Méthode de résolution numérique

Q_{rec= ˙}m_rec⋅Cp⋅ΔT_rec=B−C⋅ΔT_rec−D⋅ΔT_rec2 (5.29)

Et le débit massique : ˙

m_rec= 1

Cp^⋅

(

B

ΔT_rec^{−C−D⋅ΔT}rec

)

(5.30)

La formulation simplifiée du flux exergétique, qu'on propose d'adopter comme fonction d'optimisation (fonction-objectif) est donc :

˙

Ex_{rec net}=

(

B−C⋅ΔT_rec−D⋅ΔT_rec²

)

⋅

(

1−T_ref⋅ln(1+ΔT_rec/T_{rec E})

ΔT_rec

)

−E⋅

(

B

ΔT_rec^{−C−D⋅ΔT}rec

)

³ (5.31)

La maximisation de cette fonction-objectif, non contrainte, implique ^{∂ ˙Exrec net}

∂ΔT_rec

(

ΔT_recopt

)

=0 , soit, en explicitant la dérivation:

∂ ˙Ex_recnet(ΔT_recopt)

∂ΔT_rec ^=Tref⋅ln

(

1+^ΔT_rec T_{rec E}

)

⋅

(

B ΔT_rec^{2 +D}

)

−T_ref T_{rec E}^⋅

(

B/ΔT_rec−C−D⋅ΔT_rec

)

(

1+ΔT_rec/T_recE

)

−

(

C+2⋅D⋅ΔT_rec

)

+3⋅E⋅

(

B ΔT_rec^{2 +D}

)

⋅

(

B ΔT_rec^{−C−D⋅ΔT}rec

)

²=0 (5.32)

5.2.5.2 Méthode de résolution numérique

La résolution formelle de l'équation (5.32) n'est pas envisageable, mais sa résolution numérique peut être rapide. Les figures 5.8 et 5.9 p.174 représentent la fonction Ex˙ _recnet(ΔT_rec) de sa dérivée ^{∂ ˙Exrec net(ΔTrec)}

∂ΔT_rec ^{, et des composantes}

∂ ˙Ex_{rec brut}(ΔT_rec)

∂ΔT_rec ^{et −}

∂ ˙Ex_{p rec}(ΔT_rec)

∂ΔT_rec ^{de cette dérivée}

provenant respectivement du captage solaire et des pertes de charge du caloporteur, pour un même parc solaire à tubes évacués simples (SAED), dans des conditions de captage choisies : le même ensoleillement incident et la même température ambiante, mais pour deux températures d'entrée différentes.

Dans le cas de la figure 5.8 , pour les valeurs de ΔT_{rec supérieurs à 3°C, la fonction-objectif}

(5.31) décroit avec une tendance parabolique (courbe rose), qui correspond à une décroissance quasi-linéaire de la dérivée (5.32). Cette tendance provient de la quasi nullité de la dérivée de la consommation exergétique de la pompe (courbe orange), tandis que le terme dérivé provenant du captage solaire (courbe verte) est quasiment affine de ΔT_{rec , et toujours négative.}

Dans le cas de la figure 5.9 , on observe les mêmes tendances , à la différence que le terme dérivé provenant du captage solaire (courbe verte) est cette fois positif. On remarquera que la décroissance de ce terme est sensiblement la même dans les deux cas, les mêmes échelles étant utilisées en abscisse et en ordonnée secondaire pour les dérivées (à droite). Aussi, le flux exergétique capté peut être dans les deux cas, pour les valeurs élevées de ΔT_{rec , assimilé à une}

même parabole mais ayant des sommets d’abscisses différentes. On note que ce sommet correspond au maximum exergétique brut que l'on obtiendrait en considérant la seule température moyenne de captage (cf exemple de la figure 5.1 p.160).

Figure 5.8 : Allure du flux exergétique net capté pour une température d'entrée du captage proche de la température de stagnation : le flux exergétique maximal est obtenu pour une très petite différence de température entre l'entrée et la sortie du parc de captage.

Pour les petites valeurs de ΔT_{rec on remarque une très forte croissance du flux exergétique}

net. Les valeurs négatives, correspondant à une consommation exergétique du pompage dépassant la capacité de production du champ de captage, et par ailleurs, dans ce domaine des petits accroissements de température ΔT_{rec du caloporteur, terme dominant du flux exergétique}

(5.31).

Figure 5.9 : Allure du flux exergétique net capté par un champ de tubes évacués simples, pour une température d'entrée du captage inférieure à la température moyenne optimale théorique : la dérivée de l'exergie nette captée tend rapidement vers une droite asymptotique. Le flux exergétique maximal est obtenu pour une différence élevée de température entre l'entrée et la sortie du parc de captage : non observable sur cette figure, il serait atteint ici pour ΔT_rec≃65K .

La forte décroissance du flux exergétique auto-consommé par la pompe, de type hyperbolique en ΔT_rec−3 – en fait une dépendance en m_rec3 – se retrouve sur le terme dérivé correspondant (courbe orange), qui décroit donc selon une tendance en ΔT_rec−4 pour les valeurs de ΔT_rec

proches de 0, c'est cette tendance qui va permet de construire une méthode de résolution efficace de l'annulation de la dérivée (5.32).

