Canal plan

Leseondas d'étudeonerne l'éoulementsedéveloppantdansun analplan.Cette

ongurationprésentedenombreuxavantagespuisqu'ellereposesur unegéométriesimple

àtraiteràlafoisnumériquementetexpérimentalement,eteas présentel'intérêtd'avoir

été très largement étudié dans la littérature. Par ailleurs, ette onguration représente

un as d'épreuve intéressant pour la Simulation des GrandesEhelles. Eneet, un grand

nombrede phénomènesphysiquesentrenten jeudanse typed'éoulement,dontertains

peuvent être ritiques en vue de leur traitementen Simulationdes GrandesEhelles. En

partiulier, letraitement de l'éoulement en prohe paroi néessittant laprise en ompte

des petites éhelles anisotropesprésentes dans ette zone reste un point déliatà traîter

ranementprésentée dansemémoirepeuts'avérer partiulièrementeaepour limiter

leserreurs de modélisationdes éhelles sous-maille.

8.2.1 Physique de l'éoulement

L'éoulementdans un anal plan est prinipalement régi par des phénomènes

d'inter-ations turbulentes partiulièrementomplexes en régionde prohe paroi.En eet, pour

leséoulementspariétaux,lesinstabilitésprimairesapparaissentdans leszonesde prohe

paroie quitraduit lefaitqueleseets visqueuxjouentun rle déterminantdans

l'appa-rition de es instabilités. Plus préisément, on distingue généralement auminimum deux

régions :

une région externe dans laquelle les eets inertiels sont prépondérants;

une région prohe de laparoi dans laquelle les eets visqueux sont lesplus

impor-tants.

Plus préisément, il est ouramment admis que la région de prohe paroi est elle-même

subdivisée en deux zones: lapremière est appelée sous-ouhevisqueuse,laseonde zone

tampon. De même, la zone externe peut être sindée en deux parties : la première est

appelée zone de sillage, partie la plus éloignée de la paroi et qui est très peu étendue

(voire inexistante) dans le as du anal plan; la seonde est appelée zone logarithmique.

Un aperçu de l'organisation de es zones est donnésur lagure 8.27.

L'étendue de es diérentes zones est dénie en termes d'unités de paroi. Cette unité

désignelagrandeuraratéristiqueobtenue ennormalisantlesunitésde longueur parune

longueur de référene:

z ⁺ = z ν/u τ

(8.11)

La vitesse

u τ

^{désigne lavitesse de frottement à laparoi, déniepar :}

u τ = r τ ω

ρ ω

(8.12)

où

τ ω

^et

ρ ω

^désignentrespetivementletauxde isaillementetladensitéàlaparoidénis par (si

z

^{désignela oordonnée normaleà laparoi) :}

τ ω =

µ ∂ u ˜ 1

∂z

(z = 0) ρ ω = ρ(z = 0)

(8.13)

On admet alors que l'on peut déomposer l'éoulementpariétal de la manièresuivante:

Sous-ouhe visqueuse pour

0 ≤ z ⁺ ≤ 5

^.

Zone tampon pour

5 ≤ z ⁺ ≤ 30

^.

Zone logarithmique pour

30 ≤ z ⁺ ≤ 500

^.

Zone de sillage pour

z ⁺ ≥ 500

^.

Par ailleurs, les prols moyens de vitesse ont des développements asymptotiques bien

onnusdanslasous-ouhevisqueuseetdanslazonelogarithmique.Ainsi,auniveaude la

sous-ouhevisqueuse,uneanalysesimple[127℄orroboréeparlesrésultatsexpérimentaux

montre que laontraintede isaillement est presque uniquementdue augradient normal

de vitesse longitudinalede telle sorte que l'on peut érire :

u ⁺ = z ⁺

^(8.14)

zone inertielle

z+=15 : max. de production d’énergie, forte cascade inverse + cascade inverse

casace directe

couche cisaillée :

dissipation à petites échelles très intense ejection

Fig. 8.27 Desription de la dynamiquede laouhe limiteturbulente.

