Adaptation de maillage

Le ritèrede ranementsemblanten aordave laphysique de l'éoulement,ilreste

maintenantàvaliderlastratégiederanementdanssonensemble.Pourela,onapplique

laproédurederanementautomatiqueàintervallesréguliersetonvisualiselesrésultats

obtenus en s'interessant, en partiulier, à l'inuene éventuelle des paramètres propres à

laméthode adoptée.

Uneremarqueimportanteonernelafaçondontestévaluéelaqualitéde lasolution

mul-tigrille.Eneet, ommelaméthoded'adaptationseveutautomatiqueetoptimale,rienne

permetdeprévoirquelleportiondudomainegrossiervaêtreonernéeparleranement.

Hors la plupart des grandeurs qui sont étudiées pour la ouhe de mélange, dans le but

d'évaluer la préision de la solution, s'appuie sur des moyennes portant sur l'ensemble

du domaine dans les diretions homogènes de l'éoulement. Dans le alul multigrille,il

Fig. 8.7 Exemple de remaillageobtenu pour la ouhe de mélange pleinement

turbu-lente: iso-ontour du ritèreQ en gris etmaillagesde niveau n réés.

basant sur des informations issues du maillage de base. Celui-i ouvrant la totalité du

domaine de alul, il est eetivement possible de omparer les résultats ave lesaluls

de référene.

Inuene de la onstante d'enrihissement

Unepartiedees résultatsafaitl'objetd'unepubliation[75℄reportéeenannexe

(an-nexe E).Il yest, entre autres,disutéde l'inuenede lavaleur hoisie pourlaonstante

d'enrihissement au niveau des interfaes n/grossier. La valeur permettant d'atteindre

la solution la plus prohe de la solution ne de référene est ainsi xée dynamiquement

pour haque ellule à:

C =

0, 95

^si l'éoulement vadu domainen vers ledomainegrossier,

0

^{si leuide entre dans le domainen. (8.10)}

Par ailleurs, deux modèles sous-maille ont été testés : hormis le modèle d'éhelle mixte

séletif qui a été hoisi dans ette thèse, le modèle de Smagorinsky a en eet été

appli-qué pour étudier l'inuene du modèle sous-maille sur des aluls multi-niveaux. Pour

haun de es modèles, l'adaptation de maillage permet de trouver une solution prohe

de la solution ne. On retrouve ainsi une bonne représentation de la transition vers la

turbulene,ave ependantune diérenenon négligeableave lemodèlede Smagorinsky

entre lealuln etlealulave ranement.Cettediéreneprovient probablementdu

aratère sur-dissipatif du modèle de Smagorinsky. En eet, les études antérieures ave

e modèleont généralementmontré un retardauniveau de latransition[146℄,sansdoute

du fait d'une trop grande atténuation des perturbations initiales. Cei n'est don pas

diretement lié à la stratégie de ranement adoptée. Par ailleurs, la simulation

multi-niveaux permet égalementl'obtention du régime autosimilaireet une bonne prévision de

lazoneinertielledu spetredanslerégimeturbulent.Onobserveependant,unenouvelle

fois, un meilleur rendu du aratére autosimilaire pour les simulation réalisées à l'aide

du modèle d'éhelle mixte séletif. Les prols de utuations obtenus ave le modèle de

Smagorinskyprésentent eneet delégères divergenes sur lesbords, e quipourrait

indi-l'établissement du régime autosimilaireest plus tardif.

