Enrihissement à l'aide d'une struture hiérarhisée

Fig. 5.2Enrihissement à l'aided'une struture hierarhisée

La deuxièmetehnique d'enrihissement de maillagevas'appuyersur l'emploide

plu-sieurs grilles de diérents niveaux de résolution. Disposant initialementd'un maillage de

base qui reouvre l'ensemble du domaine de alul, on réé ensuite d'autres grilles de

résolutionsplusnes dansleszonesdétetées ommeétantàraner. Cesnouvellesgrilles

viennent se superposer au dessus de la grille grossière omme indiqué sur la gure 5.2.

Cette approhe repose ainsi sur une struture omportant plusieurs maillages emboîtés,

onparle de struture hierarhisée.Bienque e typed'approhe soitadapté auxmaillages

struturés omme aux maillages non-stuturés, seule l'approhe struturée va être

déve-loppée par la suite dans leadre de nos travaux.

Dans le adre de maillagesstruturés, les maillages emboîtés sont généralement

réperto-riés en troisatégories, en fontionde leur orientation etde leurformegénérale. Eneet,

ilspeuvent êtrealignés (gure5.3), en rotation (gure5.4)outopologiquementsimilaires

(gure 5.5) par rapport au maillage de base. En fontion du type de maillages auxquels

ont areours, onparlerade méthode AMR (pour Adaptive Mesh Renement en anglais)

si les maillagessont alignés ou en rotation et d'approhe de type M.L.A.T. (pour

Multi-Level Adaptive Tehniques)si lesgrilles sonttopologiquement similaires.Dans notre as,

lesmaillagesserontalignésequiorrespond auxméthodesde typeAMRquenousallons

maintenant détailler.

Cette approhe a été développée initialement par Berger et Colella dans les années 80

[9℄. Leur premier objetif était d'assurer un bon suivi des ondes instationnaires qui

ap-paraissent en détonique. Pour ela, ils utilisaient plusieurs niveaux de ranement, en

fontion d'une estimation loale de l'erreur de tronature. Ils travaillaient alors ave des

Fig. 5.3 Maillagesalignés par rapportau maillagede base

Fig.5.4 Maillages en rotation par rapport aumaillagede base

gner es maillagesns ave les disontinuités. Cependant, la diulté de traitementaux

interfaes entre les diérents niveaux en présene de maillages en rotation explique que

la majorité des auteurs faisant appel à la méthode AMR préfèrent s'appuyer sur des

maillagesalignés.

Parmi les auteursqui ont ontribué à l'améliorationde l'approhe AMR, onpourra iter

en partiulier Quirk [117℄, qui a donné un aperçu détaillé de l'algorithme AMR pour les

équations d'Eulerinstationnaires.

L'enrihissementàl'aided'unestruturehierarhiséeprésentedesatoutsnonnégligeables.

Leprinipalatoutrésidedans larégularitédes maillagesobtenus, e quien termede

pré-ision doit apporter un plus par rapport à un ranement s'appuyant sur un maillage

unique. Par la suite, on pourra également envisager de paralléliser les aluls ave une

telle approhe multi-grille, ainsi qu'une approhe multi-résolution dans ertaines

situa-tions omplexes. Pour es diérentes raisons, la méthode de ranement à l'aide d'une

struture hierarhisée a été retenue dans ette étude.

Parailleurs,dufaitde laomplexitédel'utilisationdemaillageenrotation,ilresteà

hoi-sirentre des maillagestopologiquementsimilairesou des maillagesalignés. Lesmaillages

topologiquementsimilairesontundéfautmajeurdansleadredenostravaux:l'ensemble

des ellules à raner doivent être inluses dans un seul domaine de alul. En présene

d'éoulements turbulents faisant intervenir des strutures nes plus oumoins omplexes,

répartiesaléatoirementdansledomainedealul,leranementobtenurisqued'êtretrop

important.Lesmaillagestopologiquementsimilairessont plutotemployésande prendre

Fig. 5.5 Maillages topologiquement similairesaumaillage de base

maillagesalignésaboutissent,quantàeux,àundéoupagedu domainede alul,

permet-tant d'enadrerave préisionhaune des strutures présentent dans l'éoulement.

En résumé, l'approhe adoptée dans ette étude s'appuie sur des maillages struturés

emboîtés, le ranement étant réalisé à l'aide d'une struture hierarhisée de maillages

alignés.