Pour la zone logarithmique, le prol moyen de vitesse longitudinale obéità une loi

loga-rithmique,quis'éritdansleasinompressible(et faiblementompressible,ommedans

lessimulations présentées ii) :

u ⁺ = 1

K ln(z ⁺ ) + C

^(8.15)

La onstante

K = 0, 41

^{est la onstante de VonKarman, alors que la onstante}

C

^{a été}

évaluée expérimentalemententre

5

^et

5, 5

^.

Lesnombreuxtravauxportantsurleséoulementspariétauxontpermisdedémontrer que

la zone tampon est la partie motrie de l'éoulement du point de vue de la turbulene.

En eet, les études antérieures ont permis de montrer que l'énergie est prinipalement

réée dansette zone tampon, pour ensuite être diuséede part etd'autrede ettezone.

Une partie de ette énergie est don transférée vers la sous-ouhe visqueuse où elle est

dissipée sous l'ation de la visosité moléulaire. L'autre partie de l'énergie produite est

transmise à lazone externe où elleest propagée avant d'êtredissipée progressivement.

Unedes aratéristiquesimportantesdeephénomènedeprodutiond'énergieest son

a-ratèreintermittent.Eneet,sil'onobserveunéoulementpariétalturbulent,onvisualise

failement l'organisationtridimensionnelle de elui-i,ainsi que laprésene de strutures

allongées en prohe paroi. Ces strutures allongées sont disposées dans la diretion

lon-gitudinale de l'éoulement et sont ouramment appelées streaks. Elles sont à l'origine

de l'apparition de tourbillons en épingles à heveux (ou tourbillons en lambda

Λ

^{) pour}

de grands nombres de Reynolds, ou de strutures en fer à heval pour des nombres de

Reynolds plus faibles. Ces streaks orrespondent à une alternane de zones de uide à

faible vitesse et de zones de uide à haute vitesse. La présene de es zones de uide de

faiblevitesse s'explique par une remontée de uide de laparoi (uide lent)vers le entre

provoquéparlaprésenede esstruturesde petitetaillefortementanisotropesdufaitde

leur allongement dans la diretionde l'éoulement. En eet, les dimensions ouramment

admises pour es strutures sont de

50

^{unités de paroi pour le diamètre, deux streaks}

voisinsétantséparéspar une distane de

100

^{unités de paroidans ladiretion}transverse, alors que des valeurs omprises entre

300

^et

800

^{unités de paroi sont référenées dans la}

littératurepourlalongueurde es strutures.Ils'agitdonbiende struturesanisotropes

étirées dans ladiretionlongitudinale.

Une analyse plus détaillée des phénomènes intervenant dans la zone tampon permet de

distinguer deux mouvements partiuliers des strutures. On regroupe es phénomènes

sous l'appellationd'élatementtourbillonaire(bursts en anglais).On distingue ainsi un

balayagedu uide (sweep) provoqué par lespartiules de uiderapide issues de lazone

entrale du anal(pour lesquelles

u ^′ > 0

^et

w ^′ < 0

^{)etun mouvementd'ejetiondu uide}

présent en prohe paroi vers le entre du anal (

u ^′ < 0

^et

w ^′ > 0

^{). Piomelli et al. [113℄}

montrent alors que les transferts direts d'énergie intervenant dans la zone tampon sont

liésàla phased'éjetion, tandis queles transfertsinverses (baksatter) sontdus au

phé-nomènedebalayage.Ceszonessontsituéesdepartetd'autredesstrutureslongitudinales

(gure 8.28). Au niveau de la zone logarithmique, ils estiment que les transferts direts

et inverses sont tous deux liésà l'éjetion.