Lesgures8.8à8.13donnentun aperçudes prolsdesvariablesdel'éoulementquin'ont

pas étémentionnéesdans l'artile,quee soitpourlemodèled'éhellemixteséletifoule

modèle de Smagorinsky.On retrouve tout d'abord lesvariables

p

^{(gure8.8) et}

ρ

^(gure

8.9). Le alul multigrilleprésente une légère altérationpour es deux variables en

om-paraison des deux aluls de référene. Celle-i intervient essentiellement au niveau des

limitesdudomainedealul.Ilestdiilededonneruneexpliationàephénomène,qui

avaitdéjaétéobservéparQuémérédanssonétudeduanalplanparouplageRANS/LES

[115℄.Commedansl'étudedeQuéméré,l'erreurparrapportauxalulsderéféreneétant

del'ordrede

0, 1%

^{,ellen'estpasonsidéréeommesusamentsigniativepourremettre}

en ause lastratégiede ranement.Parailleurs,un gain nonnégligeable de préisionest

obtenu pour le alul multigrille ave le modèle de Smagorinsky par rapport au alul

grossier,au niveau de lazone entrale de laouhe.

y

adapté ();Gauhe : modèle d'éhelle mixte;Droite :modèle de Smagorinsky.

Au niveau des prols de utuations(gures 8.10 et 8.11), un bon aordest obtenu

ave l'approhe multi-domaines par rapport aux aluls de référene. On notera

epen-dant une légère sous-estimationdes utuations dans la diretionvertiale au niveau de

lazone entralede l'éoulementdans leas du modèled'éhelle mixte(gure8.10).Pour

les aluls ave le modèle de Smagorinsky, un gain intéressant est obtenu au niveau des

utuations de vitesse ave le alul multi-niveaux. Il est également intéressant de noter

la grande similitude existant entre les solutions nes de référene obtenues ave haun

des modèles.

Lagure8.12dérit,poursapart,larépartitionspatialedes termesroisésdu tenseur

de Reynolds. Un très bon aord est onstaté entre le alul n de référene et le alul

ave adaptation de maillage.On notera ependant que lesvaleurs du pi de utuations

obtenues ave le modèle de Smagorinsky sont très prohes pour les trois simulations. La

valeur de e pi est, par ailleurs, légèrement supérieure à elle obtenue ave le modèle

d'éhelle mixteetle maillagen.

y

ρ

-0.2 0 0.2

0.992 0.994 0.996 0.998 1

y

ρ

-0.2 0 0.2

0.992 0.994 0.996 0.998 1

Fig. 8.9 Prols de masse volumique à

t = 60

^{pour les aluls n (}

◦

^{), grossier (}

∆

^{) et}

adapté ();Gauhe : modèle d'éhelle mixte;Droite :modèle de Smagorinsky.

y

v ’

-0.2 0 0.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

y

v ’

-0.2 0 0.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Fig.8.10 Flutuationsde vitesse vertiale à

t = 60

^{pour lesalulsn (}

◦

^),grossier(

∆

⁾

et adapté(); Gauhe : modèle d'éhelle mixte; Droite: modèle de Smagorinsky.

y

Fig. 8.11 Flutuationsde vitesse transversale à

t = 60

^{pour les aluls n (}

◦

^{), grossier}

(

∆

^{) etadapté(); Gauhe :modèled'éhellemixte;Droite:modèlede} Smagorinsky.

Droite: modèle de Smagorinsky.

Enn, les prols de visosité turbulente (gure 8.13), adimensionnée par la visosité

moléulaire

µ t /µ

^{, sont reportés sur les dernières images. Il ressort que la visosité}

sous-mailleest plus importantedansle as multi-niveaux.En serappelant quees prols sont

évalués sur le maillage grossier dans le as multi-niveaux, il est ompréhensible que la

visositéysoitplus importante.Eneet,l'utilisationdeniveauxns entraînel'apparition

de d'avantage de petites éhelles au niveau de la zone de reouvrement, e qui néessite

une visosité sous-maille plus importante sur la grille grossière pour en tenir ompte.

Cependant, dans l'étudeave lemodèle de Smagorinsky,la diéreneest moinsmarquée

entreledomainegrossieretlealulmulti-niveaux.Ceitenderaitàonrmerlearatère

sur-dissipatif du modèle de Smagorinsky sur le maillage grossier au niveau de la zone

d'enroulement de la ouhe de mélange.

y

Fig. 8.13 Prols de visosité turbulente, adimensionnée par la visosité moléulaire, à

t = 60

^{pour les aluls n (}

◦

^{), grossier (}

∆

^{) et adapté (); Gauhe : modèle d'éhelle}

mixte; Droite: modèle de Smagorinsky.

