Mise en évidene de l'erreur de ommutation

L'objetif des simulations étant de mettreen évidene leserreurs engendrées par une

variationdelalongueurde oupuredultreauoursdu temps,lesalulsvonts'eetuer

sur une grille omportant un nombre variable de points de disrétisation. Dans le ode

spetral, ela onsisteen une modiation dynamique de lavaleur du nombre d'onde de

oupure auours de la simulationet une visualisationde l'évolution de l'éoulementqui

s'en suit. Pour ela, la oupure va évoluer au ours du temps suivant une loi sinusoïdale

de la forme:

k c (t) = k c,min + k c,max

2 + k c,max − k c,min

2 cos(ωt)

^(4.7)

On xe les nombres d'onde extrêmes onsidérés dans les simulations

k c,min = 23

^et

k _c,max = 63

^. Physiquement,ela revientà étireretomprimersuessivement lemaillage, en passant d'un maillage en

96 ³

^{qui orrespond à}

k c = k c,max

^soit

32

^{modes de Fourier}

après désaliasing, à un maillage en

48 ³

^pour

k c = k c,min

^soit

16

^{modes de Fourier après}

désaliasing.

La pulsation

ω

^{permet de xer la vitesse de variation du pas du maillage. En eet, la}

vitesse d'adaptation est alors :

∂ ∆

∂t = ∂∆

∂k c

∂k c

∂t = ∆ ² π

k c,max − k c,min

2 ωsin(ωt)

^(4.8)

Ilvaainsiêtrepossiblede mettreen évidenel'inuenedee paramètresur laqualitéde

lasimulation.Pourela,plusieursalulsorrespondantàplusieursvaleursdelapulsation

ω

^{ontétémenés.Lesasd'études sontdétaillésdansletableau4.2.Andequantierplus}

physiquement lespériodes d'osillationonsidérées,onlesompareautempsde

retourne-ment des grosses strutures à l'instant initial. On obtient ainsi des périodes d'osillation

allantde

92%

^{de e tempsde} retournementà

5%

^.

ω _T ^T

L 0

0.6 0.92

1 0.55

4 0.14

10 0.05

Tab. 4.2 Osillations étudiées en déroissanelibre : Valeurs des pulsations etpériodes

orrespondantes adimensionnées par le temps de retournement initialdes grosses

stru-tures.

L'étudeétant menéedans l'espaespetral, nous allonsétudierl'inuene de l'osillation

dunombred'ondedeoupuresur lespetreetsonévolutiontemporelle.Pluspréisement,

ilparaîtintéressantd'étudierleomportementdequelquesmodespartiuliershoisisdans

labandespetraleétudiéeii.Leltreutiliséseraun ltresharput-ogénéralement

uti-lisédans l'espae spetral.

La gure 4.3 présente l'évolution des modes

3

^,

6

^,

10

^,

14

^et

18

^{au ours de la} simulation, pour quatre pulsations d'osillation. On ompare es évolutions à elles obtenues en

dé-roissane libre sans osillationde la longueur de oupure. Enomparant es diérentes

ourbes, plusieursonstatations peuvent être eetuées.

Tout d'abord, pour les petits nombres d'onde, à savoir les modes

3

^et

6

^{, il apparaît une}

légèreaugmentationde l'énergieontenue dans esmodes,ete d'autantplus quela

pul-sationest faible.Ilne s'agitependantpas delierdiretemente phénomèneauproblème

de ommutation évoqué. En eet, la ause de ette modiation du spetre aux petits

nombres d'onde semble d'avantage être la valeur hoisie pour

k c,min

^{. En eet, lorsque le}

nombred'ondede oupureest àson minimum,lasimulationestfortementsous-résolueet

laoupure sesitue à l'extrême limitede lazone inertielle,e quin'assure pas

néessaire-ment un bonomportement du modèle sous-maille. Or, plus la pulsation est faible,plus

la période pendant laquelle la simulationse trouve dans ette situation est onséquente,

e qui justie que e phénomènesoitplus marqué pour lesosillationslentes.

Ensuite, on s'intéresse aux nombres d'onde

10

^et

14

^{, 'est à dire des nombres d'onde}

prohe de

k _c,min

^(après désaliasing) mais tout de même infèrieurs à ette valeur. Une augmentationglobalede laquantitéd'énergie ontenue danses modesest également

ob-servée. Cependant, pour es modes, l'aumulationd'énergie augmenteave lapulsation,

auontraire des préédentes onstatations pour les modes plus faibles. Par ailleurs,dans

laphasededéroissanedu nombre d'ondede oupure,l'énergieontenue danses modes

tendàdéroîtreetàompenserl'aumulationquiprovientdel'augmentationde

k c

^,ete

quelque soit lapulsation. Mathématiquement, onpeut interpréter e phénomène àl'aide

de larelation(3.14)quiintroduitune visosité supplémentaireengendrée parl'osillation