Fig. 8.28 Lieux des transfertsdirets (éjetion :

u 3 > 0

^{en bleu) etinverses (balayage :}

u 3 < 0

^{en rouge)d'énergie de part etd'autre des streaks (ritère}

Q

^{en gris).}

8.2.2 Desription de la simulation

Toutes es observations permettent de mettre en évidene le rle prépondérant joué

parlesstruturespariétalesanisotropesenequionernelestransfertsd'énergieentreles

asade inverse oubaksatter. Lapriseen omptede es transfertsinverses risqued'être

mal réalisée par la majorité des modèles sous-maille qui sont généralement purement

dissipatifs, e qui explique que le anal plan soit un as d'épreuve important pour la

Simulationdes GrandesEhelles.

L'étude du anal plan néessittant une résolution de type ouhe-limite en

prohe-paroi,lesoûtsdealulpeuvents'avéreronséquents.Ainsi,ilest généralementonsidéré

lamêmeapproximationtemporellequepourleasde laouhedemélange,e quipermet

de s'arahir de la résolution du développement spatial d'une ouhe limite turbulente

qui entraînerait d'importants oûts de alul. Cette approximation onsiste de nouveau

à imposer des onditions aux limites périodiques dans la diretion de l'éoulement et à

étudier ledéveloppement temporel de la turbulene dans le anal. L'hypothèse de

pério-diité dans la diretion longitudinale est justiable par le fait que l'éoulement de anal

planest parallèle,'estàdirequelaomposantenormaleàlaparoide lavitessemoyenne

est nulle, aussi bien en régime laminaire qu'en régime turbulent, et que et éoulement

ontient des strutures ayant des longueurs aratéristiques longitudinaleset transverses

bien dénies. La ondition de périodiité n'a alors pas d'inuene sur les résultats sous

l'hypothèseque lestailles du domainede alul ontété hoisiesde manièreadéquate. De

même, on utilise également des onditions de périodiité dans la diretiontransverse, e

hoixétantde nouveaumotivépar lefaitquelestaillesdesstruturesdansettediretion

sont orretement dénies.

Le reours à des onditions aux limites de type périodique permet, en outre, de

s'af-franhir des problèmes de traîtement des onditions de type entrée/sortie qui seraient

indispensables en développement spatial. Néanmoins, la periodiité entraîne

naturelle-mentl'annulationdu gradientde pressionentre l'entréeetlasortiedu domainede alul.

Ore gradient de pression représentele terme moteurde et éoulement'est àdire que

e termepermetd'entretenirl'éoulementturbulentetde onserveruneénergieonstante

au ours du alul. En l'absene de e gradient, les pertes de harge provoquées par le

frottementvisqueux du uideontre lesparoisne sontplus ompensées, e quise traduit

par une perte d'énergie du système. Dans le but d'entretenir l'éoulement, il est alors

néessaire d'introduire une quantité d'énergie équivalente à un gradient de pression, e

qui est réalisé par l'intermédiaire d'un terme de forçage. Un aperçu détaillé de e terme

de forçage est donné en annexe (annexe C).

Le hamp initialse ompose d'un prol moyen parabolique(prol de Poiseuille, g8.29)

auquelonajouteuneperturbationaléatoiredemoyennenulle.LaloideBusemann-Croo

est de nouveau employée pour la répartition initiale de la température. Les variables de

l'éoulement sont ainsi initialiséespar :

ρ(t = 0) = 1 + sǫ

^(8.16)

u(t = 0) = U c 1 − (z − 1) ²

(1 + sǫ)

^(8.17)

v(t = 0) = w(t = 0) = sǫ

^(8.18)

T (t = 0) = 1 + γ − 1

3 P r M ₀ ² U _c ² 1 − (z − 1) ⁴

(8.19)

U c

^{désigne la vitesse} longitudinale moyenne au entre du anal, xée à

U c = 1, 5

^;

ǫ ∈ [ − 1; 1]

^{est un nombre aléatoireet}

s = 0, 15

^xe l'amplitude de la perturbation.

