Frottements dynamiques

W_{p me}= pmf⋅Cylindrée⋅(N/60) (4.131)

Où N est la vitesse de rotation exprimée en tours/min, la pmf se trouvant donc être une fonction affine de la vitesse. Nous appellerons pmf_s la pression statique de frottement, exprimée en Pa ; et pmf_d la pression dynamique de frottement, exprimée en Pa.s/rad :

pmf = pmf

_s

+ pmf

_d

( π⋅N/30)

(4.132)

L'expérience montre que, dans les moteurs à combustion interne (MCI) les contacts entre piston et cylindre représentent la plus grande proportion des diverses pertes mécaniques, de l'ordre de 50% en basse vitesse (à environ 1000 rpm) et encore 35% dans les hauts régimes (à environ 6000 rpm) [143] .

Pour les moteurs de Stirling cinématiques, les pertes mécaniques peuvent se représenter de manière similaire. Toutefois les particularités des réalisations techniques des mécanismes entraînent des différences importantes. Pour les moteurs MCI une part importante de la pression moyenne de frottement est due aux embiellages et aux dispositifs annexes (distribution, pompe à eau centrifuge et pompe à huile volumétrique...) et par ailleurs les variations cycliques de pression présentent des irrégularités importantes, voire brutales.

Dans le cas étudié (moteur P3 CoolEnergy), le carter est pressurisé au niveau moyen d'un cycle de type Stirling au cours duquel la pression varie toujours de manière progressive. Les pistons, montés sur une tige rigide ne comportent pas de segmentation, l’étanchéité interne est assurée par un jeu suffisamment faible entre pistons et cylindres. Les fuites sont d'autant moins importantes que le carter moteur est placé dans une enceinte pressurisée. De plus les guidages linéaire sont réalisé par une glissière à paliers ou à roulements et les articulations des embiellages sont toutes équipées de roulements. Les "frottements secs" sont donc considérablement réduits, tant par la réduction des surfaces de contact que par les réalisations techniques.

On peut considérer que les pistons ne sont pas en contact mécanique avec les chemises et ne génèrent donc que du frottement hydrodynamique, ou pour mieux dire aérodynamique, le film de portance étant constitué du gaz de travail, de viscosité nettement moindre que les lubrifiants utilisés dans les MCI.

4.4.10.2 Frottements dynamiques

Considérons un petit élément de surface du contact, illustré par la figure 4.23, entre un segment et un cylindre de diamètre D , ayant pour longueur l'épaisseur s d'un segment et une petite largeur (différentielle) (D/2)⋅da . L'épaisseur h du jeu radial, rempli de lubrifiant, étant très petite (typiquement quelques 1/100 mm) devant le diamètre du piston, nous pouvons considérer

que localement l'écoulement a lieu entre deux plans.

Le modèle le plus simple pouvant refléter cette situation est un écoulement de Couette-plan. Voici les hypothèses proposées pour ce modèle :

• On considère le lubrifiant (en fait le gaz de travail) comme incompressible.

• Le piston se déplace avec une vitesse u₀ axiale, et ne tourne pas dans l'alésage.

• Le piston n'entraîne pas le fluide, qui se comporte comme un gel reprenant sa place après le passage du piston. Le débit de lubrifiant au sein du domaine fluide est donc nul et l'étanchéité parfaite.

• Le lubrifiant est supposé une pression ^P0 équivalente à la pression moyenne du cycle moteur.

Figure 4.23 : domaine fluide de base pour le modèle de glissement

Considérons le mouvement d'un piston de diamètre D=200mm , oscillant sur une course

2⋅R_vb=200mm _{dans un cylindre (}R_{vb le rayon de vilebrequin). La vitesse maximale du piston se}

trouve d'environ u_max=5,2m/s.

Considérons également un jeu radial h=0,04mm rempli d'un film de lubrifiant classique 15W40, d'une masse volumique de ρ=900kg/m3 et d'une viscosité dynamique μ =0,0037Pa.s

Le nombre de Reynolds à la vitesse maximale est :

Re_max=900⋅5,2⋅0,04.10−3/0,0037=51 (4.133)

Cette petite valeur du nombre de Reynolds permet d'affirmer qu'à l'échelle du domaine fluide considéré, et compte tenu des hypothèses posées, l'écoulement sera toujours laminaire. La vitesse radiale du fluide sera donc négligée.

En supposant le jeu radial h _{constant sur toute la circonférence du segment (pas}

d'excentration), l'écoulement présente une symétrie axiale, la vitesse circonférentielle du fluide est donc nulle.

De par d'équation de continuité :div

(

ρ ⃗V

)

=0, soit, pour un fluide incompressible :

div

(

⃗V

)

= ^∂u ∂x ⁺

∂v

∂y^{=0 (4.134)}

Où u et v sont les composantes axiale et radiale de la vitesse ; x repérant la position dans le sens de l'écoulement, y repérant la hauteur.

Comme nous avons vu que v≈0 , on en déduit que la vitesse du fluide est réduite à sa seule composante axiale.

