La modélisation fontionnelle

Dans ette partie, on étudie en détails quelques exemples de modèles dits

fontion-nels,pour lesquelsonfaitl'hypothèsequel'ationdeséhelles sous-maillesur leséhelles

résoluesest essentiellement énergétique, etque,par onséquent, la onnaissanedu bilan

des transfertsentre esgammesd'éhellessutà dérirel'ationdes éhellessous-maille.

Par ailleurs, es modèles sont basés sur l'idée que les méanismes de transfert d'énergie

sontsimilairesauxméanismesdediusionliésàlavisositémoléulaire.Touslesmodèles

présentés ii ne tiennent ompte quedu transfert diret des grandes éhelles vers les

pe-tites. Cei onduità l'utilisationd'une hypothèse de Boussinesq pour la modélisationdu

tenseur sous-maille, dont les axesprinipaux sont supposés alignés ave eux du tenseur

des taux de déformationrésolu :

τ _ij ^d = − 2ρν t S ˜ _ij ^d

^(2.1)

lanotation

d

dérivant lapartie déviatoire du tenseur onsidéré.

La partieisotropedu tenseur sous-mailleest, quant à elle, généralementprise en ompte

de manièreimpliite.Eneet, àl'aide d'un hangement de variableommeelui proposé

par Comte et Lesieur [21℄, on ajoute ette quantité à la pression ltrée. L'intérêt de e

hangementde variable est qu'il n'entraîne pas de modiation des équations ltrées.

Ene quionerne lafermeturede l'équationd'énergie, ilresteàmodéliserlestermes

B ₁

^,

B 2

^et

B 3

^{del'équation(1.41).Leterme}

B 3

^{estdiretementalulabledéslorsqueletenseur}

sous-maille

τ

^{est onnu, alors que les termes}

B 1

^et

B 2

néessittent une modélisation.

Ces deux derniers sont généralemement regroupés en un seul terme et leur modélisation

repose sur l'hypothèse d'uneproportionnalité entre lestransferts sous-mailled'énergie et

le gradientde température résolue:

B 3 = ∂

∂x j

(τ ij u e i )

B 1 + B 2 = − ∂

∂x j

κ t

∂ T e

∂x j

!

oùle oeient de ondutivité thermiquesous-maille

κ _t

^{est liéà la visosité}sous-maille par l'introdutiondu nombre de Prandtl turbulent :

κ t = ρν t C p

P r t

(2.2)

Ilrestealors àdéterminerlavisositésous-maille,e quis'eetue parl'introdutiond'un

modèle sous-maille. Il est ependant intéressant de souligner que les modèles présentés

i-dessous ont généralement été développés dans le adre d'éoulements inompressibles,

et étendus par la suite diretement auas ompressible sans modiation spéique.

Modèlede Smagorinsky

Le modèle de Smagorinsky est, historiquement, un des premiers modèles à visosité

turbulenteàavoirétéemployé.IlaétéélaboréetutiliséparSmagorinskyen1963[132℄an

de longueur de mélange loale, la visosité turbulente étant alors supposée

proportion-nelle àl'éhelle de longueur aratéristiquesous-maille

∆

^{et àune vitesse} aratéristique turbulente

v = ∆ | S ˜ |

^:

ν t = (C s ∆) ² S ˜

^(2.3)

où le gradient de vitesse aratéristique

| S ˜ |

^{s'obtient à partir du tenseur de} déformation du hamprésolu

S ij

^:

S ˜ =

q

2 ˜ S ij S ˜ ij

^(2.4)

Andedéterminerlavaleurdelaonstante

C s

^,onfaitl'hypothésequelespetiteséhelles sonten équilibre,'est àdire quelaprodutionetladissipation d'énergiese ompensent,

e qui revient à dire quel'on sesitue en turbulene homogène isotrope.On obtient ainsi

une valeur théorique pour ette onstante :

C s ≃ 1 π

2 3C _k

3/4

(2.5)

où

C k

^{représente la onstante de} Kolmogorov. Ave

C k = 1.41

^{, on obtient}

C s ≃ 0.18

^;

ependant, en fontion des éoulements onsidérés pour lesquels l'hypothèse d'isotropie

peut s'avérer fausse, des valeurs de

C _s

^{dans l'intervalle [0,1; 0,2℄ sont ouramment}

ad-mises.

