Le terme de forçage - T urbulene Homogène Isotrope forée

4.2 T urbulene Homogène Isotrope forée

4.2.1 Le terme de forçage

Enl'absenedeforeextérieure,l'énergieinétiquedelaturbulenehomogèneisotrope

déroit suivant une loi en

t ^−1,38

^d'après ^les ^préditions ^issues ^de ^l'approhe ^EDQNM

(pourEddy-DampedQuasi-NormalMarkovian,voirparexemple[1℄pourladétermination

de ette loi). L'objetif de l'étude étant de mettre en évidene les onséquenes d'une

modiationdu maillagesur lasimulation,ilapparaîtutilede sebaser surun éoulement

statistiquement stationnaire an de pouvoir omparer quantitativement les informations

entrelesdiérentsinstants.Ils'agitdondes'assurerquel'énergieinétiquetotaleet,par

la même oasion, les autres grandeurs aratéristiques de la THI, restent onstantes au

oursdutemps.Uneméthode ourammentemployée onsisteàinjeterartiiellementde

l'énergie aux grands nombres d'onde an de ompenser l'énergie dissipée par les petites

strutures.Latehnique employée iiaétéproposéeparWitkowska[148℄quipréonisede

réinjeter laquantité d'énergie perdue par leseets visqueux dans une bande de nombre

d'ondes

[k ₁ , k ₂ ]

^situés ^en ^amont ^de ^la ^zone inertielle. En pratique, ela se traduit par l'introdutiond'un oeient multipliateur

β

^qui^va ^agir^sur ^les^modes ^de ^F^ourier^de ^la

simulation:

ˆ

u(k, t + ∆t) = β u(k, t) ˆ

^(4.10)

Ceoeientvapermettre d'amplierlesmodesbassefréquenedu spetreet,par

onsé-quent, il est diérent de un pour les seuls modes ompris dans l'intervalle

[k 1 , k 2 ]

^. ^Son

butétantd'assurerlaonservationdel'énergieinétiqueauxdiérentsinstants,ildépend

à la fois de la quantité d'énergie dissipée entre deux pas de temps

∆E tot

^et ^de ^l'énergie

ontenue dans la bande

[k 1 , k 2 ]

β =

 

 

 

 r

1 + R k ^∆E 2 ^tot k 1 E(k)dk

pour

k ∈ [k 1 , k 2 ]

1

^sinon

(4.11)

Onpourraitraindrequel'ajoutdee termede forçagenevienneperturberlasimulation,

enaltérantinéxorablementlaturbulene.Cependant,Witkowskaetal.[149℄montrentque

ette méthode de forçage n'a pas une inuene signiative sur le développement de la

turbulene.

On a pu toutefois noter une inuene non négligeable de l'intervalle de forçage

[k ₁ , k ₂ ]

DanslestravauxdeSeror[129℄,leforçageestappliquédansl'intervalledenombresd'onde

[1, 5]

^.^Witkowsk^a,^pour ^sa^part,^obtenait^les^meilleurs^résultats^sur^ses simulationsave un intervalle de forçage

[3, 20]

^. ^Cependant, ^le ^spetre înitial ^était ^diérent âve ûn ^pi ^dans

des plus hauts nombres d'onde quepour nos simulations (

k 0 = 7

^).

Andes'assurerquel'inueneduforçageneviendraitpasperturberlessimulations,trois

intervalles de forçage ont été testés omme répertoriés dans le tableau 4.3. Le premier

est elui employé par Seror, le seond

[2, 6]

êst ^hoisi ^de ^manière ^à ^être êntré âutour

du nombre

k 0

^, ênn ^le ^troisième êst ^légèrement ^plus ^restreint âve ûn ^forçage ^pour ^les

nombresd'onde

3 ≤ k ≤ 6

^.^Dans^tous^lesâs, ^le^forçage êstâppliqué ^lorsquel'éoulement aatteintun régimeauto-similaireave un spetre prohe des hypothèsesde Kolmogorov,

'est à dire ii dès l'instant

t = 10

^. ^Le ^maillage ^utilisé ^pour ^tester ^l'inuene ^du ^forçage

ontient

64 ³

^points.