Méthode de ranement automatique

développée

Lapremièrepartiedu mémoireapermisd'introduirelanotionde séparationd'éhelles

du hamp turbulent utilisée dans la Simulation des Grandes Ehelles. Cette approhe

permet ainsi de distinguer les grandes éhelles présentes dans l'éoulement des petites

éhelles. Cette déomposition a pour objetif prinipal de réduire les temps de alul

puisque seules lesgrandes éhelles sontexpliitementrésolues, tandisque lesplus petites

sont modéliséespar l'introdutiond'un modèle sous-maille. Ces derniers reposent sur un

ertain nombre d'hypothèses, lesquelles ne sont pas systématiquement vériées pour des

éoulements omplexes. Dans un tel ontexte, une méthode intéressantepour réduire les

erreurs de modélisationonsiste àutiliser des maillagesns dans leszones à risques.

Cetteutilisationloaledemaillagesnsesttraîtéedansestravauxàl'aided'uneapprohe

multiniveau. Ainsi,à haque niveau est assoiée une résolutionplus oumoinsimportante

de l'éoulement. Ce hapitre a pour but d'introduire le formalisme général multiniveau

utilisé dans une telle approhe.

6.1 Formalisme multiniveau

Dans un premier temps, il va s'agir d'introduire les notations employées par la suite

pour lareprésentation multidomaine/multirésolutiond'unhampturbulent.L'utilisation

d'une hiérarhie de grilles va en eet néessiter de distinguer le degré de résolution des

variables étudiées sur es diérents niveaux de gilles. Soit

φ

^{une fontion quelonque de}

(x, t) ∈ Ω ×R ⁺

^,

Ω ⊂ R ³

^{,àvaleursdans}

R

^.Lareprésentationmultiniveaude ettevariable va néessiter l'emploi d'une famille d'opérateurs de restrition notée

G k

^,

k = 1, N

^{. On}

défnitalors uneensembled'opérateurs hiérarhiques

G

^,

k = 1, N

^{,delamanièresuivante:}

G 1 ^k = G k ◦ G k−1 ◦ ... ◦ G 1 = G k ◦ G 1 ^k−1

^(6.1)

Les diérents niveaux de représentation de la fontion

φ

^{sont obtenus en appliquant un}

opérateur

G 1 ^k

^{. La} représentation de

φ

^{au niveau}

n ∈ [1, N ]

^{, notée}

φ ⁿ

^{,est évaluée à l'aide}

de :

φ ⁿ = G 1 ⁿ (φ) = G n ◦ ... G 1 (φ)

^(6.2)

L'utilisationd'une familled'opérateurs de restrition pour

G k

^{va aboutir à des}

représen-tations

φ ^k

^{de lafontion}

φ

^{quivont être de plus en plus grossière aufur età mesure que}

k

^{roît.Ainsi, leniveau leplus n de} représentation est

φ ¹

^{etle plus grossier}

φ ^N

^.

Pour haque niveau de résolution

n

^{, la fontion}

φ

^{est alors déomposée à l'aide de deux}

ontributions:ondistingue d'unepart lapartiereprésentée sur e niveau

φ ⁿ

^{etde l'autre}

lapartie non représentée

φ ^′ _n

^:

φ = φ ⁿ + φ ^′ _n

^(6.3)

Par référene aux travaux de Harten et au formalisme mutlirésolution qu'il propose, on

introduitlanotiondedétails.Onnote

δφ ⁿ

^{ledétaildelafontion}

φ

^auniveau

n

^;il

araté-rise l'ajoutd'informationobtenusur lafontion

φ

^{en passantdu niveau de}représentation

n + 1

^{au niveau plus n}

n

^ou réiproquement la perte d'information lorsque l'on passe d'un niveau

n

^{à un niveau}

n + 1

^:

δφ ⁿ = φ ⁿ − φ ⁿ⁺¹ = φ ^′ _n+1 − φ ^′ _n

^(6.4)

A l'aide de es notations, la déomposition de

φ

^{donnée par (6.3) peut se reformuler par}

réurrene de la manièresuivante:

φ = φ ⁿ + X n−1

l=0

δφ ^l

^(6.5)

Plus généralement, les détails permettent de faire le lien entre des diérents niveaux de

représentations de la fontion

φ

^:

φ ^m = φ ⁿ + X n−1 l=m

δφ ^l

^(6.6)

On peut ainsi déterminer la représentation de

φ

^{,sur un niveau}

m

^{donné,en onnaissant}

sa déomposition sur un niveau plus grossier

n

^{et les détails traduisant la perte}

d'infor-mation entre es deux niveaux.