Enn,andeprendreen ompteaumieux lesstruturesloalesdel'éoulement(présene

d'obstales, zones laminaires,et.), e modèle est souvent ombiné soitave des senseurs

struturels omme elui présenté plus loin dans e paragraphe, soit ave une proédure

dynamique pour l'évaluationde ette onstante

C s

^{omme présenté en annexe B.}

L'intérêt de e modèle réside dans son faibleoût numérique,mais il présentenéanmoins

unertainnombred'inonvénients.Tout d'abord, ilapparaîtnéessairedeproéderàune

modiation de la valeur attribuée à la onstante

C s

^{en fontion de} l'éoulement onsi-déré; en partiulier, on devra l'atténuer pour des simulations de prohe paroi. De plus,

le modèle ne tend pas à s'annuler en l'absene d'énergie sous-maille, e qui va entraîner

des erreurs non négligeablessi l'on herhe à étudierdes éoulementstransitionnels sans

modiationde e modèle.Enn e modèleest purement dissipatifetinterdittoutretour

d'énergie des petites éhelles vers les grandes. Or e phénomène peut représenter

loa-lement jusqu'à la moitié des transferts d'énergie dans le as du anal plan par exemple

[110℄.

Modèled'éhelles mixtes

An de s'aranhirdu prinipal défaut du modèle de Smagorinsky évoqué

préedem-ment,àsavoirsoninapaitéàs'annulerdansleszonesrésoluesdel'éoulement,Sagautet

al. [124℄ ont misaupoint un modèle égalementbasé sur lamodélisationfontionnelle, et

qui utilisel'énergieinétique àlaoupure

q c

^{ommeun senseur} additionnel quipermet d'évaluer le aratère résolu ou non d'un éoulement. Ce modèle repose sur une triple

dépendane à la longueur de oupure du ltre

∆

^{, au taux de} déformation de l'éoule-ment étudié et à l'énergie inétique à la oupure, et fait intervenir un paramatètre de

pondération

α

^:

ν t = C m

S ˜ ^α (q c ) ^{1−α 2} ∆ 1+α

(2.6)

où l'énergie inétique

q c

^{est évaluée à l'aide d'un double ltrage de la solution omme}

étantégale à l'énergieinétique des plus petites éhelles résolues :

q c = 1 2

u ˜ k − u ˜ b k

2

(2.7)

La notation

b .

^{désigne ii un seond niveau de ltrage, la longueur de oupure}

∆ = b π/k _c ^′

de e ltre test étantsupérieure à elle du ltre de la simulation

∆ = ¯ π/k c

^.

L'énergieinétique

q c

^{orrespondenfaitàl'énergieportéeparleséhellesrésoluesdeplus}

k

E(k) u

k c q c u u

u

k ’ _c

Fig. 2.2 Déoupage du spetre d'énergie assoié à un double ltrage de la solution.

haute fréquene (Figure 2.2), et sous ertaines hypothèses, sa valeur est omparable au

niveauénergétique

q sm

^deséhellessous-mailles.Eneet,enonsidérantquelesfréquenes de oupure orrespondant aux deux niveaux de ltrage agissent dans la zone inertielle

d'un spetre d'énergie de Kolmogorov en

k ^−5/3

^, l'approximation

q c ≈ q sm

^{est exate}

pour

∆ = b √

8 ¯ ∆

^{. Le tenseur de} sous-maille ainsi déni tend don à s'annuler pour les éoulements résolus.

