Enrihissement aux frontières

R ^l _l−1 (φ ^l−1 )

I,J,K = 1

2 φ ^l−1 _i,j,k + 1

2 φ ^l−1 _i,j+1,k

^(6.20)

La gure 6.2dérit les fontions de transfert des opérateurs utilisés dans ette étude

pour le transfert d'informations entre deux niveaux de grille suéssifs, en se limitant

toutefoisà l'étuded'un opérateurmonodimensionnel(relations(6.19)et (6.20)).Les

mo-dules de es fontionsde transfert(g. 6.2())montrentune tendane àatténuer lesplus

hautes fréquenes du signal. Cette aratéristique permet d'éviter tout phénomène

d'a-umulationd'énergie auniveaude lalongueur d'ondede oupuresur lesniveaux grossiers

[136℄ qui pourraitse traduirepar l'introdutiond'erreurs numériques sur les utuations

turbulentes. Par ailleurs, le fait que la partie imaginairede l'opérateur de prolongement

soitnon nullevient de l'utilisationde shémas ell-entered. Ce type de shéma entraîne

néessairement l'emploi d'opérateurs déentrés au niveau du prolongement et don

l'ap-parition d'un déphasage. La partie imaginairede l'opérateurde restrition, quant à elle,

est nullear il s'agit d'un opérateurentré.

En présene de maillages non uniformes, un leger gain est onstaté au niveau des

si-mulationslorsquel'onpondèrelesoeientsdel'opérateurde restritionpar lesvolumes

des ellulesonsidérées.Ainsi,unopérateurderestrition avepondérationparlevolume

a été retenu dans la suite des travaux. Cette pondération n'est en revanhe pas utilisée

pour l'opérateur de projetion, puisque, d'une part, un tel opérateur serait ompliqué

à onstruire du fait du nombre onséquent de points d'interpolation employés; d'autre

part,laprojetionest utiliséemoins fréquemmentquelarestrition puisqu'elleintervient

seulement quand un ranement est demandé et uniquement si la zone en question n'a

pas étéranée auparavant,alors quel'érasementdu hampgrossierpar lehampn est

utilisé àhaque pas de temps.

6.2.2 Enrihissement aux frontières

Le fait de reourir à une approhe multirésolution néessite un traitementpartiulier

au niveau des interfaes de raord entre deux domaines de niveaux distints. En eet,

l'unedesprinipalesaratéristiquesdeetteapproherésidedansladisontinuitébrutale

delatailledes maillesauniveaude etyped'interfae.Celaentraîneunedisontinuitéen

fréquene de lasolutionobtenue sur haundes niveaux. Eneet, ommehaque niveau

de grilleest assoié à un ltre LES dont la longueur de oupure est proportionnelle à la

tailledemaille,ilestpossiblede représenter d'avantaged'informationsorrespondantaux

petites éhelles sur la grillene. An de onserver une préision susante sur le niveau

n, il est alors néessaire de tenir ompte de manière expliite de ette disontinuité à

l'interfae.

Cependant, la plupart des études antérieures menées sur des ongurations

multido-mainesoumultigrillesloalesutilisentuntraitementontinuauxinterfaes.Ainsi,Simons

et Plether [130℄ ontreours à un traitementonservatif des uxet des variablesaux

in-0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Re(H)

k/kc_f R P PoR

(a) Partiesréelles.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Im(H)

k/kc_f R P PoR

(b) Partiesimaginaires.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

|H|

k/kc_f R P PoR

() Modules

Fig. 6.2 Fontionsde transferts des opérateurs de restrition, prolongement etde leur

assoiationen fontiondunombre d'ondeadimensionnépar lenombred'ondede oupure

du niveau n (noté

kc − f

^).

(a)Traitementontinuàl'interfae:

appa-ritiond'unezonetampon

(b)Traitementdisontinuàl'interfae:

res-titutionorretedespetitesstrutures

Fig. 6.3Traitementà l'interfae n/grossier.

un traitementontinuauxinterfaes dans leurméthodes'appuyantsur des grilles

emboî-tées. Enn, Sullivan et al. [135℄ et Boersma et al. [16℄ imposent également la ontinuité

du hamp etdes ux auxinterfaes dans l'utilisationde leur algorithme multigrille loal

sur la Simulationdes Grandes Ehelles. Cependant, dans leas de l'étude de Sullivan, le

traitementontinuaux interfaes sejustie par lefaitqu'il prend soin de fairetendre les

longueurs aratéristiques des deux maillagessitués de part et d'autrede l'interfae vers

une même valeur en s'approhantde ette fontière.

