Critère de ranement utilisé

7.2 Senseur en ondelettes élaboré

7.2.2 Critère de ranement utilisé

(i,j,k)

+ o(∆x ³ )

^(7.14)

Ainsi,onest en mesurede déterminerlafontion de transfert orrespondant àla

déom-position en ondelettes :

H(kx) = ˆ ∆x ² kx ² 2 = π ²

2 kx

kx c

2 ,

^(7.15)

ave

kx c = _∆x ^π

^qui ^dénit ^un ^nombre ^d'onde ^de ^oupure monodimensionnel.

Latransformée en ondelettes orrespond bien àune notion de petites éhelles puisqu'elle

agitomme un ltre passe-haut sur la solution(f gure 7.1).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

H(kx)

kx / kx,c

H(kx)

Fig. 7.1 Fontion de transfert assoiée à la base d'ondelettes hoisie.

7.2.2 Critère de ranement utilisé

Une fois les oeients en ondelettes alulés, il va s'agir d'en tirer un ritère de

ranement qui soit adaptéà la LES, 'est àdire dont le but est de déterminer leszones

et...)risquentdenepasêtrevériées.Pourela,ilesttoutd'abordnéessaired'introduire

l'exposantdeLipshitz(oudeHölder).Ceparamètreestgénéralementutilisépourtesterla

régularitéd'unefontion.Eneet,dansleadredel'analysemultirésolutionenondelettes,

plusieursthéorèmes permettentde relier larégularité d'unefontion etses oeients en

ondelettes [25, 34, 84, 106℄. Par exemple, Daubehies [25℄ montre que si une fontion

f (x) ∈ C ¹

êst ^à ^support ômpat êt ^que^ses ôeients ên ôndelettes ^vérient

j∈S(x max 0 ,m,ǫ) |

f, ψ _m,(i,j,k)

| ≤ C2 ^mα

^(7.16)

pour tout

m

^et ^pour

ǫ > 0

^, ^alors ^la ^fontion

f

â ûn êxposant ^de ^Lipshitz

α

^au ^point

x = x 0

| f(x) − f(x 0 ) | ≤ C | x − x 0 | ^α

^(7.17)

pour tout

x

^prohe ^de

x 0

S(x 0 , m, ǫ)

^désigne ^le ^domaine ^de ^dépendane ^de ^la ^fontion

ondelette :

S(x 0 , m, ǫ) = { (i, j, k) : ψ m,(i,j,k) 6 = 0 ∀ x ∈ [x 0 − ǫ, x 0 + ǫ] }

^(7.18)

Bien que e théorème ait été initialement formulé pour des ondelettes non-redondantes,

il reste valable pour les ondelettes redondantes, l'intérêt étant qu'ave les ondelettes

re-dondantes, le théorème ne se limite plus auxseules fontions de lasse

C ¹

^[25℄.

Malheureusement, il n'est bien évidemment pas possible de déterminer exatement e

oeient

α

^. ^Plusieurs ^méthodes ^onsistant ^à ^approximer

α

^existent ^dans ^la littérature.

La démarhe employée dans ette étude onsiste à évaluer le paramètre

α

^à ^partir ^des

maxima loaux des oeientsen ondelettes,ommeproposé par Daubehies [25℄. Ainsi,

après avoir déterminé les oeients en ondelettes, la valeur maximale dans le domaine

de dépendane est alulé:

r m,(i,j,k) = max

(ǫ 1 ,ǫ 2 ,ǫ 3 )∈[−2 ^m p,2 ^m q] ³ |

f, ψ m,(i+ǫ 1 ,j+ǫ 2 ,k+ǫ 3 )

|

^(7.19)

où

p

^et

q

^désignent ^le ^stenil ^de l'ondelette mère. L'exposant de Lipshitz s'obtient alors grae àune approximation des moindres arrés de la droite d'équation :

log ₂ r m,(i,j,k) = α i,j,k m + c

^(7.20)

Lapentedeettedroitedonneeneetunevaleurapproximativede

α

^au^point

x = (i, j, k)

notée

α _i,j,k

Andefairelelienentreleoeient

α

^et^les^hypothèses^demodélisationdelaSimulation des Grandes Ehelles, e oeient va tout d'abord être rapporté à la pente du spetre

de Fourier. En eet, Farge et al. [36℄ et Perrier et al. [106℄ ont montré qu'il est possible

de relier lapente du spetre en ondelettes à elle du spetre de Fourier. On suppose que

le spetre d'énergie évolue en

k ^−β

^dans ^la ^zone inertielle. Dans la suite, le senseur sera appliqué au hamp du rotationel de la vitesse et par onséquent il est intéressant de se

réferer au spetreorrespondant quiest lespetre d'enstrophie:

Ω(k) ∼ Ω 0 k ^2−β

Enonsidérantdeuxbandesspetralesvoisines

[k 3 ; k 2 ]

^et

[k 2 ; k 1 ]

^,^ave

k 1 = rk 2

^et

k 2 = rk 3

(

r > 1

^),^il^est^possible^de^déterminer^la^quantitéd'enstrophieontenuedanshauned'elles

par intégration :

Ainsi,il est possible d'exprimer lerapportentre les quantités

Ω 1

^et

Ω 2

^à^l'aide ^de ^:

log Ω 1

Ω 2

= (3 − β) log r

^(7.21)

Dans la présente étude, le rapport entre deux bandes suessives est xé à

r = 2

^an ^de

pouvoir omparer lespetre en ondelettes à elui dans l'espaede Fourier.

En raisonnant dans l'espae des ondelettes, et en appliquant la base en ondelettes au

rotationelde lavitesse, lesquantités

Ω 1

^et

Ω 2

^peuvent ^s'exprimer^à ^l'aide^des ^oeients

en ondelettes :

Ω 1 = r ₁ ²

^et

Ω 2 = r ² ₂

^. ^Le ^rapport êntre ês ^deux ^quantités êst âlors ^:

log Ω 1

Ω 2

= − 2α log 2

^(7.22)

Les indiesd'espae

(i, j, k)

^ont ^été volontairementomis pour une meilleurelisibilité. En omparantlesrelations(7.21)et(7.22),larelationentrelespentes

β

^et

α

^est ^donnée^par^:

α = β − 3

2

^(7.23)

Lavaleur seuil est alorshoisieen s'appuyantsur leshypothèsesde Kolmogorov.Celui-i

prédit (hypothèse K41) une déroissane du spetre en

k ^−5/3

^, ^e ^qui ^xe ^la ^valeur ^de

référene pour lapentedu spetre d'énergie :

β 0 = ⁵ ₃

^.^Ainsi, ^les^ellules ^pour ^lesquelles ^le

paramètre

α i,j,k

^est ^inférieur ^à

α 0 = − ² ₃

^onstituent ^des ^mailles ^à^raner.

An d'interpréter les valeurs alulées pour le oeient

α

^, ^il ^peut ^également ^être

in-téressant de reprendre le as test monodimensionnel utilisé par Sjögreen et Yee [131℄.

La même déomposition en ondelettes a été réalisée et lesrésultats sont présentés sur la

gure 7.2. On observe que pour haque variation "brusque" de la fontion étudiée

f

^, ^le

oeient

α

^prend ûne ^valeur ^négative.Âinsi, ^dans ûne ^étude mono-dimensionnelle,une variationhaute fréquenede

f

^est ^détetée ^par^le ^signe^de

α

^.^Dans^notre ^étude,^'est ^une

ompararsionde

α

^ave ^la ^valeur ^seuil ^qui ^permet ^de ^se ^prononer.

Finalement,leritère de ranement peut se résumer àl'aide de safontion moniteur

f ijk

^qui ^est ^alors ^dénie^de ^la^manière^suivante ^:

f ijk =

1

^si

α i,j,k ≤ − ² ₃

0

^sinon ^(7.24)

Les ellules pour lesquelles la fontion

f ijk

êst ^non ^nulle ^sont ^des êllules ^à ^prendre ên

omptedans l'établissementdes zones à raner.

Cependant, un telritère basé uniquement sur l'évaluationde la pente loale du spetre

d'énergie s'est rapidement montré limité lorsqu'il est appliqué à des éoulements

turbu-X

Fig.7.2Interprétationdu oeient

α

^dans^le ^adre^de ^l'étude^d'une^fontion

monodi-mensionelle.

alul alors quee n'est pas e à quoion pouvaits'attendre intuitivement.Lefait que e

ritère ne tienne pas ompte de la quantité réelle d'énergie ontenue dans les diérentes

éhellesde ladéompositionenondelettes maisuniquementde lapentedu spetresemble

en être la raison. En eet, dans des zones bien résolues de l'éoulement, des osillations

des variables de l'éoulement persistent. Celles-i n'ont pas de signiation physique et

peuvent, par exemple, être engendrées par les erreursd'interpolationdes shémas

numé-riques. Or rien ne permet d'armer que la pente du spetre dans de telles zones va (et

doit) respeter les hypothèses de Kolmogorov. An de ne pas tenir ompte de es

stru-tures très faiblement énergétiques aux grands nombres d'ondes, il est apparu néessaire

d'introduireune valeurseuil

ǫ

^pour ^lesôeientsên ôndelettesên ^dessous^de ^laquelle ^la

valeur de la pente du spetre en ondelettes n'est pas onsidérée. Bien que e paramètre

ǫ

^soit êmpirique, îl ^semble ôhérent ^de ônsidérer ûne ^struture anisotropique mais très faiblement énergétique omme ayant une inuene faible sur la solution et l'erreur de

modélisation.