Lenombrede Reynoldsdefrottementestxéà

Re τ = 395

^{etlenombrede Reynoldsbasé}

sur la demi-hauteur du anal à

Re = 7000

^{. Le nombre de Prandtl turbulent est xé à}

P r = 0, 7

^{omme préonisé par Comte et Lesieur [21℄. Le débit initial est}

Q 0 = 8, 3814

(

8, 3865

^{surlemaillagegrossier),e quiest unpeuplus élevéquelavaleurthéoriquedans}

le as d'un hamp de vitesse non perturbé

8π/3 ∼ 8, 3776

^.

Au niveau du hoix pour la tailledu domaine de alul, on herhe à s'assurer que les

Fig. 8.29 Canal plan : onguration de alul et hamp initial; veteurs vitesses et

iso-ontours de laomposante longitudinalede lavitesse.

statistiquesendeux points,situésl'un auentre duanal etl'autreàl'éxtrémitéde

elui-idans haune des diretions, sontdéorrélées. Parmi lesétudes antérieures eetuées à

Re τ = 395

^,ontrouve généralement deux hoix pour es dimensions.Parexemple, Moser et al.[96℄réalisent uneDNS en s'appuyant sur undomainede dimensions

2π × π × 2

rés-petivement dans les diretions longitudinale, transverse et normale à la paroi. D'autres

référenes préfèrent utiliserun domainelégérementmoins étendu dansla diretion

trans-verse

2π × ² ₃ π × 2

^{an de diminuer les oûts de alul tout en onservant une bonne}

préisiondans ette diretion[95, 118℄. Les simulations présentées dans e mémoirefont

appel à des domaines de tailleidentique à elle employée par Moser et al. [96℄, à savoir

2π × π × 2

^.

Deuxgrillesderéféreneserontutiliséesparlasuite:lagrilleneontientenviron

3, 1 × 10 ⁵

ellules alors que la grillegrossière ontient deux fois moins de maillesdans haune des

diretions,soitenviron

4 × 10 ⁴

^{ellules.Lestailles de maillesutiliséesave haune de es}

grilles sont reportées dans le tableau 8.4. On notera en partiulier la taille des mailles à

la paroi, dans ladiretion normale (

∆z _min ⁺

^{), qui est de l'ordre d'une unité de paroi pour}

le maillagen et de deux unités de paroi pour lemaillage grossier.

Les gures 8.30 et 8.31 permettent de omparer les résultats des deux simulations de

référene.

La gure 8.30 dérit l'évolution temporelle de plusieurs grandeurs moyennes

aratéris-tiquesde l'éoulementdeanal.Lapremièred'entreellesest lavitesse moyennedébitante

qui permet de vérier le bon fontionnement du forçage qui assure bien la onservation

du débit pour les deux simulations. Lesvaleurs de la vitesse débitanteobtenues pour les

maillage

N x × N y × N z ∆x ⁺ ∆y ⁺ ∆z _min ⁺ ∆z ⁺ _max

grossier

30 × 41 × 32 67, 4 24, 6 2, 44 45, 3

n

60 × 82 × 64 33, 7 12, 3 1, 22 22, 6

Tab. 8.4 Maillages n et grossier : nombre de ellules et tailles de mailles

orrespon-dantes.

variable dérit, pour sa part, les variations de la masse volumique au niveau de la paroi

solide. Cette quantité diminue très légérement au ours du temps même si les variations

restentnégligeables.Latroisièmeourbedéritl'évolutiondutermede forçage

f g ₁ = f ₁ ⁽¹⁾

au ours du temps. Celui-i tend à se stabiliser autour d'une valeur moyenne omprise

entre

− 2 × 10 ⁻³

^et

− 3 × 10 ⁻³

^{. Enn, la dernière ourbedérit} l'établissementprogressif du régimeturbulent grâe àune visualisationdu nombre de Reynolds de frottement. En

eet, après une phase transitoire au ours de laquelle le nombre de Reynolds de

frotte-ment augmente rapidement, elui-i se stabilise autour d'une valeur prohe de la valeur

nominale

Re _τ = 395

^{. Cependant, le alul n permet} d'atteindre un

Re _τ

^{plus prohe de}

lavaleur souhaitée quele alul grossier.