Figure 4.24 : Schéma de l'écoulement du lubrifiant entre segmentation et cylindre. En rose la vitesse de lubrifiant s'écoulant dans le sens du piston, en bleu dans le sens opposé, pour un débit global nul

On obtient l'équation classique un écoulement de Couette-plan simple : ρ^∂u ∂t ⁼⁻ ∂p ∂x ⁺

^μ

lub⋅^∂ 2u ∂y^{2 (4.135)} et en écoulement permanent: ρ ^∂u ∂t ^{=0 (4.136)}

Il suffit d'intégrer

μ

_lub⋅^∂

2u ∂y²⁼

∂p

∂x ^{deux fois selon y pour obtenir le profil de vitesse.}

Les conditions aux limites

{

y=0→ u=0

y =h→ u=u₀

}

permettent de déterminer les constantes d'intégration, il vient : u= 1 2⋅

μ

_lub^⋅ ∂p ∂x^⋅(y 2−h⋅y)+u₀ h^{⋅y (4.137)}

Il reste à déterminer la valeur du gradient de pression ^∂_∂^p_x . Compte tenu de l'hypothèse que nous avons faite d'un débit moyen nul, l'intégrale de la vitesse selon y _{sera nulle :}

0=

∫

0 h

(

1 2⋅

μ

_lub^⋅ ∂p ∂x^⋅(y 2−h⋅y)+u₀ h^⋅y

)

⋅dy (4.138)

ce qui permet d'obtenir : ∂p ∂x ^=6⋅

^μ

lub⋅u₀ h^{2 (4.139)} et finalement : u=3⋅u₀ h^⋅y 2−2⋅u₀ h^{⋅y (4.140)}

L'intérêt de ce calcul de vitesse est de pouvoir en extraire la contrainte de cisaillement : τ=

μ

_lub⋅∂u ∂y ⁼⁻

^μ

lub⋅

(

6⋅u₀ h^2⋅y−2⋅ u₀ h

)

(4.141)

Et la contrainte pariétale au niveau du segment, donc pour y=h _{vaut :} τ_p=−4⋅

μ

_lub⋅u₀

h ^(4.142)

L'effort dynamique tangentiel élémentaire d F_{t , tel que représenté en figure (4.23)}

s'exprime :

dF_t= τ_p⋅dS= −4⋅

μ

_lub⋅u₀ h^⋅s⋅

D

2^{⋅dα (4.143)}

Le piston, relié par ailleurs à un embiellage, est susceptible de subir des efforts colinéaires et transversaux au mouvement. Compte tenu de l'hypothèse précédente de constance du jeu radial, on ne tiendra pas compte de la composante transversale.

Ainsi , il ne reste que la composante axiale, décomposable en une part motrice et la part due à l'effort de frottement, F_{fm , égalant la somme des} dF_{t :}

F_{fm d}=

∮

α dF_t=−

∮

²

^μ

lub⋅u₀⋅s⋅D h ^⋅dα= −4⋅

μ

_lub⋅π⋅D⋅s⋅u₀ h ^(4.144)

Cette relation n'est en principe valable que pour un déplacement du piston à vitesse constante, et même supérieure à la vitesse limite de portance hydrodynamique. En supposant toutefois qu'elle reste valable dans le cas d'un déplacement alternatif, tel que :

u_o(t)=R_vb⋅ω⋅sin(ω⋅t) ; soit avec l'angle de cycle θ :

u_o(θ)=R_vb⋅^π N 30 ^{⋅sin(θ) (4.145)} Alors : F_{fm d}(θ)=⁻4⋅

μ

_lub⋅π⋅D⋅s h ^⋅Rvb⋅^π N 30^{⋅sin(θ) (4.146)}

Et la puissance instantanée dissipée par frottements dynamiques est : ˙

W_fr(θ)=F_r⋅(θ)⋅u₀(θ)= −4⋅

μ

_lub⋅π⋅D⋅s

h ^⋅

(

R_vb⋅^π⋅N

30 ^⋅sin(θ)

)

2

(4.147)

On obtient par intégration la puissance moyenne des pertes par frottements dynamiques (en valeur absolue) : ˙ W _fr=4⋅

μ

_lub⋅π⋅D⋅s h ^⋅

(

R_vb⋅^π⋅N 30

)

² 1 2⋅π

∮

sin²(θ)dθ=2⋅

μ

_lub⋅π⋅D⋅s h ^⋅

(

R_vb⋅^π⋅N 30

)

² (4.148)

cylindrée ^Rvb⋅π⋅D2

2 ^{. Nous pouvons extraire l'expression de la pmfd telle qu'elle a été définie :}

˙ W_fr=

(

4⋅

μ

_lub⋅s⋅R_vb h⋅D

)

⋅

(

R_vb⋅π⋅D2 2

)

⋅2⋅π⋅^π⋅N 30 ^⋅ N 60^=pmfd⋅^π⋅N 30 ^⋅ N 60 ^(4.149) Et donc : pmf_d=2⋅π⋅4⋅

μ

_lub⋅s⋅R_vb h⋅D ^{, exprimé en Pa.s.rad} −1 (4.150)

La formule (4.150) reflète logiquement certaines tendances des pertes mécaniques en relation avec plusieurs paramètres, en terme de proportionnalité :

• A la viscosité du lubrifiant

μ

_lub

• A la surface de contact s⋅π⋅D

• Au carré du produit R_vb⋅N _{(cf carré de la vitesse linéaire moyenne)} • Inversement à l'épaisseur h du film de lubrifiant

Dans le document Contribution à la conception et à l'optimisation thermodynamique d'une microcentrale solaire thermo-électrique (Page 149-153)