En plus de la valeur attribuée à la onstante d'enrihissement, d'autres paramètres

peuvent avoir une inuene non négligeable sur la solution. Il s'agit, en partiulier, de

la fréquene à laquelle on applique la stratégie de ranement, des variables enrihies au

niveau des interfaes etdu tauxde remplissagede laméthode de grouping/lusteringqui

permet de réer un nombre plus ou moins important de domaines de niveau n. An

d'étudier l'impatde es diérents fateurs sur la solution obtenue à partir de maillages

adaptatifs,plusieurssériesde simulationsontétéréalisées.Chaunede essériesonerne

un des paramètres pouvant avoir une inuene sur la stratégie d'adaptation en LES, à

ommener par le hoix eetué pour les variables à enrihir aux interfaes entre deux

niveaux suéssifs.

Inuene des variables hoisies pour l'enrihissement

En eet, une fois la valeur de laonstante hoisie, plusieurs jeux de variables ont été

testés pour évaluer l'inuene du hoix des variables sur lesquelles l'enrihissement aux

frontières est appliqué. Il a ainsi été envisagé d'enrihir soit les variables onservatives,

soitlesvariablesde Favreouenoreuniquementlestroisomposantesdu veteurvitesse.

les aluls les plus préis sont basés sur un enrihissement des variables de Favre. Cette

approhe étantpar ailleurs laplus onsistante ave leltrage utilisépour l'obtention des

équations de la LES, elle a été retenue dans la suite de ette étude. Il est ependant

intéressant de noter que les onlusions quant à la préision de la solution en fontion

du hoixdes variables à enrihirsemblent dépendrede la valeur attribuée à laonstante

d'enrihissement.

Inuene de la fréquene de remaillage

L'utilisation d'une méthode itérative dans le but de modier le maillage en fontion

des phénomènes renontrés néessite une attention toute partiulière vis à vis du hoix

eetuépourlafréquenederégénérationdesgrillesnes.Eneet,dansun souisde

pré-ision, il semble intéressant de modier la position de es grilles leplus souvent possible

an de suivre l'évolution des strutures présentes dans l'éoulement. Cependant, outre

leserreursengendréesparun reoursimportantauxopérateursde transfertintergrilles,il

fauts'attendreàvoirapparaîtredenouvellessouresd'erreurspropresàlaSimulationdes

GrandesEhelles dansun telontexte :leserreursde ommutation.Commeévoquédans

la première partie de es travaux, des variations trop fréquentes du pas loal de

disré-tisationrisquent eetivement d'engendrer des erreurs de ommutationnon négligeables.

Ainsi,toute ladiulté est de trouverun bonompromisquant auhoix de lafréquene

de remaillagequi permette de limiter es erreurs numériques tout en onservant un bon

suivi de l'éoulement par la stratégiede ranement.

Dans le as de la ouhe de mélange, plusieurs fréquenes ont été testées an de vérier

l'impatdee paramètresur lasolution.Letableau8.2déritlesdiérentstestseetués

dansetteétudeetaratérisésparlapériodeàlaquellelaméthodederanementest

uti-lisée,adimensionnée parletempsinitialde retournementdesgrosses struturesde

l'éou-lement. Ainsi, la simulation IT35 permet d'adapter à trois reprises environ le maillage

pendant un temps de retournement des grosses strutures, alors que lasimulation IT280

revient à n'utiliserla méthode d'adaptation quetous les

2, 5

^{temps de} retournement des gros tourbillons.

simulation nombre d'itérations période orrespondante

entre deux ranements

IT35 35 0,3125

× T L 0

IT70 70 0,625

× T L 0

IT140 140 1,25

× T _{L 0}

IT280 280 2,5

× T L 0

Tab.8.2Fréquenes deranementutiliséesdanslessimulationsde ouhe demélange;

T L 0

^{désignele temps de} retournement initialdes grosses strutures.