Leparamètre

α

^{permetde fairedégénererlemodèlevers lemodèlede} Smagorinskyquand

α

^{tend vers 1,ouvers le modèle àénergieinétique de} sous-maille[128,150℄ pour

α = 0

^.

Nousxerons savaleurà

0, 5

^{dans notreétude.L'approhe EDQNM[2℄nous donnealors}

lavaleur de la onstante:

C m = 0, 06

^.

Senseurs struturels

La majorité des modèles relevant de la modélisation struturelle ont pour prinipal

défaut de ne pas s'annuler dans leszones résoluesde l'éoulement,e quiles rend

surdis-sipatifs pour les éoulements transitionels, dans des zones laminaires,ou enore près de

parois solides.

amené àfaire appel à un senseur basé sur une informationstruturelle dans le but

d'an-nuler les termes sous-maile dans les zones laminaires. Cei est réalisé en inorporant au

modèle une fontion de séletion basée sur lesutuations angulaires de la vortiité[27℄.

Davidpropose ainside onsidérer qu'un éoulementest turbulentetontientdes éhelles

sous-maillelorsque lesvaleurs de lavariationangulaireloalede lavortiitépour lesplus

hautesfréquenes résoluessont supèrieuresàla valeurseuil

θ ₀ = 20 ^◦

^{.En notant}

θ

^l'angle

entre lesveteur vortiité

ω

^{et leveteur vortiité ltré}

ω ˆ

^{obtenu à l'aide d'un ltre test}

ˆ .

^{,le senseur}

f θ 0

^est l'opérateur booléen :

f θ 0 (θ) =

1

^si

θ ≥ θ 0

0

^{sinon (2.8)}

On multiplie alors l'expression lassique du

ν t

^{par et opérateur pour obtenir la forme}

exate de lavisosité sous-maille.

Néanmoins, des variations aussi brutales du senseur peuvent entrainer des instabilités

numériques, e qui a amené Sagaut [121℄ à proposer une version ontinue de la fontion

de séletion :

f _{θ 0} (θ) =

1

^si

θ ≥ θ ₀

r(θ) ⁿ

^{sinon (2.9)}

ave généralement

n = 2

^{, etla fontion}

r(θ)

^{dénie par :}

r(θ) = tan ² (θ/2)

tan ² (θ 0 /2)

^(2.10)

Ce dernierrapportest evaluéfailementen introduisantlavortiitéutuante

ω ^′ = ω − ω ˆ

et en utilisant larelation :

tan ² (θ/2) = 2ˆ ωω − ω ˆ ² − ω ² + ω ^′2

2ˆ ωω + ˆ ω ² − ω ² − ω ^{′ 2}

^(2.11)

Enn, un fateur orretif de

1, 65

^est généralement appliqué à la fontion

f θ 0

^omme

reommandé par David. Finalement, l'expression de la visosité sous-maille est donnée

par :

µ ^{f inal} _t = 1, 65.f θ 0 (θ).µ t

^(2.12)

Il existe d'autres modélisationsfontionnelles (voirpar exemple [122℄pour un aperçu des

modèles existants) mais e modèle est souvent retenu pour son omportement

asympto-tique, sa stabilité et son faible oût numérique du fait de sa loalisationen temps et en

espae.

Modèles spetraux

Pour l'étude de la Turbulene Homogène Isotrope, les aluls ont été menés dans

l'espae spetral, et il faut par onséquent employer des modèles de turbulene tirant

leurs informationsde e mêmeespaeetnon plus de l'espaephysique ommepeuvent le

faireles modèles présentés préedemment.