Ces méthodes lassiques, onsistant à imposer une onservation des ux (voire des

variables) à l'interfae entre deux niveaux de grilles, ne peuvent ainsi remédier à e

pro-blèmede disontinuité fréquentielle.En eet, siauun traitement partiulieren terme de

fréquene n'est eetué au niveau de l'interfae, il risque de se développer une zone dite

tampon dans les premières mailles de la grille ne, omme évoqué par Quéméré [115℄ et

ommereprésentésurl'imagedegauhedelagure6.3.Dansettezone,lesmodeshautes

fréquenessontmalreprésentés, eux-iétantseulementrégénérésaufur età mesureque

l'ons'éloignede lafrontière.Orela revientà supposer queledomainen est susament

étendu an de régénerer l'ensemble de es modes. Bien entendu, dans de nombreux

al-uls, on s'attend à reourir à des grilles nes de faible étendue qui ne permettront don

pas de bien réstituer lespetites strutures.

And'éviterl'apparitiondelazonetampon,Quéméré etal. [116℄ontproposé d'employer

uneméthoded'enrihissementenfréquene delasolutionobtenuedanslesmaillestives

de lagrillene parsimple interpolationdelasolutiongrossière. Ainsi,laméthode hoisie

pour évaluer l'enrihissement àapporterauniveau de es mailles tivesest lasuivante:

dans un premier temps, la stratégie onsiste à extraire le détail entre la solution ne et

lasolutiongrossière auniveau des mailles réellesdiretement voisinesde l'interfae;puis

dans un deuxième temps,on injete ette quantité dans les ellules tives en l'ajoutant

à la valeur interpolée diretement à partir du hamp grossier. Cependant, il onvient de

pondérer le omplément fréquentiel par une onstante

C

^{avant de} l'appliquer dans les ellules tives. Eneet, Quéméré [115℄ montre que e oeient permet de stabiliser le

alul à ondition que sa valeur soit inférieure à un, la valeur

C = 1

^{pouvant aboutir à}

inférieureàunpourleoeientd'enrihissementparlefaitqu'ens'éloignantdudomaine

n, on s'attend à obtenirdes termeshautes fréquenes de plus en plus atténués.

La stratégie d'enrihissement se déroule ainsi en deux étapes et peut se résumer de la

Ω n _n+1

j

J+1 j+1

J

Ω

Fig.6.4Proédure d'enrihissementauxfrontières.:frontièren/grossier;

◦

^:ellule

du maillagegrossier;

:ellule réelledu maillagen;

:ellule tivedu maillagen.

manièresuivante (voir notations sur la gure6.4) :

δφ ⁽ⁿ⁾ (j) = φ ⁽ⁿ⁾ (j) − P _n+1 ⁿ ◦ R ⁿ⁺¹ _n (φ ⁽ⁿ⁾ (j))

^(6.21)

φ ⁽ⁿ⁾ (j + 1) = P _n+1 ⁿ (φ ⁽ⁿ⁺¹⁾ (J + 1)) + C ⁽ⁿ⁾ × δφ ⁽ⁿ⁾ (j)

^(6.22)

Lavaleur exate attribuéeàlaonstanted'enrihissement

C ⁽ⁿ⁾

^{demeure une inonnue du}

problème.Quéméré [115℄propose desvaleursdel'ordre de0,95 dansleadredu ouplage

RANS/LES,alorsqu'unevaleurde0,7estappliquéepourleouplageentredeuxdomaines

LES. Terraol [136℄, pour sa part, évalue la valeur à donner à ette onstante en faisant

l'hypothèse de l'existene d'une loi en puissane pour l'énergie résolue aux plus hautes

fréquenesrésoluesan dedéterminerleomplémentfréquentielàimposerdans laellule

tive. Terraol obtient ainsi des valeurs prohes de 0,95 dans le adre d'une approhe

LES multiniveau. Nous avons noté ependant une grande dépendane des résultats vis

à vis de la valeur attribuée à ette onstante. Aussi, les futures simulations numériques

aurontpourpremierobjetifdedéterminerunevaleuroptimaleàattribueràeparamètre.

Critère de ranement pour la

Simulation des Grandes Ehelles

7.1 Les ritères de ranement lassiques

Leritèrederanementest unomplémentindissoiabledetoutestratégiede

rane-ment. En eet, l'objetif des méthodes de ranement loalest d'aroître ou de réduire

la densitéde points du domaine de alulan d'assurer une répartitionla plus uniforme

possible de l'erreur numérique - dénieomme étant l'eart entre la solutionexate et le

résultat de la simulation. Pour e faire, il est néessaire de déterminer un indiateur de

ranementquipermettedetestersilapréisondumaillageest loalementohérenteave

lesbesoinsdu aluletdel'outilnumérique.Ce ritèreest ommunémentappelésenseur.

Dansla littérature,es senseurs sont généralementbasés sur des ritèresde deux natures

distintes. Tout d'abord, onpeut étudierla préisionnumérique de laméthode employée

pour vérier, par exemple, que l'erreurde tronature liée aushéma de disrétisation ne

vapasêtretropimportante.D'autrepart,onpeuts'appuyersurdesontraintesphysiques

de l'éoulement,ommepar exemple lesgradientsdes grandeurs physiques oulesvaleurs

du tenseur des ontraintes visqueuses. Nous allons rappeler les grands prinipes de es

deux approhes, ainsi que leurs limites de validité.

Dans le document Simulation des Grandes Echelles en maillage adaptatif (Page 76-81)