[k min , k max ]

forçage A

[1, 5]

forçage B

[2, 6]

forçage C

[3, 6]

Tab. 4.3 Intervalles de forçageonsidérés

k

E

5 10 15 20

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

k ^-5/3

k

D

5 10 15 20

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

k ^1/3

Fig. 4.5 Inuene de l'intervallede forçage sur les spetres d'énergie (gauhe) et

d'en-strophie (droite) à t=20. : pas de forçage; : forçage A;

· · ·

^: ^forçage ^B^;

·

forçage C

La gure 4.5 donne un aperçu du omportement spetral de la simulation pour les

diérentsintervalles de forçage. Ainsi,on vérie que l'énergieontenue dans la bande de

nombres d'onde forée est arue, alors que l'énergiede part et d'autre de et intervalle

estdiminuéepourassureruneonservationdel'énergietotaledel'éoulement.Dansleas

du forçage C, on observe un pi d'énergie qui se retrouve déalé vers les petites éhelles

parrapportauxautressimulations,présentantunpid'énergieprohede eluiduspetre

initial

k 0

^.^Or, ^on^reporte généralement, dansla littérature,un déplaementdu maximum d'énergieauoursdutempspar rapportauspetre initialendiretiondes petitsnombres

d'onde. Ainsi,pour lesalulsave

k 0 = 4

^,ôn^s'attend ^àâvoirûn ^spetre^qui^présente ûn

maximum autourde

k = 2

ûne ^fois ^le^régime^turbulent^établi,^que ê ^soitên ^déroissane

libre ouen présene d'un termede forçage. On vérie bien e phénomènepour l'étudeen

déroissane libre ainsi que pour les forçages A et B, mais pas pour le troisièmeforçage.

Cela va onduire àune modiationde laphysique de l'éoulement puisque lemaximum

d'énergie intervientàdes éhelles plus petites quedans lesautres as d'étude. Pour ette

raison, e forçage est d'hors et déjàexlu pour la suite de es travaux.

Auniveau duomportementdes simulationsauxpetites éhelles,onobservedes spetres

trèsprohes pourlesdiérentsforçages.Unediéreneexisteependantentre lesforçages

A et B, àsavoir que lepremier agitd'avantage dans les petits nombres d'ondeque le

se-au spetre de référene au niveau des grandes éhelles de l'éoulement. Dans le as B, le

forçage se faitd'avantage ressentirdans lesgrands nombres d'ondes.

L'inuene du forçage sur lesgrandeurs aratéristiques de laTurbulene Homogène

Iso-tropeaégalementétémisenévidene. Ainsi,lagure4.6présentel'évolutiondela

miro-éhelle de Taylor,de l'éhelle intégrale,du skewness (f. dénition4.6) etde l'enstrophie

totaleen fontionduforçageemployé.Lamiro-éhelledeTayloretl'éhelleintégralesont

deuxéhellesaratéristiquesdeetyped'éoulementetsontdéniesrespetivementpar:

λ = u rms

Le forçage A entraîne une augmentation de l'éhelle de Taylor et de l'éhelle intégrale

t

Fig. 4.6Inuene de l'intervallede forçage sur l'évolutionde l'éhelle de Taylor

(haut-gauhe), de l'éhelle intégrale (haut-droite),du skewness (bas-gauhe) et de l'enstrophie

(bas-droite). : pas de forçage; : forçage A;

· · ·

^:^forçage ^B^;

·

^: ^forçage ^C

alors que le forçage B permet de onserver des valeurs plus stables pour es deux

gran-deurs.Lestrois forçagesdonnentlemêmeomportementpourlefateurdedissymétrieet

l'enstrophie, ette dernière tendant à se stabiliserdu fait de l'apportartiiel d'énergie.

Lehoixnals'estporté surleforçageB,quiorrespondàl'intervallede forçage

[2, 6]

^,^du

fait tout d'abord de sa symétrie par rapport au pi du spetre initial d'énergie, et pour

son meilleur omportement auniveau des plus petites éhelles résolues.

4.2.2 Mise en évidene de l'erreur de ommutation

Comme pour le as non foré, la variation de la longueur de oupure est ii régie

par une loi sinusoïdale (4.7). Une telle modiation dynamique de la valeur attribuée à

k c

^va êntraîner ûne ^modiation ^de ^la ^quantité ^d'éhelles ^résolues. Ên ôutre, ^la ^quantité

d'énergie résolue va utuer au ours du temps et il va don falloir en tenir ompte

au niveau de la quantité notée

∆E tot

^dans ^la ^relation ^(4.11). Ên êet, êtte ^quantité

désigne l'énergie perdue entre deux pas de temps de simulation. Cette perte provient de

ladissipation d'énergie dans leadre de la THI en déroissane libreet est aluléede la

manièresuivante :

Dans la présente étude, le nombre d'onde de oupure est amené à varier au ours de

la simulation :

k c = k c (t)

^. ^Par ^onséquent, ^une ^diminution ^de

k c

^va ^entraîner ^une ^perte

d'information au niveau de la bande spetrale

[k c (t + ∆t), k c (t)]

^, êt ^par ônséquent ûne

diminutionde l'énergie totalerésolue

R k c

0 E(k, t)dk

^qui ^n'est ên âuune ^manière^liée^à ûn

phénomène de type dissipatif. Il n'y a don auune raison de réinjeter l'énergie

orres-pondantà ette diminution de

k c

^par l'intermédiairedu termede forçage.