La gure 8.31 donne quant à elle un aperçu du prol moyen de vitesse longitudinale

obtenu pour haun de es aluls de référene ainsi que les utuations de vitesse dans

haune destroisdiretions.Cesprolssontobtenusenmoyennantlesvariablesde

l'éou-lement dans les diretions homogènes et au ours du temps. Cette moyenne temporelle

ne s'applique ependant qu'au régime établi et ne prend pas en onsidération la phase

de transition initiale. Pour les prols moyens, les deux aluls tendent à donner le bon

omportementdansla sous-ouhe visqueuse, ainsi qu'une assezbonneapproximationde

lapentethéoriquedans lazonelogarithmique.Cependant,lapente aluléesemontre

lé-gerementinférieureàlavaleurthéorique.Parailleurs,leséartsexistantentre lesourbes

etladroitethéoriquesont liésàladiéreneentre leReynoldsde frottementthéoriqueet

la valeur réellementobtenue par le alul. Par ailleurs,la loide omportement théorique

seradisutée dans leprohainparagraphedanslebut dedonnerunepremière expliation

de l'éartobservéauniveau del'évaluationdelapenteparrapportàlaloilogarithmique.

Auniveaudesprolsdeutuations,onobserveunelégèresurestimationdupide

utua-tions de vitesse longitudinaleave lealul grossier,alors qu'au ontraireles utuations

dans les deux autres diretions sont légerement sous-estimées. De plus, le pide

utua-tions de la vitesse longitudinale se trouve déalé vers le entre du anal ave le maillage

grossier. On obtient ainsi une bonne estimation de la position de e pi sur le alul n

puisque la valeur obtenue est voisine de

z ⁺ = 15

^{e qui orrespond bien au maximum de}

produtiond'après lagure 8.27.

8.2.3 Adaptation de maillage

La stratégie d'adaptation est ensuite appliquée à l'éoulement de anal plan dans le

but d'augmenter la préisionde la solutionpar rapportau alulgrossier.

La première étape de validationporte de nouveau sur le ritèrede ranement. Lagure

8.32 permet de omparer les zones détetées par le ritère de ranement au ritère Q

orrespondant. Lapremière remarqueest queleranementseonentre bien sur lazone

t

Fig. 8.30 Canal plan foré; évolution de la vitesse moyenne débitante, de la masse

volumiqueenproheparoi,du termedeforçage etdu nombrede Reynoldsturbulent.:

maillagen; :maillage grossier.

z ⁺

Fig. 8.31 Gauhe : Prolsde vitesse moyennelongitudinale;Droite :utuations de

vitesse longitudinale; : maillagen; : maillagegrossier.

normale à la paroi sont presque totalement inluses dans le nuage de ellules à raner.

Au delà de es rangées, les ellules à raner sont réparties au voisinage des strutures

ohérentes. Lagure 8.33montre ainsi quelesenseur séletionnedes elullesqui forment

des ensembles étirés dans la diretion longitudinale.Ceux-i semblent par ailleurs situés

autourdesstrutures ohérentes, e quipourraitorrespondreauxzonesresponsablesdes

phénomènes d'élatementtourbillonaire.

Fig. 8.32 Gauhe : Iso-ontours du ritére Q (

Q = 0, 1

^{); Droite : Iso-ontour du}

ritére de ranement

α = − 2/3

^.

Fig. 8.33 Iso-ontours du ritére de ranement

α = − 2/3

^{et du ritère Q (}

Q = 0, 1

^),

en dehors des deux premiersplans de prohe-paroi.