Ande modéliserles transfertsd'énergie, Kraihnan[67℄ introduit unevisosité eetive

qui inlut le phénomène de asade inverse. La visosité

ν t (k | k c , t)

^{qui représente les}

interations entre lenombred'onde

k

^{etleséhelles} sous-mailles(

k > k c

^{)est ainsi dénie}

par :

ν t (k | k c , t) = − T SGS (

^k

, t)

2k ² E(

^k

, t)

^(2.13)

où

T SGS

^est l'équivalent,en terme de bilan d'énergie, du terme

t SGS

^{de l'équation (1.68).}

En introduisant ette visosité eetive dans l'équation d'évolution du spetre d'énergie

turbulente, derivée de l'équation (1.68),onobtient larelationsuivante :

∂

∂t + 2k ² (ν + ν _t (k | k _c , t))

E(

^k

, t) = T _{<k c} (

^k

, t)

^(2.14)

où

E(

^k

, t) = G ² (

^k

)E(

^k

, t)

^{représente lespetre d'énergieturbulentedes éhelles résolues.}

La modélisation permet alors d'exprimer la visosité eetive en fontion des éhelles

résolues de l'éoulement, an de fermer le système d'équations ltrées.

L'expression laplus simpliée pour la visosité turbulente a été introduite par Métais et

Lesieur [77℄. La visosité y est indépendante du nombre d'onde et représente don une

expression moyenne sur l'ensembledes nombres d'ondes onsidérés. Lavisosité eetive

est alors dénie par :

ν t (k | k c , t) = 2

Par la suite, des modèles plus préis ont été étudiés. An de représenter au mieux les

méanismesénergétiques onstatés parl'approhe EDQNM,ilaen eetété néessaire de

rendre omptede la distribution spetraleà imposer pour la visosité turbulente.

Pour ela, ondénit lavisosité eetive par un produit de deux ontributions :

ν t (k | k c , t) = ν _e ^∞ ν _t ^∗ (k | k c , t)

^(2.16)

Letermeonstant

ν _e ^∞

^{est lavaleur}asymptotiquedelavisositéeetivepourlesnombres d'onde petits devant le nombre d'onde à la oupure. On évalue sa valeur en utilisant

l'énergieà laoupure etle nombre d'ondeorrespondant :

ν _e ^∞ = 0, 441C k −3/2

E(k c ) k c

1/2

(2.17)

Une extension a été proposée par Métais et Lesieur [100℄. En partant du prinipe que la

pente du spetre ne suit pas néessairement la loide Kolmogorov en

k ^−5/3

^{,ils s'appuient}

denouveausur l'approhe EDQNMan demodierleterme

ν _e ^∞

^{pourunspetredepente}

− m

^{. Pour des valeurs}

m < 3

^{, lepremier fateur de lavisosité eetive devient alors :}

ν _e ^∞ = 0, 31 5 − m

Pour des spetres tels que

m ≥ 3

^{, letransfert d'énergie s'annulee quientraîne lanullité}

de la visosité eetive.

Leseondfateurintervenantdans(2.16)déritleomportementde lavisositéeetiveà

proximitéde laoupure. Onutilisegénéralementladénition dérivantunomportement

exponentielde la visosité eetive quand ons'approhe de laoupure :

ν _t ^∗ (k | k c , t) = 1 + 34, 5 e − 3, 03 k c

k

(2.19)

Cette formule permet ainsi d'obtenir une visosité eetive quasiment indépendante du

nombred'ondepourdes valeurs de

k

^{trèspetitesdevant}

k c

^{, etune}augmentationde ette visosité à l'approhe de laoupure.

Les visosités obtenues dans les diérentes expressions dans l'espaespetral restent

pu-rementpositives. Ilest donde nouveau impossiblede rendreompteonvenablementdu

phénomène de asade inverse ave e type de modèle sous-maille.

Il faut également souligner que le nombre d'onde de oupure

k c

^{ne peut être hoisi au}

hasard. En eet, il doit appartenir à la zone inertielle du spetre d'énergie an de

s'as-surer que les hypothèses lassiques telles que l'homogénéité des éhelles sous-maille sont

vériées.

Dans le document Simulation des Grandes Echelles en maillage adaptatif (Page 29-34)