An de résoudre e problème, l'évaluation de la quantité d'énergie dissipée entre deux

instantsest, par lasuite,réaliséedanslabandespetrale

[0, k _c,min ]

uniquement.L'énergie orrespondanten'est eneetpas diretementaetéepar lesmodiationsde

k c

^et

∆E tot

est alors alulé de la manièresuivante :

∆E tot =

Une autrepossibilitéaété envisagée. Elleonsisteà évaluer laquantité d'énergierésolue

perdue (ou gagnée) en diminuant (ou augmentant)

k c

^. ^Cette ^démarhe ^s'appuie ^sur ^les

hypothèsesdetypeKolmogorovpourdéterminerettequantité,maiselleaétérapidement

abandonnée ar es hypothèses restent disutables, en partiulier dans le ontexte d'un

nombre d'onde de oupure variable.

An de tester l'inuene de l'erreur de ommutation sur les simulations, on relève de

nouveau l'évolution de la quantité d'énergie ontenue dans ertains modes de la même

manière que dans le as de déroissane libre. Les pulsations utilisées ette fois-i sont

ω = 1

ω = 2

^et

ω = 10

^. ^Les ^premières onstatations sont similaires à elles eetuées pour la THI en déroissane libre. Ainsi,on observe une aumulationd'énergie pour les

nombresd'ondes situésprès dunombred'ondedeoupure minimum

k c,min

^,^et^e^d'autant

plus que lavitesse de variation du maillage, et par onséquent la pulsation d'osillation,

sontimportantes.L'interprétationde e phénomèneest identiqueà elleeetuéedans le

adrede ladéroissanelibre.Parontre, leomportementauxpetitsnombresd'ondeest

diérentde elui observé en l'absene de forçage. En eet, alors qu'en déroissane libre

onobserveune légèreaugmentationde l'énergieontenue dansle mode

k = 3

^,^on^obtient

en présene du terme de forçage une diminution de ette même quantité.

La gure 4.8 dérit l'évolution au ours du temps des phénomènes d'aumulation

et de perte d'énergie pour la THI forée. On vérie que pour les faibles pulsations, les

petites éhelles sont bien restituées pendant la phase de roissane du nombre d'onde

d'un temps susant pour restituer les petites éhelles et on obtient une aumulation

importante d'énergie prohe du nombre d'onde

k c,min

^. ^Au ^niveau ^des ^grosses ^strutures

de l'éoulement, on observe le omportement inverse, 'est à dire qu'elles sont altérées

pour les osillationslentes. On obtient ainsi des phénomènesd'aumulation et de perte

d'énergiepourlespetitsnombresd'ondequitendentàroîtreaveletemps.Auontraire,

pour les osillationsrapides, les grandes éhelles sont peu modiées au ours du temps.

On peut de nouveau expliquer e phénomène par la faible valeur hoisie pour

k c,min

^qui

ne permet pas un bon omportement du modèle lorsque l'on s'en approhe, e qui est

d'autant plus néfaste que l'osillationest lente.

Dans le document Simulation des Grandes Echelles en maillage adaptatif (Page 55-59)

Le terme de forçage

4.2 T urbulene Homogène Isotrope forée

4.2.1 Le terme de forçage

t −1,38

[k 1 , k 2 ]

β

ˆ

u(k, t + ∆t) = β u(k, t) ˆ

[k 1 , k 2 ]

∆E tot

[k 1 , k 2 ]

β =

 

 

 

 r

1 + R k ∆E 2 tot k 1 E(k)dk

k ∈ [k 1 , k 2 ]

1

[k 1 , k 2 ]

[1, 5]

[3, 20]

k 0 = 7

[2, 6]

k 0

3 ≤ k ≤ 6

t = 10

64 3

[k min , k max ]

[1, 5]

[2, 6]

[3, 6]

k

E

5 10 15 20

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

k -5/3

k

D

5 10 15 20

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

k 1/3

· · ·

·

k 0

k 0 = 4

k = 2

λ = u rms

t

· · ·

·

[2, 6]

k c

∆E tot

k c = k c (t)

k c

[k c (t + ∆t), k c (t)]

R k c

0 E(k, t)dk

k c

[0, k c,min ]

k c

∆E tot

∆E tot =

k c

ω = 1

ω = 2

ω = 10

k c,min

k = 3

k c,min

k c,min

t ^−1,38

[k ₁ , k ₂ ]

1 + R k ^∆E 2 ^tot k 1 E(k)dk

[k ₁ , k ₂ ]

64 ³

k ^-5/3

k ^1/3

[0, k _c,min ]