères de ranementlassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.1 Critères numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.2 Critères physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.3 Limites de es ritères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2 Senseur en ondelettes élaboré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.1 Lesondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.2 Critèrede ranement utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2.3 Méthode de grouping / lustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8 Appliation de la méthode 93 8.1 Couhe de mélangeen développement temporel . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.1 Physique de l'éoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.2 Desriptionde lasimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.1.3 Calulsde référene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.1.4 Validationdu senseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.1.5 Adaptationde maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.1.6 Conlusion partielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.2 Canalplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2.1 Physique de l'éoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2.2 Desriptionde lasimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.2.3 Adaptationde maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2.4 Conlusion partielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.3 Culot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.3.1 Physique de l'éoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.3.2 Desriptionde lasimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.3.3 Adaptationde maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3.4 Conlusion partielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
III Annexes 169
B Modèles sous-maille dynamiques 175
C Terme de forçage 179
D Commutation error in LES with time-dependent lter width 183
E A Wavelet-based Adaptive Mesh Renement Criterion for Large-Eddy
Simulation 201
Du fait des performanes roissantes des outils informatiques, l'approhe numérique
en méanique des uides ne esse de sedévelopperet se présenteomme un omplément
préieux à l'étude expérimentale. Elle permet d'obtenir un nombre onsidérable d'in-
formationssur lanature de phénomènesqui ne sont pas toujours aessibles aisément de
manièreexpérimentalesouspeined'inuersurladynamiquedel'éoulement.Parailleurs,
on peut aisément mener des études paramétriques pour des oûts moindres que dans le
adre de l'approhe expérimentale.
Par onséquent, la simulation numérique des phénomènes turbulents onstitue, de nos
jours, un enjeu importanten méanique des uides.Ainsi,de nombreuses étudesvisant à
développerdes méthodes numériquespermettantde disposerde simulationspréisestout
en réduisant leurs oûtsont été réaliséesauours de es dernières déennies. Cependant,
la simulation numérique instationnaire d'éoulements turbulents reste pour le moment
limitéeà des ongurations relativement simples.Eneet, les méanismesquientrent en
jeudanse typed'éoulementfontintervenirunegammeimportanted'éhellesaratéris-
tiques, tant d'un pointde vuespatial que temporel. La turbulenese dérit ainsi omme
un état haotique etpar dénition imprévisible.Pour étudier leséoulements turbulents,
ilonvientdonde faireuneséletionparmileséhellesanden'enalulerqu'unepartie
et de réduire le nombre de degrés de liberté néessaires pour que la simulation soit réa-
lisable. Lanon-linéaritédes équationsimplique un ouplage entre lesdiérentes éhelles,
e quirendimpossibleleur résolutionde manièreindépendante. Ilfautdontenir ompte
de l'interation entre es éhelles par des modèles. Ande simuler aumieux laphysique
omplexede e type d'éoulement, ilexiste ainsi deux approhes distintes.
Tout d'abord, on peut déider de prendre en ompte l'ensemble des interations entre
es diérentes gammesd'éhelles,e qui apour onséquened'aboutir àdes oûtsde al-
ulprohibitifs.Eneet, laprise en ompted'un ensemblede struturesde tailles plus ou
moinsnesnéessiteunnombreimportantdepointsdedisrétisation.Onparleraalorsde
SimulationNumériqueDirete (S.N.D.ouD.N.S.enanglaispour DiretNumerialSimu-
lation).Ande limiterlesdésagréments de l'approhe direte,onagénéralement reours
à des outils de modélisation dans le but de réduire la quantité d'éhelles expliitement
résolue.