Ande limiterleserreursdues àl'opérateurde projetion, touteslessimulationssont

réalisées en proédant de manière synhronisée au premier ranement. Celui-i

interve-nant tt dans le alul, les perturbations initiales jouent enore un rle important et la

projetion sur le niveau n va alors varier assez fortemententre deux itérations. Les

fré-8.14) permettent d'armer que l'inuene de la fréquene de remaillage sur la solution

Fig. 8.14 Inuene de lafréquene de remaillage: évolution de l'épaisseur de quantité

de mouvement et de l'énergie pour les simulations IT35 ( ), IT70 (

∆

^{), IT140 () et}

IT280 (

◦

^).

Cette tendane est onrmée par les prols de statistiques turbulentes (gures 8.15

à 8.18). Lesourbesobtenues pour les diérentes fréquenes de remaillage sont, en eet,

quasiment onfondues à

t = 50

^{.Dans un régime plus turbulent (}

t = 80

^{),l'inuene de la}

fréquenede régénérationdesgrillesnes sefaitd'avantageressentir.Ladiérenelaplus

marquante intervient au niveau des termes roisés du tenseur de Reynolds

u 1 u 2

^(gure

8.18)puisquelavaleurdupiauentredelaouhe pourlasimulationIT70est inférieure

à elles obtenues ave les autres aluls. Ce même alul semble par ailleurs surestimer

lesutuations dans lesdiretions longitudinale etvertialeau detrimentde la troisième

omposante, dans la diretion transverse. Ces légers éarts pour des instants avanés se

font également ressentir sur l'évolution de l'épaisseur de quantité de mouvement (gure

8.14). Les éarts relevés restent ependant faibleset sont surement dus en grandepartie

aux approximations numériques engendrées par les opérateurs inter-grilles. De plus, au

niveaudesprolsmoyensde densitéetdepression(gure8.17),lafréquenederemaillage

a une inuene négligeable sur les prols obtenus. Les seules erreurs apparaissent au

niveau des frontièresdu domainedealul lorsquelerégimeest turbulentetdonlorsque

le ranement s'étend à l'ensembledu domaine de base. Les éarts onstatés peuvent de

nouveau provenir des opérateurs inter-grilles dont l'erreur d'interpolation est d'autant

plus importantequela tailledes ellulesdu maillageest grande,omme'est le as dans

es zones situées prés des limitesdu domainede alul.

Enonlusion, mêmesi pour des fréquenesde remaillagerapidesquelques modiations

des prols de utuations apparaissent, la dynamique générale de la ouhe de mélange

n'estpasaltéréedemanièresigniativeparunemodiationdelapériodederégénération

y

Fig. 8.15 Inuene de la fréquene de remaillage: prols moyens et utuations de la

vitesse longitudinaleà

t = 50

^{(gauhe) et}

t = 80

^{(droite),pour les} simulationsIT35 ( ),IT70 (

∆

^{), IT140 () et IT280 (}

◦

^).

y v ’ R M S

-0.2 0 0.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

y v ’ R M S

-0.2 0 0.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

y w ’ R M S

-0.2 0 0.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

y w ’ R M S

-0.2 0 0.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Fig. 8.16 Inuene de lafréquene de remaillage: utuations des vitesses vertiale et

transverse à

t = 50

^{(gauhe) et}

t = 80

^{(droite), pour les} simulations IT35 ( ), IT70 (

∆

^{), IT140 () et IT280 (}

◦

^).

y

Fig.8.17Inuene delafréquenede remaillage:prolsdepressionmoyenneetdensité

à

t = 50

^{(gauhe) et}

t = 80

^{(droite), pour les} simulations IT35 (), IT70 (

∆

^{), IT140}

Fig. 8.18 Inuene de lafréquene de remaillage: termeroisé du tenseur de Reynolds

u ^′ ₁ u ^′ ₂

^à

t = 50

^{(gauhe) et}

t = 80

^{(droite), pour les} simulations IT35 ( ), IT70 (

∆

^),

IT140 () et IT280 (

◦

^).

