Modèles des échanges thermiques externes du moteur, puissances thermiques admises et rejetées

W_{ch j}≃2⋅

μ

_j⋅V _j

d²_j ^{⋅̃CRef j⋅}

1

2⋅π^⋅

∮

u²_j⋅dθ (4.101)

L'avantage de cette méthode est que le nombre de Reynolds et le carré de la vitesse moyenne quadratique peuvent être calculés formellement. Des études expérimentales seraient à même de déterminer plus finement des corrélations réellement adaptées aux écoulements alternatifs.

Toutefois, en ce qui concerne le calcul par la voie numérique, les deux formules (4.100) et (4.101) seront estimées sur la base d'un pas angulaire et sont donc de complexité équivalente (même coûts numériques), aussi la méthode la plus rigoureuse (4.100) semble préférable.

4.4.8 Modèles des échanges thermiques externes du moteur,

puissances thermiques admises et rejetées

4.4.8.1 Introduction

Le modèle de moteur utilise les température chaudes et froides du cycle de manière implicite, les seules données connues (imposées) sont les températures de source (entrée de caloporteur) et puits (ambiance). La puissance utile et les puissances thermiques admises et refoulées sont de même inconnues à priori.

Une méthode itérative a été développée afin de déterminer le point de fonctionnement du moteur, pour une fréquence de cycle choisie et des débits de caloporteurs imposés (ou choisis).

Le point de départ de cette méthode est le fonctionnement interne du moteur décrit aux paragraphes 4.4.3 et 4.4.5. Les modèles d'échanges thermiques externes permettent de relier les températures de internes de cycle aux températures des fluides externes (caloporteur chaud, caloporteur froid et air ambiant), cela est développé dans les paragraphes 4.4.8.2, 4.4.8.3 et 4.4.8.4. La méthode permettant de déterminer le point de fonctionnement du moteur dans des conditions de températures et débits imposés est décrite au 4.4.8.5 .

4.4.8.2 Puissances thermiques admises et refoulées,

accroissements de température des caloporteurs

La puissance thermique consommée par le cycle moteur est augmentée d'une puissance de fuite thermique. Cette perte est représentée par une conductance de fuite forfaitaire considérée entre la température moyenne arithmétique d'entrée et sortie du caloporteur chaud et la température ambiante, mais est comptabilisée comme une puissance supplémentaire à fournir au gaz de travail. Ce qui revient à dire que les parois externes de l'échangeur est parfaitement isolé mais que les fuites thermiques sont perdues par transferts convectifs entre le gaz de travail et le carter du bloc moteur, puis entre ce dernier et l'ambiance.

Les pertes de charge internes (4.100) sont une perte nette pour le cycle moteur et dissipées sous forme de chaleur dans l'espace considéré, et doivent être comptabilisées dans le bilan thermique global. Toutefois, la littérature [140] mentionne que la perte réelle occasionnées par les dissipations visqueuses, selon le niveau de température du fluide relativement à l'ambiance, doit plutôt être vue comme une "perte de le travail disponible" ("loss of available work" [140]) . Selon cette formulation la perte irréversible de puissance occasionnée par les pertes de charge internes

(4.100) s'expriment comme des produits de la température ambiante par des flux entropiques : ˙

W^irr_{ch j}=T_amb⋅W^˙ _{ch j}

T_j ^(4.102)

Aussi, dans cette étude, les W^˙ _{ch j sont considérées (au paragraphe 4.4.11) comme une perte}

sèche sur le travail indiqué, mais les parts "réversibles" de leurs équivalents thermiques sont décomptées – en valeur algébrique – sur les puissances thermiques admises et refoulées par le cycle moteur (voir figure 4.18). Dans le cas particulier du régénérateur, la puissance thermique réversible équivalente a été répartie pour moitié au niveau l'échangeur chaud et pour moitié au niveau de l'échangeur froid.

Figure 4.18 : Dissipations thermiques des pertes de charge du gaz de travail dans un espace d'échange thermique : seule la partie "réversible" entre apparaît dans le bilan des puissances thermiques admises et refoulées.

De plus, la puissance thermique due à l'imperfection du régénérateur (4.87) est ajoutée à la puissance thermique admise, et ôtée à la puissance refoulée.