La valeur attribuée à

ǫ = 6.10 ⁻³ × Ω 0

^dépend ^de l'éoulementonsidéré et des grandeurs quilearatérisent.Leparamétre

Ω 0

^doit^ainsireprésenterunevortiitéaratéristiquede l'éoulement. Tout d'abord, dans leas de laouhe de mélange,laquantité

Ω ₀

^s'obtient

à l'aide du rapport entre la vitesse longitudinale à l'inni

U ∞

^et l'épaisseur de vortiité

δ ω

Ω 0 = ^U _δ ^∞ _ω

^.^Pour ^leânal^plan,ônûtilise^leisaillementàlaparoi:

Ω 0 = ^∂ _∂z ^u ^˜ ¹

(z = 0)

Enn, pour l'éoulementde ulot,

Ω ₀

^a ^été ^xé arbitrairement à la valeur

Ω = 0, 5

^pour

lespremiers alulsréalisés à lan de es travaux.

Enn, un des problèmes ouramment renontré lorsqu'il s'agit d'appliquer une base en

ondelettesàunesimulationnumériquerésidedansletraitementdesonditionsauxlimites

à imposer pour ette base. Dans ette étude, la base en ondelettes s'applique au hamp

de vitesse pour lequel ononnait le omportement au niveau des limites du domaine de

aluletdanslesmaillestives. Onen déduitensuiteunrotationnelpour haque niveau

de déomposition en ondelettes utilisé.

Dans le document Simulation des Grandes Echelles en maillage adaptatif (Page 86-90)

7.2 Senseur en ondelettes élaboré

7.2.2 Critère de ranement utilisé

(i,j,k)

+ o(∆x 3 )

H(kx) = ˆ ∆x 2 kx 2 2 = π 2

2 kx

kx c

2

,

kx c = ∆x π

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

H(kx)

kx / kx,c

H(kx)

f (x) ∈ C 1

j∈S(x max 0 ,m,ǫ) |

f, ψ m,(i,j,k)

| ≤ C2 mα

m

ǫ > 0

f

α

x = x 0

| f(x) − f(x 0 ) | ≤ C | x − x 0 | α

x

x 0

S(x 0 , m, ǫ)

S(x 0 , m, ǫ) = { (i, j, k) : ψ m,(i,j,k) 6 = 0 ∀ x ∈ [x 0 − ǫ, x 0 + ǫ] }

C 1

α

α

α

r m,(i,j,k) = max

(ǫ 1 ,ǫ 2 ,ǫ 3 )∈[−2 m p,2 m q] 3 |

f, ψ m,(i+ǫ 1 ,j+ǫ 2 ,k+ǫ 3 )

|

p

q

log 2 r m,(i,j,k) = α i,j,k m + c

α

x = (i, j, k)

α i,j,k

α

k −β

Ω(k) ∼ Ω 0 k 2−β

[k 3 ; k 2 ]

[k 2 ; k 1 ]

k 1 = rk 2

k 2 = rk 3

r > 1

Ω 1

Ω 2

log Ω 1

Ω 2

= (3 − β) log r

r = 2

Ω 1

Ω 2

Ω 1 = r 1 2

Ω 2 = r 2 2

log Ω 1

Ω 2

= − 2α log 2

(i, j, k)

β

α

α = β − 3

2

k −5/3

β 0 = 5 3

α i,j,k

α 0 = − 2 3

α

f

α

f

α

α

+ o(∆x ³ )

H(kx) = ˆ ∆x ² kx ² 2 = π ²

kx c = _∆x ^π

f (x) ∈ C ¹

f, ψ _m,(i,j,k)

| ≤ C2 ^mα

| f(x) − f(x 0 ) | ≤ C | x − x 0 | ^α

C ¹

(ǫ 1 ,ǫ 2 ,ǫ 3 )∈[−2 ^m p,2 ^m q] ³ |

log ₂ r m,(i,j,k) = α i,j,k m + c

α _i,j,k

k ^−β

Ω(k) ∼ Ω 0 k ^2−β

Ω 1 = r ₁ ²

Ω 2 = r ² ₂

k ^−5/3

β 0 = ⁵ ₃

α 0 = − ² ₃

α i,j,k ≤ − ² ₃

ǫ = 6.10 ⁻³ × Ω 0

Ω ₀

Ω 0 = ^U _δ ^∞ _ω

Ω 0 = ^∂ _∂z ^u ^˜ ¹

Ω ₀