de lalongueurde oupuredu ltre.Cettevisositéest positivequand

∆

^{augmente,'est à}

dire quand

k c

^{diminue ettend don bien à fairediminuer laquantité d'énergie près de la}

oupurependantladéroissanede

k c

^{.Enn,pourlesnombresd'ondeomprisentre}

k c,min

et

k c,max

^{, les} informations issues de ette bande de nombres d'onde n'ont pas le temps d'êtrerestituées pendantlaphase d'augmentation de

k c

^{siune pulsationtropimportante}

est employée. Cela se visualise très rapidement sur les ourbes obtenues pour

ω = 4

^et

ω = 10

^{pour lesquelles l'énergie} orrespondant au mode

k = 18

^est quasi-nulle tout au

t

Fig. 4.3THI en déroissane libre :évolution de la densitéspetrale d'énergie

E(k)

^de

inq modes partiuliers pour des pulsations d'osillations,de haut en bas et de gauhe à

droite,

ω = 0.6

^,

ω = 1

^,

ω = 4

^et

ω = 10

^{. : déroissane sans osillation (}

ω = 0

^);

2

^:

k = 3

^;

◦

^:

k = 6

^;

∆

^:

k = 10

^;

∇

^:

k = 14

^;

⋄

^:

k = 18

^.

long de la simulation. Pour des osillations moins rapides, l'énergie de e mode est

re-trouvée orretementàlan de lapérioded'osillation.Ainsi,pour des pulsationslentes,

le modèle sous-maille dispose d'un temps susant pour restituer les petites éhelles de

l'éoulement, modélisant ainsi onvenablement la asade d'énergie. Pour des pulsations

plus rapides,lemodèlene permetpas unebonnedesriptiondes éhellesde l'éoulement.

Onpeutréapitulerl'ensembledesobservationseetuéesàl'aided'unegureprésentant

l'évolutionde larépartitionspetrale del'énergieauoursdu alul.Plus préisément, la

gure 4.4 dérit l'évolution auours du temps de la quantité

dE

^{dénie par :}

dE(k, t, ω) = E(k, t, ω) − E(k, t, ω = 0)

^(4.9)

Cette quantité traduit l'inuene de l'osillationsur le spetre d'énergie puisqu'il s'agit

de la diérene entre le spetre d'énergie obtenu sans osillationet elui obtenu ave un

nombre d'onde de oupure osillant. Ainsi, on retrouve les phénomènes d'aumulation

(

dE > 0

^)etdeperte(

dE < 0

^{)d'énergieomme}préédemment.Pourlesosillationslentes, lesnombresd'ondesampliéssesituentprinipalementdanslestrèsgrandeséhellesalors

quepourdes osillationsplus rapides,l'aumulationsedéplaevers des nombres d'onde

prohe de la oupure. De plus, les petites éhelles sont onvenablement restituées

uni-quement si la période d'osillation est susament importante pour permettre aumodèle

k

Fig. 4.4 THI en déroissane libre : évolution de la répartition spetrale de l'énergie

pour diérentes pulsations d'osillation : de haut en bas et de gauhe à droite,

ω = 0.6

(

T ∼ 10, 5s

^),

ω = 1

⁽

T ∼ 6, 3s

^),

ω = 4

⁽

T ∼ 1, 6s

^{) et}

ω = 10

⁽

T ∼ 0, 6s

^). Iso-valeurs de

dE

^.

Lessimulationsmontrent prinipalementquel'utilisationde variationstroprapides de la

longueur du oupure du ltreva altérerlespetites éhelles.Cei provientd'une mauvaise

représentaionduphénomènede asaded'énergie,lespetiteséhellesn'ayantpasletemps

d'atteindre un état déquilibre. Par ailleurs, pour des osillationslentes, des erreurs sont

visibles danslespetitsnombres d'onde. Celles-ipeuvent provenir du manqued'eaité

du modèle sous-maille lorsque le nombre d'onde de oupure atteint sa valeur minimale

k _c = k _c,min

Il est ependant diilede distinguer réellement l'impatdes erreurs de type erreurs de

ommutationdes autres soures d'erreur. Eneet, lefait que l'énergietotale du système

diminue au ours de la simulation ne permet pas d'étudier en détail l'inuene de

l'os-illation du pas de disrétisation sur la physique de l'éoulement. En eet, au fur et à

mesure que le alul avane en temps, la turbulene tend alors à s'atténuer et le modèle

sous-maille a un rle de moins en moins important. Un système onservatif serait plus

intéressant an de réellement juger de l'aptitude de la Simulation des Grandes Ehelles

à modéliserun phénomèneturbulent en présene d'une modiation du pas du maillage.

Ainsi,ladeuxièmepartiedeetteétudedeTHIvaonernerunéoulemententretenupar

l'ajout d'un terme de forçage aux équations dans le but de onserver l'énergie inétique

Dans le document Simulation des Grandes Echelles en maillage adaptatif (Page 51-55)