En conséquences, la puissance thermique totale passant dans l'échangeur de chauffage est exprimée par : ˙ Q_H= ˙Q_h+K_{p mot}⋅

(

T_{H E}−^{Δ (}T_H) 2

)

− ˙W_{ch h}⋅

(

1−T_amb T_h

)

−1 2^{⋅ ˙W}ch r⋅

(

1−T_amb T_r

)

+ ˙Q_r^irr (4.103)

et la puissance totale de refroidissement par : ˙

Q_K= ˙Q_c− ˙W_{ch k}⋅

(

1−T_amb T_k

)

−1

2^{⋅ ˙W}ch r⋅

(

1−T_amb

T_r

)

− ˙Qirr_r (4.104)

Les chutes de températures des caloporteurs sont calculées en conséquence, à partir des débits massiques et des chaleurs spécifiques :

ΔT_H= Q^˙_H ˙ m_H⋅Cp_H ^{; ΔT}K= Q^˙ _K ˙ m_K⋅Cp_K ^{; ΔT}A= Q^˙ _H ˙ m_A⋅Cp_A ^(4.105)

Les caractéristiques thermophysiques des caloporteurs sont considérées aux températures moyennes des fluides, d'après les corrélations présentées au 4.3.2 :

λ_J=λ_J(T_J) ; Cp_J=Cp_J(T_J) ; μ_J=μ_J(T_J) (4.106)

Où J={K , H , A} sont respectivement les indices du caloporteur chaud, du liquide de refroidissement et le l'air transitant dans l'échangeur (et T_{J E}=T_amb ).

Les températures moyennes ont des valeurs posées à priori, puis sont réévaluées à la fin de chaque itération, pour la suivante (voir 4.4.8.5). A noter que ces températures moyennes ne sont utilisées que pour évaluer les propriétés des fluides.

Le nombre de Prandtl est calculé à partir de ces grandeurs corrélées :

Pr_J=Cp_J⋅μ_J

λ_J (4.107)

4.4.8.3 Parties externes des échangeurs du moteur

Les échangeurs étant supposés à plaques planes, les coefficients de convection moyens des fluides caloporteurs avec les plaques supposées isothermes sont calculés avec des corrélations semi-analytiques issues de la littérature [121] :

Pour le régime laminaire :

h

_{J lam}

=κ

_hJ

⋅^λ

^J

d

_J ^(4.108)

Où J={K , H} sont les indices des parties externes des refroidisseurs et réchauffeur.

Kh

_J est un coefficient dépendant du rapport hauteur / largeur de la section de passage inter-plaques [121], approché par la formule suivante pour s'affranchir de l'usage d'abaques :

κ_hJ=8,1818−4,5568⋅e^{−(1,519⋅10−4⋅x}J

2−2,945⋅10−3⋅x_J4+1,074⋅10−2⋅x6_J+0,2276⋅x_J8) avec x_J=log

(

l_J/e_{p J}

)

(4.109)

Pour le régime turbulent la corrélation de Chilton-Colburn a été choisie :

h_{J tur}=^λJ

d_J^{⋅0,023⋅Re}J^0,8⋅Pr_J1/3

(4.110)

Les deux formules sont fusionnées en une seule, qui fait la liaison entre les deux régimes pour les écoulements "transitoires" :

h_J=0,5⋅h_{J tur}⋅

(

1+tanh

(

(Re_J−2000)⋅4

2800

))

+0,5⋅h_{J lam}⋅

(

1−tanh

(

(Re_J−2000)⋅4

2800

))

(4.111)

Le pincement de température entre la paroi et le caloporteur à l'entrée de l'échangeur est exprimé directement, en supposant constant le coefficient de convection :

ΔT_{J E}= ^ΔT_J

1−e

−

(

h_J⋅A_Jmot

˙

m_J⋅Cp_J

)

(4.112)

Les effets dynamiques à l'entrée et à la sortie des espaces inter-plaques ne sont pas pris en compte, mais en compensation la surface d'échange thermique A_Jmot comptabilise une surface

supplémentaire, correspondant à la surface latérale des canaux de gaz de travail, vue frontalement par le caloporteur.