Inuene du taux de remplissage des sous-domaines

Laméthode utiliséepour regrouperles ellulesàranerensous-domainesde niveaux

nsapourambitiond'optimiserlesalulsetéviter ainsid'augmenter inutilementles

res-soures néessaires en terme de mémoire.Cependant, ela s'aompagne néessairement

d'une augmentationdu nombre de domaines de niveaux ns. Orei a pour onséquene

de rendre plus omplexe le traitement du ouplage entre l'ensembledes domaines de

dif-férents niveaux.

Cependant,en ajoutantquelques fontionnalitésàlaproédurede ranement,des

résul-tats intéressants ont été obtenus, à la fois aussi préis et moins oûteux que les aluls

initiauxs'appuyantsur unseul domainerané(

λ = 0

^).Enpartiulier,un gainnon négli-geablea été obtenu en ajoutant des onditions de raordonforme entre deux domaines

ns voisins. En eet, après avoir onstaté que des erreurs non négligeables apparaissent

dès lors qu'un nombre important de domaines ns est réé, il a été envisagé d'éraser

les onditions lassiques de traitement par enrihissement au niveau des frontières des

domaines ns lorsquelasituationlepermet.Auparavant,lesonditions auxlimites(hors

des frontièresphysiquesdu domainedealul)étaientuniquementtraitéespar

enrihisse-mentde lasolutiongrossièreauniveaudes ellulestives du maillagen. Bien entendu,

ette méthode est une approximation qui n'est pas sans introduire des erreurs dans la

prédition des petites éhelles de l'éoulement.

Les simulations eetuées en ajoutant des raords entre des domaines ns voisins ont

montré un gain onséquent en préision par rapport aux premiers aluls réalisés

uni-quement à l'aide d'un enrihissement aux frontières des domaines ns. Lesrésultats sont

alors très prohes de eux obtenus en ne réant qu'un seuldomainen àhaque nouveau

ranement(i.e.

λ = 0

^).L'évolutiondes grandeursmoyennesde l'éoulement(gure8.19) ainsi que la répartition spetrale de l'énergie (gure 8.20) semblent eetivement

faible-ment inuenées par la valeur attribuée au taux de remplissage

λ

^{. Cependant, quelques}

diérenes apparaissent lorsque l'éoulement atteint le régime turbulent et qu'il ouvre

l'ensemble du domaine de base. Cei peut avoir plusieurs expliations : tout d'abord la

tailledes mailles près des extremitésdu domainede alul dans la diretion(y) peut

en-traînerdeserreursd'interpolationimportantesauniveaudesopérateursintergrillesetdes

onditionsderaordn/grossier.Deplus,dansdes instantssiavanés,ilest possibleque

l'inuene de laondition limitesuivant ladiretionvertialene soitplus négligeable. Le

faitd'utiliserd'avantage dedomainesns vaégalementsetraduirepardesvariationsplus

importantes auniveau de la résolution loale de l'éoulement aux interfaes n/grossier.

Il est ainsi possible d'envisager l'émergene d'erreurs de type erreur de ommutation au

niveau de es interfaes, erreurs qui se feraient d'avantage ressentir du fait de variations

loalesimportantesdu pas dedisrétisation.Néanmoins,ilest évidentquel'utilisationde

la méthode de ranement sur un éoulement pleinement turbulent ouvrant l'ensemble

du domaine de alul n'est pas le but reherhé. Dans une telle situation, il semble de

toutes façons inadapté de reourrir à un nombre onséquent de domaines ns qui

n'ap-porteraitpas un gain onséquent en termede ressoures néessaires aualulmais serait

d'avantage soure d'erreurs numériques supplémentaires.