C'est notammentdans ette optique que laS.G.E. (Simulation des Grandes Ehelles, ou
L.E.S.en anglaispourLarge Eddy Simulation),aété élaborée.Ellereposesurune déom-
position fréquentielle des variables de l'éoulement par l'appliationd'un ltre passe-bas
enfréquene.L'intérêtdeeltrageestqu'ilpermetdedistinguerdeuxgammesd'éhelles:
d'une part, la partie basse fréquene ontient les grosses strutures de l'éoulement, les-
quellesonstituentsapartiemotrieetsontaluléesdiretementparrésolutiondeséqua-
tions de Navier-Stokes ltrées; d'autre part, les petites éhelles, qui orrespondent à la
partiehautefréquene,sontprisesenompteparl'introdutiond'unmodèle.Cettemodé-
lisations'appuie sur des aratéristiquespartiulières de es petites strutures (isotropie,
homogénéité, universalité, ...). Pour une revue plus omplète des tehniques Simulation
des Grandes Ehelles, leleteur pourra sereporter à l'ouvragede P. Sagaut [122℄.
Cependant,es hypothèsesportantsurlespetiteséhellesnesontpasvériéespourtoutes
lesongurationsde alul.Parexemple,onneretrouvepasnéessairementlesonditions
d'isotropie des petites éhelles dans les zones de prohe paroi. Par ailleurs,la proportion
depetiteséhelles peutvarierde manièresigniativespatialementettemporellement,du
fait du aratère intermittent de la turbulene. Cei néessite alors d'adapter la modéli-
sation en onséquene, de manière à diminuer les erreurs de modélisationdans les zones
de l'éoulementritiques pour l'approhe SGE.
Une idée ouramment envisagée, an de limiter les erreurs de modélisation engendrées
dans de telles ironstanes, est alors de diminuer la quantité d'éhelles à modéliser. La
solutionest ainsi d'adapter lemaillage an de le rendreplus n dans leszones à risques,
au regarddes hypothèses néessaires à la modélisation. Eneet, la notion de ltrage in-
troduitedansleadrede laSGEest diretementliéeàlarésolutionde lagrilledealul:
plus le maillageest grossier, etplus la quantité d'éhelles àmodéliser est importante.
Lanotiond'adaptationde maillageest déjàourammentemployée dans leadrede laré-
solutionnumériqued'équations diérentielles.On peut iterlesméthodes A.M.R.(Adap-
tive Mesh Renement [9, 8, 117℄) dont l'objetif est d'adapter loalement et de manière
automatique le maillage à l'éhelle des méanismes mis en jeu. L'objetif ommun des
méthodes adaptatives est ainsi d'ajuster la résolution du maillage de telle manière qu'il
soit possible d'obtenir une bonne disrétisation de l'ensemble des strutures de l'éoule-
ment.Ces méthodes adaptatives peuvent alors être ombinées ave diérentes approhes
portantsurlasimulationdesphénomènesturbulents.C'estleasdesétudesonernantle
problème de ouplage entre les méthodes moyennées de type RANS (Reynolds Averaged
Navier-Stokes [114℄)et SGE, haune de es méthodes néessitant une préisionde grille
de alul qui luiest propre.On parle alors de méthodes hybrides [115,136, 68℄.
Fae au problème du oût exessif que représente la prise en ompte déterministe de
strutures depetitestailles,ilest iienvisagé detraîterhaquegammed'éhelle indépen-
demmentpar unedéompositionmulti-niveaux.Pour ela,onherhe àréduirel'étendue
des grilles de alul de haute résolution et à limiter es grilles aux zones partiulières
de l'éoulement qui néessitent la prise en ompte déterministe de petites strutures,
omme 'est par exemple le as des éoulements de ouhe limite. Un outil d'adapta-
tion de maillageest ainsi proposé dans ette étude. Cependant, une telle déomposition
multi-niveaux n'est pas sans poser un ertain nombre de problèmes. En partiulier, une
attention toute partiulière doit être prêtée au problème du ouplage et du transport
d'informations entre les diérents niveaux de résolution. Ainsi, s'il semble intuitivement
simple de transférer l'informationrésolue à un niveau donné vers des niveaux de résolu-
tionplus grossiers, l'opérationinverseserévèleplus déliate.Danse as,ilest néessaire
de proéder à un enrihissement en fréquene de la solution an de lui donner le bon
niveau fréquentiel.L'approhe introduite dans es travauxtraite de manière expliite de
la disontinuité fréquentielle qui existe entre les diérents niveaux de ltrage. Plus pré-
isément, ette dernière sera traitée par un enrihissement diret par extrapolation pour