Dans le adre de la Simulationdes Grandes éhelles, on imagine aisément que l'on peut

rapproher lesopérateurs

G k

^{de lanotion de ltrageévoquée dans lepremierhapitre de}

e mémoire. L'opérateur

G k

^{va ainsi être assimilé à un ltre passe-bas en fréquene, de}

longueurde oupure

∆ k

^{.Deettemanière,}l'utilisationdel'opérateur

G k

^{surunefontion}

φ

^{va se traduirepar un produitde onvolution du type :}

G n (φ)(x, t) = (G n ⋆ φ)(x, t) =

Z

Ω

G n (∆ n , x − ξ) φ(ξ, t) dξ

^(6.7)

Lahierarhieadoptéepréédemmentpouresopérateurs

G _k

^{indiqueunhoixdelongueurs}

de oupure

∆ k

^{roissantes ave}

k

^{,'est àdire}

∆ k+1 > ∆ k

^.

Parailleurs,laombinaisonde es ltres

G k

^{,parexemplepour}

k = m..n

^{,va aboutiràun}

nouvel opérateurde ltrage

G m ⁿ

^{dénit omme} préédemment :

G m ⁿ (.) = G n ⋆ G n−1 ⋆ ... ⋆ G m+1 ⋆ G m ⋆ (.)

^(6.8)

On peut alors dénir pour le hamp aérodynamique diérents niveaux de ltrage. La

variable ltrée auniveau

n

^{d'une fontion}

φ

^{est donnée par :}

φ ⁿ = G 1 ⁿ (φ) = G n ⋆ G n−1 ⋆ ... ⋆ G 1 ⋆ φ

^(6.9)

Onnote

∆ n

^{lalongueurde oupureliéeaultre}

G 1 ⁿ

^{.A haquelongueur deoupure}

∆ n

^on

peut assoier un nombre d'ondede oupure

k n = π/∆ n

^{.Lavariableltrée}

φ ⁿ

^orrespond

alors auxnombres d'onde

k < k _n

^{.Les détailsentre deux niveaux suéssifs}

l

^et

l + 1

^sont

alulésomme préédemment:

δφ ^l = φ ^l − φ ^l+1 = ( G 1 ^l − G 1 ^l+1 )(φ)

^(6.10)

Dans le ontexte de la Simulation des Grandes Ehelles, les détails dérivent le

om-plément fréquentiel de la fontion

φ

^{entre les niveaux de ltrage}

l

^et

l + 1

^{, et sont par}

onséquent liésaux éhelles de fréquene omprises dans l'intervalle

[k l+1 , k l ]

^.

Commeévoquépréédemment,leséquationsdelaSimulationdesGrandesEhellesportent

généralementsurlesvariablesdeFavredéniesparlarelation(1.31).Pour ela,un nouvel

opérateur de ltrage noté

F 1 ⁿ

^{permet de dénir la variable de Favre ltrée au niveau}

n

par :

φ ˜ ⁿ = F 1 ⁿ (φ) = ρφ ⁿ

ρ ⁿ = G 1 ⁿ (ρφ)

G 1 ⁿ (ρ)

^(6.11)

On peut égalementérire :

φ ˜ ⁿ = G ^F _n φ ˜ ⁿ⁻¹

(6.12)

en dénissant l'opérateur

G ^F _n

^{de lamanière suivante :}

G ^F _n (φ) = G _n ⋆ (ρ ⁿ⁻¹ φ)

G n ⋆ ρ ⁿ⁻¹

^(6.13)

On notera qu'il n'y a pas néessairement égalité entre les longueurs de oupure

∆ ⁿ

^liée

aultre

G 1 ⁿ

^et

∆ ⁿ

^{liéeaultreprimaire}

G _n

^{.Eneet, iln'ya égalitéquelorsquelesltres}

primaires utilisés sont des ltres porte, pour lesquels on vérie aisément

G 1 ⁿ = G n

^{. Dans}

le as général,l'égalité n'est pas vériée:

∆ ⁿ 6 = ∆ ⁿ

^.

Dans le adre de la résolution des équations de Navier-Stokes, la déomposition

multi-éhelles va s'appliquer aux variables aérodynamiques. Pour un uide ompressible, les

équations ltréesau niveau

n

^{, sous leur formeompat, s'érivent :}

∂

∂t V b ⁽ⁿ⁾ + N V b ⁽ⁿ⁾

= −T ⁽ⁿ⁾ − ∂

∂t K ⁽ⁿ⁾

^(6.14)

Le veteur

V b ⁽ⁿ⁾

^{dénit un nouveau jeu de variables ltrées faisant intervenir l'énergie}

résolue auniveau

n

^:

V b ⁽ⁿ⁾ =

Le veteur

K ⁽ⁿ⁾

^{est déni à l'aidede l'énergieinétique}sous-maillegénéralisée du niveau

n

^,

k ⁽ⁿ⁾

^{, de la manièresuivante :}

Dans le document Simulation des Grandes Echelles en maillage adaptatif (Page 68-74)