En pratique, le matériel de pompage (une ou plusieurs pompes en parallèle) aura un capacité de charge finie, dimensionnée pour un champ de captage donné, et limitée par la puissance du moteur électrique. Il existera donc une consommation exergétique de pompage maximale, que l'on pourra utiliser pour déterminer une valeur minimale de ΔT_{rec dans les conditions données}

d'ensoleillement et de température ambiante : ˙

Ex^max_{p rec}=−E⋅

(

B

ΔT_rec^{min−C−D⋅ΔTrec}

min

)

3

(5.33)

correspondant à la puissance mécanique maximale du moteur de la pompe : ˙

W_{me p rec}^max =

η

_{ep rec}⋅

η

_em⋅

η

_Exmot⋅E⋅

(

B

ΔT_rec^{min−C−D⋅ΔTrec}

min

)

3

(5.34)

Autrement dit, ΔT_recmin vérifie l'équation du second degré :

D⋅ΔT_rec^min2+

(

C+

(

W˙ _{mp rec}^max

η

_{ep rec}⋅

η

_em⋅

η

_Exmot⋅E

)

1 3

)

⋅ΔT_rec^min−B=0 (5.35)

dont le discriminant est toujours positif : δ_ΔT

rec

min=

(

C+

(

W˙ ^max_{mp rec}

η

_{ep rec}⋅

η

_em⋅

η

_II

mot⋅E

)

1 3

)

2

+4⋅B⋅D>0 (5.36)

car les paramètres W˙ _{pm rec},B ,C ,D sont tous positifs, d'où la racine physique :

ΔT_rec^min= −

(

C+

(

W˙ _{mp rec}^max

η

_{ep rec}⋅

η

_em⋅

η

_Exmot⋅E

)

1 3

)

+

√

δ_ΔT rec min 2⋅D (5.37)

A partir de cette valeur ΔT_rec0=ΔT_recmin , nous pouvons à coup sûr utiliser la méthode itérative de Newton pour résoudre le problème d'optimisation en annulant la dérivée (5.32). Dans un premier temps en calculant la dérivée seconde, pour la ième itération ΔT_reci , pente de la tangente :

∂²Ex˙ _recnet

∂ΔT_rec2

(

ΔT_reci

)

=T_ref⋅ln

(

1+^ΔT_reci

T_{rec E}

)

⋅

(

2⋅B ΔT_reci 3

)

−2⋅D +T_ref T_{rec e}^⋅

(

1 1+ΔT_recⁱ /T_{rec E}

)

⋅

[

2⋅

(

B ΔT_rec^{i 2+D}

)

+ 1 T_{rec E}^⋅

(

B/ΔT_recⁱ −C−D⋅ΔT_recⁱ

)

(

1+ΔT_recⁱ /T_{rec E}

) ]

−6⋅E⋅

(

B ΔT_reci −C−D⋅ΔT_rec

)

⋅

[

B ΔT_reci 3⋅

(

B ΔT_reci −C−D⋅ΔT_reci

)

+

(

B ΔT_reci 2+D

)]

(5.38)

L'abscisse à l'origine de cette tangente donnant une nouvelle approximation de ΔT_recopt :

ΔT_reci+1=ΔT_reci−

(

∂ ˙Ex_{rec net}

∂ΔT_rec

(

ΔT_reci

))

(

∂²Ex˙ _recnet

∂ΔT_rec²

(

ΔT_recⁱ

))

^(5.39)

On peut considérer la valeur optimale atteinte à l'itération k _{telle que:} ΔT_recopt≃ΔT_reck ;∣ΔT_reck−ΔT_reck−1∣>ε_ΔT

rec opt (5.40)

Cette méthode assure une convergence rapide: 5 à 11 itérations tout au plus sont nécessaires pour une précision de l'ordre du millième de degré, soit, pour toute température de captage supérieure à 373K (100°C) une erreur relative maximale de 0,001/373<0,0004% .

On peut se demander l'importance du choix de la valeur ε_ΔT

rec opt . On peut supposer à priori qu'une précision au dixième de degré, voire au degré près, soit suffisante. Toutefois, dans une installation réelle il conviendra de tenir compte de la précision du capteur utilisé (cf tableau 8), choisi selon les critères supplémentaire de robustesse et d'économie.

A cela il faut ajouter que la robustesse et la dérive de mesure sont des critères de choix importants pour une installation prévue pour une durée de vie de 20 ans et plus. La précision de lois de commande basées sur la mesure de températures sera donc conditionnée par le compromis entre coût, robustesse et précision des capteurs. Le paragraphe suivant présente une méthode alternative de réalisation de l'optimisation

5.2.5.3 Résolution simplifiée par développement limité de la température

Dans le document Contribution à la conception et à l'optimisation thermodynamique d'une microcentrale solaire thermo-électrique (Page 175-179)