Les premières simulations multi-niveaux réalisées ayant présenté des diérenes

impor-tantes par rapportauxaluls deréférene, ilaété hoisi de proéderen plusieursétapes

an de déterminerl'origine de es éarts.

Ainsi, dans un premier temps, on limitera à deux le nombre de domaines ns réés à

haque nouveau ranement, haque domaine orrespondant à une des ouhes limites

omposant le anal. Par ailleurs, an de limiter les reours à la proédure

d'enrihisse-ment auxfrontières, lesdomaines ns sont forés à ouperl'ensembledu domainedans

lesdiretions longitudinalesettransverses. Ainsionpeut appliquerune ondition de

per-laparoi,latailledes domainesns est xée par leritèrede ranement. Ilest ependant

intéressant de noterqu'à tout instantles raords entre leniveau n etleniveau grossier

interviennent bien en dehors de la zone de prodution (

z ⁺ < 15

^{) omme préonisé par}

Quéméré [115℄.

Enn,ommeun doutepersistequantautermede forçage àappliquersur une

ongura-tionmulti-domaines(voirenannexeC),lespremièressimulationsvontporteruniquement

surdes alulsdeanalsans termede forçage.Parailleurs,mêmesilaphasedetransition

est bien représentée dans le as de la ouhe de mélange, il est diile de se

pronon-er sur la apaité réelle de la méthode d'adaptation à représenter onvenablement les

phénomèmestransitionnelsintervenant dansdes éoulementsde prohe paroi. De e fait,

l'adaptations'appliquera dans ette étudeuniquement auanal en régime établi.

Comme dans l'étude de la ouhe de mélange, l'évaluation de la solution obtenue ave

l'outil adaptatif sera réalisée à partir des informations ontenues dans le niveau le plus

grossier.L'objetifestdenouveaud'utiliserdesvariablesobtenuesenmoyennantlehamp

sur l'ensembledu domaine.

Les premiers résultats obtenus auront don pour objetif de valider l'approhe

multi-niveaux dans une onguration de anal, et plus spéiquement la ondition de raord

dans la diretion vertiale entre le domaine de base et les domaines ns réés. La gure

8.34donneunaperçu duomportementdes troissimulationsréaliséesen l'absenede

for-çage. Le nombre de Reynolds de frottement reste stabilisé autourd'une valeur moyenne.

L'absene de forçagene sefait pasenoreressentirde manièresigniativesur son

évolu-tion.Ungainnonnégligeableestalorsobtenuavel'approhemultigrillepourl'évaluation

de e nombre. Eneet, après une première phase d'établissementde l'éoulement qui se

traduitparuneaugmentationrapidede lavaleurdu

Re _τ

^{,lealulmulti-niveauxtendàse}

stabiliserautour d'une valeur prohe de elleobtenue par la simulationne de référene.

Parlamêmeoasion,laourbeobtenueàl'aidede laméthode d'adaptationserapprohe

de la valeur nominale utilisée pour es simulations(

Re _τ = 395

^{). Le taux de} isaillement à laparoi

τ ω

^{voitsa valeur diminuer ave le tempsdu faitde l'absene de forçage.}

Néan-moins, la ourbe obtenue ave la simulation multi-grillesest de nouveau voisine de elle

obtenue àl'aide du aluln de référene.

Auniveaudesstatistiquesturbulentes(gure8.35),lealulmulti-niveauxs'avèreêtre

entrèsbonaordave lealuln.Auniveauduproldevitessemoyennelongitudinale,

lesdeux ourbessont quasimentidentiques, traduisantà lafoisune bonnereprésentation

du prol de vitesse dans la sous-ouhe visqueuse etdans la zonelogarithmique.

Coner-nant les utuations de vitesse, les prols obtenus ave la stratégie de ranement sont

Coner-nant les utuations de vitesse, les prols obtenus ave la stratégie de ranement sont

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