Avec la conductance interne K_{j de l'échangeur déterminée au 4.4.5.1, cela permet}

d'exprimer la valeur, recalculée, de la température d'entrée du caloporteur:

T*_{J E}=T_J+Q^˙_J

K_j^+ΔTJ E (4.113)

4.4.8.4 Échangeur de refroidissement liquide-air

Les coefficients de convection du liquide dans le réseau tubulaire et de l'air au travers des ailettes est déterminé par les mêmes corrélations que celles déjà utilisées au 4.4.1 et détaillées en annexe A8, mais l'usage en diffère quelque peu ici :

L'échangeur est considéré comme à contre-courant et les coefficients de convections comme homogènes pour les deux fluides, cela afin d'obtenir une expression formelle5 des profils de températures. On obtient ainsi une expression analytique de la différence de température entre l'air et le liquide réfrigérant le long de l'échangeur (profil exponentiel), en fonction de la puissance thermique évacuée, des débits de liquide réfrigérant et d'air, et de la conductance moyenne :

La conductance moyenne de l'aérotherme (A8.16) (mais sans résistance d'encrassement) entre dans la formule du coefficient de progression exponentielle de la température de l'air :

α_A=

(

1 ˙ m_K⋅Cp_K⁻ 1 ˙ m_A⋅Cp_A

)

⋅Kae (4.114)

Le pincement local des températures à travers l'aérotherme au niveau de l'admission d'air s'exprime :

ΔT_{E A}ae = Q^˙_K⋅A_air

(

1−e^αA

)

⋅Kae (4.115)

En conséquence la température ambiante peut être recalculée à partir de la température du liquide réfrigérant à l'entrée du moteur :

T_amb* =T_{K E}−ΔTae_{E A}

4.4.8.5 Détermination itérative des températures de cycle

et transferts thermiques associés

La ré-estimation de la température d'entrée du caloporteur chaud et de la température ambiante permet, à partir d'une relation de proportionnalité, de construire une méthode itérative pour trouver le point de fonctionnement du moteur, pour une vitesse de rotation donnée et pour des débits de fluides déterminés. A partir de températures de cycle – choisies arbitrairement au départ – provenant de l'itération précédente

T

_hi et

T

_ki , les nouvelles températures de cycle s'expriment :

5 Un tel échangeur est en réalité à courants croisés, en l'assimilant à un échangeur à plaques planes et écoulements croisés, une approche bidimensionnelle permet une expression quasi-formelle des profils de températures, faisant appel à des fonctions de Bessel modifiées [121]. De telles expressions ont été jugées trop complexes pour l'usage de la présente étude. On rappelle que l'objectif ici est d'obtenir un modèle phénoménologique cohérent et un code d'exécution rapide.

T

_kⁱ+1

=T

_amb

+⁽T

i_k

−T

*_amb

)⋅(T

_{H E}

−T

_amb

)

(T

^*_{H E}

−T

_amb^*

)

T

_hⁱ+1

=T

_amb

+⁽T

i_h

−T

_amb*

)⋅(T

_{H E}

−T

_amb

)

(T

^*_{H E}

−T

_amb^*

)

(4.116)

Les températures moyennes des liquides sont évaluées pour l'itération suivante à partir des températures d'entrée réelles des caloporteurs et des accroissements de température obtenus au cours de l'itération courante par (4.112) :

T_Hⁱ+1

=T_{H E}−^ΔTi_H

2 ^(4.117)

On peut définir une "efficacité en températures" de l’aérotherme6 : ε_T^ae= ^−ΔT_Ai

T_K−ΔTⁱ_K−T_amb ^(4.118)

ce qui permet d'évaluer la nouvelle température moyenne du caloporteur :

T_Kⁱ+1=T_amb− Q^˙i_K

ε_T^ae⋅Cpⁱ_A⋅˙m_A⁺ ΔTi_K

2 ^(4.119)

Le pincement moyen de température à travers l'aérotherme s'exprime : ΔT^ae=−Q^˙_K

Kae (4.120)

Et on en déduit la nouvelle valeur de température moyenne de l'air de refroidissement.

T_Ai+1=T_Ki+1−ΔTae (4.121)

Ainsi, à chaque nouvelle itération, en plus des températures de cycle, les accroissements de température des caloporteurs sont actualisés, ainsi que les propriétés des fluides, de façon globale, sans nécessiter de boucles de calcul supplémentaires. La méthode est efficace et fiable : chaque point de fonctionnement est déterminé au bout de quelques 5 à 10 estimations successives, et n'a pas révélé à l'usage de défaillance ni d'instabilité.

4.4.9 pertes de charge des caloporteurs chauds et froids,

Dans le document Contribution à la conception et à l'optimisation thermodynamique d'une microcentrale solaire thermo-électrique (Page 141-145)