Aunal,lavaleurattribuéeautauxderemplissage

λ

^pourl'algorithmedegrouping/lustering nesembledonpasavoirunegrandeinuenesurlasolution.Ceparamètrepermet

essen-tiellement d'adapter la stratégieen fontion des exigenes de l'utilisateur et des moyens

t

25 50 75 100

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 δ m

t

0 25 50 75 100

30000 31000 32000 33000 34000 35000 36000 37000 38000 39000 40000 41000 E

Fig.8.19Inuene dutauxderemplissagedes sous-domainessur lasolution:évolution

de l'épaisseur de quantité de mouvementetde l'énergieinétique.

◦

^:

λ = 0

^{, :}

λ = 0.3

et :

λ = 0.5

^.

k

E (k )

10 20 30

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

k ^-5/3

Fig. 8.20 Inuene du taux de remplissagesur le spetre d'énergie à

t = 60

^.

◦

^:

λ = 0

^,

:

λ = 0.3

^{et :}

λ = 0.5

^.

Utilisation de plusieurs niveaux de ranement

Les paragraphespréédents ont montré la apaité de laméthode d'adaptationà

mo-dier la préision loale de la solution dans l'optique d'un reours à la Simulation des

Grandes Ehelles. Dans le but d'optimiser d'avantage les aluls, il est ensuite envisagé

d'utiliser plusieurs niveaux de ranement, e qui permettrait de partir d'un maillage

de base enore plus grossier et ainsi de diminuer de manière onséquente les oûts de

alul. An de tester l'aptitude de la stratégie de ranement à réer de manière

dyna-miqueplusieursniveauxde grilles,un maillagedittrèsgrossier aété réépourétudierla

ouhe de mélangeen développement temporel. Ce maillageomporte environ

10 ⁴

^points

(

30 × 24 × 15

^{)soitquatrefoismoinsquelemaillagende référene(}

120 × 96 × 60 ∼ 7 × 10 ⁵

points) dans haune des diretions.

Dansette partiede l'étude,lesperturbationsinitialessontdéterministesarl'utilisation

d'un bruit blan sur e maillage très grossier donne lieu à des résultats très diérents

de eux obtenus sur le maillage n. En eet, les mailles très grossières atténuent trop

fortementlebruitinitialpour obtenirlabonnedynamiquede l'éoulement.Les

perturba-tions utiliséesiiselimitentdon auxmodes proprestridimensionnels aratéristiquesde

l'éoulementde ouhe de mélange.Leprinipedu reoursàplusieursniveaux de

rane-ment est shématisé sur la gure 8.21 où l'augmentation progressive de la résolution de

la grillede alul permet de représenter des strutures de tailles de plus en plus petites.

Les grossesstrutures restent pour leur part inhangées d'unniveau à l'autre.

3

2

1

Fig. 8.21 Calul à trois niveaux de ltrage (ouhe de mélange 2D) : iso-ontours de

vortiité.

Lealuladaptésedérouledelamanièresuivante:onproèdetoutd'abord àla

réa-tion du niveau intermédiaire de grille, puis onlui applique immédiatement le senseur en

ondelettes an de réer ledeuxième niveau de ranement. On proède de ette manière

niveau réés auparavant.Ceiexplique queleniveaun soitimmédiatementrééaprés le

remaillagedu niveau intermédiairepour failiterletraitement des onditions auxlimites

de raord n/grossier.Le pas de tempsest toujoursdivisé par deux à haque fois qu'un

nouveauniveaude maillageest réé.Lerapportd'aspetentre deuxgrillessuessives est

toujours xé àdeux dans haune des diretions.

Lagure8.22déritl'évolutiondel'épaisseurdequantitédemouvementetdel'énergie

i-nétiquedel'éoulementpourhaunedestroissimulationsréalisées.Outreunlégerretard

i-nétiquedel'éoulementpourhaunedestroissimulationsréalisées.Outreunlégerretard

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